2.6一元一次不等式组 同步练习（含答案）2024-2025学年北师大版八年级数学下册

2.6一元一次不等式组
一、单选题
1．下列不等式组是一元一次不等式组的是( )
A． B． C． D．
2．不等式组的解集是(　　)
A． B． C． D．
3．满足不等式组的整数解有( )
A．6个 B．4个 C．5个 D．无数个
4．在平面直角坐标系中，在第二象限，则m的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
5．已知关于x的不等式组有两个整数解，则a的取值范围为( )
A． B． C． D．
二、填空题
6．不等式组的正整数解是 ．
7．若不等式组无解，则的取值范围是 ．
8．已知关于x、y的方程组的解是正数，则a的取值范围是 ．
9．把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为 ．
10．若关于的不等式组的解集为，且关于的方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
三、解答题
11．解不等式组，并写出它所有的整数解．
12．求不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来，写出它的所有非负整数解．
13．解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：解不等式①，得 第1步
合并同类项，得 第2步
两边都除以，得 第3步
任务一：该同学的解答过程中第 步出现了错误，这一步的依据是 ，不等式①的正确解是 ．
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
14．有学生若干人，住若干间宿舍．若每间住4人，则有20人无法安排住宿；若每间住8人，则有一间宿舍不满也不空，问宿舍间数是多少？
15．已知关于，的方程组，其中为非负数，为正数，求的整数解．
16．已知关于x，y的方程组的解都为非负数．
(1)求a的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
17．接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．
(1)求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗．
(2)计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
18.在我市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．
(1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
(2)根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，该校有几种购买方案？
(3)上面的哪种方案费用最低？按费用最低方案购买需要多少钱？
19.大华橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
进价(元/台) 售价(元/台)
电饭煲 200 250
电压锅 160 200
(1)一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？
(2)为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；
(3)在(2)的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？
20.甲、乙两所幼儿园计划在“元旦”一起举办文艺汇演活动，已知甲、乙两所幼儿园一共96人(其中甲幼儿园人数多于乙幼儿园人数，且甲幼儿园人数不足90人)．现准备给每位小朋友都购买一套演出服装，服装厂给出如下价目表：
购买服装的套数 48套以下 48套至90套 91套及以上
每套服装的价格 65元 55元 45元
如果两所幼儿园分别单独购买服装，一共应付5680元．
(1)如果甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
(2)甲、乙两所幼儿园各有多少名小朋友准备参加演出？
(3)如果甲幼儿园有10名小朋友因为校外活动不能参加演出，那么你有几种购买方案？通过比较，你认为如何购买服装才能最省钱？
21.我们约定一种新运算，规定：(其中a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
(1)若，．
①求常数a、b的值；
②若关于m的不等式组无解，求有理数p的取值范围；
(2)非零常数a、b应满足什么条件时，才能使对于任意有理数t都成立？请写出推理过程．
答案
一、单选题
1．C
【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B．有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C．是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
D．第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．C
【分析】题考查了解一元一次不等式组．解题的关键是先求出每个不等式的解集，然后遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为：，
故选C．
3．C
【解析】略
4．B
【分析】本题考查了平面直角坐标系，解一元一次不等式组；
根据第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正得出关于m的不等式组，解不等式组可得答案．
【详解】解：∵在第二象限，
∴，
解得：，
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．解出一元一次不等式组的解集，根据有两个整数解得出a的取值范围．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
故不等式组的解集为，
