北师大版八年级数学下册 3.2图形的旋转 试题（含详解）

3.2图形的旋转
一、单选题
1．垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.你认识垃圾分类的图标吗？请选出其中的旋转对称图形( )
A．可回收物 B．有害垃圾
C．厨余垃圾 D．其他垃圾
2．如图，绕点O逆时针旋转，得到，若，则等于( )
A． B． C． D．
3．如图，将一块含有的直角三角板(假定，)绕顶点A逆时针旋转得到，则等于( )
A． B． C． D．
4．如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，那么的对应点的坐标是( )
A． B． C． D．
5．如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，正确的有( )
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题
6．如图，在中，以点A为旋转中心，将逆时针旋转，得到 ADE，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ．
7．如图将绕点旋转得到，设点的坐标为，则A的坐标为 ．
8．如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为 ．
9．在平面直角坐标系中，点，点，把绕点逆时针旋转，得，点旋转后的对应点为，．如图，当点落在边上时，旋转角的大小为 ，点的坐标为 ．
10．如图，，，，，点D为的中点，点E在的延长线上，将绕点D顺时针旋转度得到，当是直角三角形时，的长为 ．
三、解答题
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．
(1)将绕坐标原点O顺时针旋转为，写出点、、的坐标，并在图中作出；
(2)求的面积．
12．如图，点E是正方形内一点，连接，将绕点B顺时针旋转90°到的位置()，连接．
(1)判断的形状为 ；
(2)若，，，求的度数．
13．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，延长交于点F．
(1)直接写出的度数；
(2)若∠A=67.50，求证：．
14．如图，将一个钝角(其中)绕点顺时针旋转得，使得点落在的延长线上的点处，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
15．如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接、与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
16．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，旋转角为，，分别交于点F，G，连接．

(1)求证：；
(2)若，，．
①求的长；
②连接，，，求四边形的面积．
17．如图，已知中，，将沿着射线方向平移得到，其中点A、点B、点C的对应点分别是点D、点E、点F，且．
(1)如图①，如果，，那么平移的距离等于______；(请直接写出答案)
(2)如图②，将绕着点逆时针旋转得到，连接，如果，，求的面积；
(3)如图③，在(2)题的条件下，分别以，为边向外作正方形，正方形的面积分别记为，，且满足，如果平移的距离等于，求出的面积．
18．三角形和三角形的顶点互相重合，，，，．
(1)如图1，当与重合，时， ；
(2)如图2，三角形固定不动，将三角形绕点旋转，使点落到的延长线上，当，且射线平分时，求的度数；
(3)三角形固定不动，将三角形绕点旋转，当且射线平分时，求．
19.如图，在中，，点为边上一点(不与点重合)，连接，将绕点逆时针旋转得到．

(1)若，写出旋转角及其度数；
(2)当度数变化时，与之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明．
20. 已知：如图 1， 中， ，D、E分别是、上的点， 不难发现、的关系．
(1)将 ADE 绕A 点 旋转到图2 位 置时，写出、的 数量关系 ；
(2)当 时，将 ADE 绕 A 点 旋转到图3 位置．
①猜想与有什么数量关系和位置关系 请就图3 的情形进行证明；
②当点 C、D、E 在同一直线上时，直接写出的度数 ．
21.如图，和都是等腰直角三角形，．
(1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
(2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，(1)中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长．
答案
一、单选题
1．A
【分析】本题考查了旋转对称图形，正确记忆相关概念是解题关键．如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于)后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，由此即可判断．
【详解】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度(小于)后能与原图形重合，所以都是旋转对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度(小于)后能与原图形重合，所以不是旋转对称图形．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了旋转的性质，确定旋转角以及旋转前后对应角相等是解题关键．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
故选：C
3．B
【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据题意得到，得到，即可得到答案．
【详解】解：依题意得，
，，
，
．
故选B．
4．C
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，由线段绕点顺时针旋转得到线段可以得出，，作轴于，轴于，就可以得出，就可以得出，，由的坐标就可以求出结论．
【详解】解：线段绕点顺时针旋转得到线段，

