第十章 概率 章末基础闯关试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

中小学教育资源及组卷应用平台
概率 章末基础闯关试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．对满足的非空集合、，有下列四个命题：
①“若任取，则”是必然事件； ②“若，则”是不可能事件；
③“若任取，则”是随机事件； ④“若，则”是必然事件.
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A．“至少有1个红球”与“都是黑球”
B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”
D．“都是红球”与“都是黑球”
3．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习.某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育.现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（ ）
A． B．
C． D．
6．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ）
A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立
C．C与D互斥 D．A与C相互独立
7．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
二、多选题
8．已知事件A，B，且，则（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
9．先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，设事件“”，事件“”，事件“为奇数”，则（ ）
A． B．
C．与相互独立 D．与相互独立
10．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.若在信道内依次发送信号1，0，为了检验，收到信号的一端将收到的信号发回到输入端.下列说法正确的是（ ）
A．“收到的信号为1，0”是“传回的信号为1，0”的充分条件
B．“收到的信号为1，0”与“传回的信号为1，0”不一定是相互独立的
C．若，则事件“传回的信号为1，0”的概率一定大于0.25
D．若，，则事件“传回的信号为1，0”的概率为31.68%
三、填空题
11．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
12．把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ．
13．甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为 .
四、解答题
14．象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙丙丁4名同学所在小组的赛程如表：
第一轮 甲－乙 丙－丁
第二轮 甲－丙 乙－丁
第三轮 甲－丁 乙－丙
规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜负平的概率均为，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜，负，平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立.
(1)求丁同学的总分为5分的概率；
(2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率.
15．年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．
(1)在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；
(2)分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率．
16．“中式八球”是受群众欢迎的台球运动项目之一.在一场“中式八球”邀请赛中，甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠军，本次邀请赛采取“双败淘汰制”.具体赛制如下：
首先，4人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；
接下来，“胜区”的2人对阵，胜者进入最后的决赛，“败区”的2人对阵，败者直接淘汰出局，获得第四名；
紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的2人进行最后的冠亚军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名.
现假定甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.
(1)经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.若.
（I）求甲连胜三场获得冠军的概率；
（Ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下获得冠军的概率；
(2)除“双败淘汰制”外，“中式八球”也经常采用传统的“单败淘汰制”；抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.问当p满足什么条件时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠
17．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？

这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组．
(1)若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
参考答案
1．B
根据必然事件、不可能事件、随机事件、子集的定义逐一判断即可.
①：因为，，所以，因此“若任取，则”是必然事件，故本命题是真命题；
②：当集合是集合的真子集时，显然存在一个元素在集合中，不在集合中，
因此“若，则”是随机事件，故本命题是假命题；
③：任取，当集合是集合的真子集时，有可能成立，也可能不成立，
因此“若任取，则”是随机事件,故本命题是真命题；
④：因为，所以一定有，显然“若，则”是必然事件，故本命题是真命题．
因此①③④为真命题.
故选：B
2．D
根据互斥事件与对立事件的概念分析可得.
从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果为：1红1黑 2红 2黑，
对于A：“至少有1个红球”包括1红1黑 2红，与“都是黑球”是对立事件，不符合；
对于B：“恰好有1个红球”和恰好有1个黑球”是同一个事件，不符合题意；
对于C：“至少有1个黑球”包括1红1黑 2黑，“至少有1个红球”包括1红1黑 2红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意；
对于D：“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件而不是对立事件，符合题意；
故选：D.
3．A
根据条件，利用古典概率公式，即可求出结果.
依题意在12组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：，，共个，
所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率.
故选：A.
4．C
将数学、语文、政治、地理分别记为，将英语，历史，体育分别记为，
在上午下午的课程中各任选一节，所有的可能为：
，，，，，，，，，
，，共12种情况.
选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的情况有，，，，，，，共8种情况.
所以，所求概率为，
故选：C.
5．C
要使系统正常工作，则A、B要都正常或者C正常，D必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.
记零件或系统能正常工作的概率为，
该系统正常工作的概率为:
,
故选：C.
6．D
由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立.
由，，，即，故A、B互斥，A错误；
由，A、D互斥且对立，B错误；
又，，则，C与D不互斥，C错误；
由，，，
所以，即A与C相互独立，D正确.
故选：D
7．D
该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决
该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
8．ABD
根据事件关系及运算有、，由事件的相互独立知，结合事件的运算求、.
A：由，则，正确；
B：由，则，正确；
C：如果A与B相互独立，则，
，错误；
D：由C分析及事件关系知：，正确.