不等式组有两个整数解，
，
，
故选B．
二、填空题
6．，，
【分析】首先解不等式组，注意移项时要变号，不等式两边同时除以同一个负数时，要改变不等号的方向，求出不等式组的解集后，再写出范围内的正整数．
【详解】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：，
正整数解为：，，．
故答案为：，，．
7．
【分析】根据大大小小无解找,去确定范围即可．本题考查了不等式组无解的条件，熟练掌握无解的基本条件是解题的关键．
【详解】∵
解①得，解②，
∵不等式组无解，根据大大小小无解找，
得，
故答案为：．
8．
【分析】主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，要先用字母a表示出方程组的解，然后根据方程组的解的情况得到关于a的不等式组是解答本题的关键．
【详解】解方程组得：，
∵x、y是正数，
∴，
解得：，
故答案为：．
9．
【分析】设有a个学生，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：，根据最后一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解．
【详解】由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：
最后一个同学最多分得3个，
则，即．
故答案为．
10．22
【分析】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，根据不等式组的解集确定a的取值范围，再根据方程的解为非负整数，进而确定a的所有可能的值，再求和即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
由于不等式组的解集为，
∴，
解得，
关于y的方程的解为，
由于方程的解是非负整数，
∴整数a可能的值为或3或8或13，
∴符合条件所有的整数a的和为：．
故答案为：22．
三、解答题
11．解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集为：，
所以不等式组的所有整数解为：，，0，1，2，3．
12．∵
∴解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，数轴表示如下：
故非负整数解有0，1两个．
13．解：(1)该同学的解答过程中第3步出现了错误，这一步的依据是不等式的基本性质3，不等式①的正确解是
故答案为：3，不等式的基本性质3，
(2)解不等式②，得，
∴不等式组的解为．
14．解：设宿舍间数为，学生人数为．根据题意，得，解得．∵是正整数，．
答：宿舍间数有6间．
15．解： ，
得：，
解得：；
得，
解得：，
∴ ，
∵x为非负数，y为正数，
∴，
解得：,
∴a的整数解为，，，，．
16．(1)解：，
①+②得：，
解得：，
①②得：，
解得：，
根据题意可得：，
解得：- ≤a≤；
(2)∵，
∴，
∵- ≤a≤，
∴- ≤ ≤，
∴- ≤b≤，
∴- ≤a+b≤．
17．(1)解：设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，
由题意可得，，
解得，
答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗；
(2)设A型车a辆，则B型车辆，
由题意可得，，
解得，
∵a为正整数，
∴，7，8，
∴共有三种运输方案，
方案一：A型车6辆，B型车6辆，
方案二：A型车7辆，B型车5辆，
方案三：A型车8辆，B型车4辆，
∵A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元，计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，
∴A型车辆越少，费用越低，
∴方案一所需费用最少，此时的费用为(元)，
答：共有三种运输方案，方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A型车8辆，B型车4辆；其中方案一所需费用最少，最少费用是48000元．
18.(1)解：设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元；
(2)解：设需购进电脑a台，则购进电子白板(30-a)台，
则，
解得：15≤a≤17，即，16，17．
故共有三种方案：
方案一：购进电脑15台，电子白板15台；
方案二：购进电脑16台，电子白板14台；
方案三：购进电脑17台，电子白板13台．
(3)解：方案一：总费用为万元；
方案二：总费用为万元；
方案三：总费用为万元．
∴方案三费用最低．
19.(1)设该厨具店购进电饭煲台，则购进电压锅 台，
由题意，得 解得：
则(元)
即厨具店在该买卖中赚了元；
(2)设购买电饭煲台，则购买电压锅台，
由题意得 ，
解得：，
∵是正整数，
∴或或，
当时，
当时，
当时，
故共有三种进货方案：①购买电饭煲台，购买电压锅台；
②购买电饭煲台，购买电压锅台；
③购买电饭煲台，购买电压锅台；
(3)①当购买电饭煲台，购买电压锅台台时，
(元)；
②当购买电饭煲台，购买电压锅台时，
(元)
③当购买电饭煲台，购买电压锅台时，(元)
，
∴当购买电饭煲台，购买电压锅台时，该厨具店赚钱最多．
20．(1)解：若甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装需(元)，
比各自购买服装共可以节省：(元)，
因此共可以节省1360钱，；
(2)设甲幼儿园有小朋友名，则乙幼儿园有小朋友名，
依题意得，，
解得，，
故符合题意，所以(名)，
故甲幼儿园有56名小朋友准备参加演出，乙幼儿园有40名小朋友准备参加演出；
(3)甲幼儿园人数：(人)，乙幼儿园人数：40人，
方案1：各自购买服装需(元)，
方案2：联合购买服装需(元)，
方案3：联合购买91套服装需(元)，
因为，
所以应该甲、乙两所幼儿园联合起来选择按45元一套购买91套服装最省钱．
21.(1)解：①，．由新运算得，
，
整理得，
①②得：，
，
将代入②得，
，；
②，
，
，
，
，
；
(2)，
，
，
，
，
，
对于任意有理数都成立，
，
．