5.4分式方程 同步练习（含答案）2024-2025学年北师大版八年级数学下册

5.4分式方程
一、单选题
1．分式方程的解是(　　)
A． B． C． D．
2．下列关于x的方程中(1)；(2)；(3)；(4)；(5)，其中是分式方程的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．解分式方程时，去分母后得到的整式方程是( )
A． B．
C． D．
4．若关于x的分式方程有增根，则m的值为( )
A． B． C． D．无法确定
5．学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x千米／时，那么满足的分式方程为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
6．方程的解是 ．
7．若关于的分式方程无解，则的值是 ．
8．关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ．
9．对于实数，，定义运算“”如下：，例如．若，则的值为 ．
10．若关于的一元一次不等式组有且仅有个奇数解，且关于的分式方程的解是整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ．
11．某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树40棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则可列方程为______．
12．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里(1里千米)外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定的时间．设规定的时间为天，则可列方程为______．
三、解答题
13.解下列方程：
(1) (2)
14.解下列分式方程
(1) (2)
15.已知关于x的分式方程无解，求a的值．
16.阅读下列材料：
方程的解为，
方程的解为x=2，
方程的解为，
……
(1)根据上述规律，可知解为的方程为_________；
(2)通过解分式方程说明你写的方程是正确的．
17.“母亲节”来临之际，某花店打算使用不超过元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花共束进行销售．百合与康乃馨的进货价格分别为每束元、元，百合每束的售价是康乃馨每束售价的倍，若消费者用元购买百合的数量比用元购买康乃馨的数量少束．
(1)求百合与康乃馨两种鲜花的售价分别为每束多少元；
(2)花店为了让利给消费者，决定把百合的售价每束降低元，康乃馨的售价每束降低元．求花店应如何进货才能获得最大利润．(假设购进的两种鲜花全部销售完)
18.水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量．
19.2023年5月，江西省突发港涝灾 ，为响应政府救援号召，甲、乙两公司组织全体员工参与“众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共 款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？(注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送)．
20.如果分式M与分式N的差为常数k，且k为正整数，则称M为N的“差整分式”，常数k称为“差整值”．如分式，，，故M为N的“差整分式”，“差整值”．
(1)以下各组分式中，A为B的“差整分式”的是__________(填序号)；
①，， ②，， ③，；
(2)已知分式，，C为D的“差整分式”，且“差整值”，
①求G所代表的代数式；
②若x为正整数，且分式D的值为负整数，求x的值；
(3)已知分式，(其中m为常数)，是否存在m使得P为Q的“差整分式”？若存在，请求出m的值及其“差整值”；若不存在，请说明理由．
答案
一、单选题
1．C
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．
【详解】解：原方程去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：将代入得，
故原方程的解为，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键；
根据分式方程的定义逐个分析判断即可．
【详解】分母中含有未知数，故是分式方程；
分母中不含有未知数，故不是分式方程；
关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程；
关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；
分母中是常数，不含有未知数，故不是分式方程；
综上所述：是分式方程的有1个；
故选：A．
3．A
【分析】本题主要考查了分式方程的知识，理解并掌握解分式方程的方法是解题关键．等式两边同时乘以，即可获得答案．
【详解】解：解分式方程时，
去分母后得到的整式方程是．
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是令最简公分母为0，求出增根．
首先分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根，确定x的值，把x的值代入整式方程计算即可．
【详解】
整理得：，
去分母，得：，
即，
原分式方程有增根，
，即，
当时，，
，
故选：A
5．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．根据比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，可得比赛时小亮平均速度为千米/时，根据比赛时所用时间比训练前少用3分钟即小时，列出方程即可．
【详解】解：∵比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，小亮训练前的平均速度为x千米/时，
∴比赛时小亮平均速度为千米/时，
根据题意可得，
故选：A．
二、填空题
6．
【分析】
本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验．
【详解】解：
，
，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为．
故答案为：．
7．1或
【分析】
本题考查了分式方程无解问题，正确求解分式方程是解题关键．
【详解】解：方程两边同时乘以得：
，
解得：
∵分式方程无解，
∴或或
解得：1或
故答案为：1或
8．且
【分析】本题考查了解分式方程以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算分式方程得出且，结合解是非负数，列式，即可作答．
【详解】解：原方程去分母得：，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴，即，
解得：，
又∵，
∴m的取值范围是且
故答案为：且
9．
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
已知等式利用题中的新定义化简，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：已知等式变形得：，即，
解得：，
经检验是分式方程的解，
则的值为．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，分式方程的解，先求出一元一次不等式组的解，得到，根据一元一次不等式组有且仅有个奇数解，得到，即可得到，又根据分式方程的解是整数，可得到整数的值，相加即可求解，由分式方程的解确定出的值是解题的关键．
【详解】解：解不等式组得，，
∵一元一次不等式组有且仅有个奇数解，
∴这个奇数解为和，
∴，
解得，
由分式方程得，，
∵分式方程的解是整数，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴满足条件的所有整数的值之和为，
故答案为：．
11.
【分析】设实际每天植树棵，则原计划每天植树棵，根据“实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时间相同”列出分式方程即可．
【详解】解：设实际每天植树棵，则原计划每天植树棵，
根据题意，得．
故答案为：．
12.
【分析】根据题意，先得到慢马和快马送的时间，再根据快马的速度是慢马速度的2倍列方程即可．
【详解】解：设规定的时间为天，则慢马送的时间为天，快马送的时间为天，
根据题意，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查列分式方程，理解题意，找到等量关系是解答的关键．
三、解答题
13.(1)
方程两边乘，
得，
解得．
检验：当时，，
所以原分式方程的解为．
(2)，
方程两边乘，
得，
解得．
检验：当时，．
因此不是原分式方程的解，
所以原分式方程无解．
14.(1)
解得
检验：将代入
∴原方程的解为；
(2)
解得
检验：将代入
∴是原方程的增根
∴原方程无解．
15.解：方程两边都乘，得，
整理，得．①
当，，
即时，方程①无解，则原方程无解；
当，即时，
∵原分式方程无解，
∴，即或．
把代入①，得，
把代入①，得．
综上，a的值为或3或．
16.(1)解：∵方程的解为，
方程的解为，
方程的解为，
∴解为的方程为：
(2)
方程可变形为，
∴，
∴，
∴，
解得．
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
17.(1)设康乃馨的售价为每束元，则百合的售价为每束元；
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：康乃馨的售价为每束元，百合的售价为每束元；
(2)设购进百合束，则购进康乃馨束，
∵使用不超过30000元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花，
∴，
解得，
设花店获得利润为元，
根据题意得：，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取最大值(元)，
此时，
答：购进百合束，购进康乃馨束．
19.(1)解：设乙公司有人，则甲公司有人，
由题意得
，
解得．
经检验，是原方程的解．
∴．
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
(2)解：设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，由题意得
，整理得．
又因为，且、为正整数，
所以，．
答：有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资．
20.(1)解：①，
∴A不是B的“差整分式”；
②
，
∴A为B的“差整分式”；
③
，
∴A不是B的“差整分式”，
故答案为：②；
(2)解：∵分式，，C为D的“差整分式”，且“差整值”，
∴，
∴；
②
，
∵x为正整数，且分式D的值为负整数，
∴，
∴；
(3)解：∵，，
∴
，
若P为Q的“差整分式”
则，
解得，经检验m是分式方程的解，
∴，
∵不是正整数，
∴不存在m使得P为Q的“差整分式”．