，．
作轴于，轴于，
．
，
，
．
在和△中，
，
，
∴，．
∵，
，，
，，
．
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了旋转性质的应用，三角形内角和定理和等边对等角，根据旋转的性质可得，，，，再根据旋转角的度数为，然后利用三角形内角和定理和等边对等角逐项求解判断即可．
【详解】①绕点逆时针旋转得到，
，故①正确；
②绕点逆时针旋转，
．
，
．
，
．
∴，故②正确；
③在中，
，，
．
．
与不垂直，故③不正确；
④在中，
，，
．
，故④正确．
①②④这三个结论正确．
故选：D．
二、填空题
6．
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质；掌握旋转的性质，是解题的关键．
根据旋转的性质，得到，，利用等边对等角，进行计算即可．
【详解】解：根据旋转的性质，可得：
，，
故答案为：．
7．
【分析】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点、关于点成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．设点的坐标是，根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．
【详解】解：根据题意，点、关于点对称，
设点的坐标是，
则，，
解得，，
点的坐标是．
故答案为：．
8．3
【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得，，即可求解．
【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，
，，
，，
，
故答案为：3．
9．
【分析】本题考查了坐标与图形、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，由点，点得出，从而得出是等腰直角三角形，由勾股定理可得，当点落在边上时，由旋转的性质可得：，，求出即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：点，点，
，
是等腰直角三角形，
，，
当点落在边上时，由旋转的性质可得：，，
旋转角的大小为，，
点的坐标为，
故答案为：，．
10．10或
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，旋转的性质．根据勾股定理可求出，先根据全等三角形的性质和旋转的性质，得到，从而得到．再分情况讨论：①当时；②当时，利用勾股定理分别求解，即可得到答案．利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
【详解】解：，，，
由勾股定理得：，
，
，
绕点D顺时针旋转得到，
，
点D为的中点，
，
①当时，

，
，
；
②当时，

在中，，
在中，，
综上可知，的长为10或．
故答案为：10或．
三、解答题
11．(1)解：如图，即为所求．点、、．
(2)解：的面积为．
12．(1)解：∵将绕点B顺时针旋转90°到的位置，
∴，
∴为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
(2)∵旋转，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
13．(1)解：∵绕点C顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
(2)证明：连接，
∵绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∵∠A=67.50，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．(1)证明：由旋转的性质可得，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
(2)解：∵，，
∴，
∴，
∴．
15．(1)证明：∵，
∴，
∵将线段绕点旋转到的位置，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
(2)解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴∠F=∠C=250，
∴．
16．(1)证明：由旋转性质，得，，
∵，，，
∴，即；
(2)解：①由旋转性质得，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
②如图，过E作交延长线于M，

则，，
∴，
∴，，
∵，
∴
．
17．(1)解：根据题意，，
∴平移的距离为，
故答案为：；
(2)解：根据题意，如图所示，
∴，，，
根据题意，，
∴四边形是直角梯形，
∴，，
∴
，
∴的面积为；
(3)解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴由(2)可知的面积为，
∴当平移的距离等于时，，，
∴，
∴的面积为．
18．(1)解：∵当与重合，，，
∴，
故答案为∶．
(2)连接，如下图：
∵∠D=900，，
∴，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∵点落到的延长线上，
∴，
∴；
(3)①当点E在线段上面时，如图，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
则；
②当点E在线段下面时，如图，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
则；
故为或．
19.(1)当时，
，
∵旋转得到，其中旋转到.
∴旋转角为；
(2)∵，
，
∵旋转得到，
∴ ABD≌ ACE
，
，
即，
，
即，
；
20.(1)∵，
即，
在和 CAE中，，，，
∴
∴；
(2)①，，
证明：如图，交于点F，交于点M，
∵，
∴，
即，
在和 CAE中，，，，
∴
∴，，
在和中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
因此，；
②如图，
当点 C、D、E 在同一直线上，且点D在线段上时，如图I所示，
在等腰中，，
∵，
∴，
∴；
当点 C、D、E 在同一直线上，且点E在线段上时，如图II所示，
在等腰中，，
∵，
∴，
∴；
故的度数为：或．
21.(1)解：∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
，
，
∵，
，
故答案为：；
(2)解：(1)中结论仍然成立，
理由：
由旋转知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
(3)解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
综上，的长为或．