故选：ABD.
9．ACD
先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，
则基本事件总数为，，
，，
，，共36种情形，
满足事件的有，共4种情形，其概率，故A正确；
满足事件的有，共2种情形，其概率，B不正确；
满足事件的有，
，，共18种情形，
其概率，
满足事件的有共2种情形，所以，
则，所以与相互独立，C正确；
满足事件的只有一种情形，所以，
因为，所以与相互独立，D正确.
故选：ACD.
10．BC
A选项，计算出收到信号为1，0和传回信号为1，0的概率，故“收到的信号不为1，0”时，“传回的信号也可能为1，0”，A错误；B选项，设传回信号为1，0为事件A，收到信号为1，0为事件B，计算出则，与，举出反例得到不一定等于，故B错误；C选项，得到，由基本不等式得到，C正确；D选项，代入计算即可.
A选项，收到信号为1，0的概率为，则传回信号为1，0的概率为，
即“收到的信号不为1，0”时，“传回的信号也可能为1，0”，
显然“收到的信号为1，0”不是“传回的信号为1，0”的充分条件，A错误；
B选项，收到信号为0，0的概率为，则传回信号为1，0概率为，
收到信号为1，0的概率为，则传回信号为1，0的概率为，
收到信号为0，1的概率为，则传回信号为1，0的概率为，
收到信号为1，1的概率为，则传回信号为1，0的概率为，
所以传回信号为1，0概率为，
设传回信号为1，0为事件A，收到信号为1，0为事件B，
则，，
，
则不一定等于，
比如当时，
，
而，
故“收到的信号为1，0”与“传回的信号为1，0”不一定是相互独立的，B正确；
C选项，由得，，
而，而，即不能取等号，故，
所以，C正确；
D选项，由，，
则
，D错误.
故选：BC.
11．/0.3
根据古典概型计算即可
解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.
故答案为：.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
12． /
先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；
根据古典概型的概率公式可求出第二个空．
设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，
所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；
乙盒中黑球个数为，白球个数为；
丙盒中黑球个数为，白球个数为；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以，
；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，
黑球总共有个，白球共有个，
所以，．
故答案为：；．
13．
分别求出甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、3盘的概率，再根据相互独立事件以及互斥事件的概率公式，即可求得答案.
设分别表示甲在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件，
设分别表示乙在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件，
根据相互独立事件的概率公式可得，
，
则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的事件为，
且互斥，故
，
故答案为：
14．(1)
(2)
（1）利用相互独立事件的乘法公式即可求解；
（2）利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率的加法公式即可求解.
（1）丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，
记第轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，，丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为M，则，
即丁同学的总分为5分的概率为.
（2）由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分，0分、1分，若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名.
① 若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率.
②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局，第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概
率.
③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率；
第三轮比赛中当乙，丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分，需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励，此时的概率.
综上，甲同学能获得奖励的概率.
15．(1)“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为；
(2)“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率
（1）根据独立事件的乘法公式分别求解即可；
（2）综合应用独立事件的乘法公式和互斥事件的概率加法公式分别求解即可.
（1）记“玲儿姐回答正确第个问题”，“关关姐回答正确第个问题”，“页楼哥回答正确第个问题”，.
根据题意得，所以；
，所以；
故在第一个问题中，“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为和.
（2）由题意知，
“玲儿姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
“关关姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为.
所以“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为；三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为.
16．(1)（I）；（Ⅱ）
(2)
（1）结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可；
（2）结合对立事件概率和独立事件概率公式再作差比较计算.
（1）记甲在第i场比赛获胜的事件为，，2，3，4，则，.
由不同对阵结果相互独立，
（I）甲连胜三场获得冠军的概率为：.
（Ⅱ）甲在“双败淘汰制”下获得冠军的情况有：胜胜胜、胜败胜胜、败胜胜胜，
故概率为：.
（2）“双败淘汰制”下甲夺冠的概率为：
.
“单败淘汰制”下甲夺冠的概率为：.
令得，解得：.
所以当时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠.
17．(1)获得冠军的概率分别为，；
(2)淘汰赛赛制下获得冠军的概率为，“双败赛制”赛制下获得冠军的概率为，双败赛制下对强者更有利.
（1）获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，
获得冠军的概率为，
获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，
获得冠军的概率为.
（2）淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为，
“双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况，
当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军；
若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军；
当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军；
综上，获得冠军的概率.
令，
若为强队，则，故，
所以，双败赛制下对强者更有利.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)