初中数学北师大版八年级下册 第一章《三角形的证明》复习题（含解析）

第一章《三角形的证明》复习题
线段的垂直平分线和角平分线
一、单选题
1．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点．若，则(　　)

A． B． C． D．
2．如图，射线是的平分线，，，若点Q是射线上一动点，则线段的长度不可能是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
3．在联合会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的(　　)
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点
4．如图，在中，，，直线垂直平分，分别交于点D，交于点E，连接，则等于(　　)
A． B． C． D．
5．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，下列结论：①；②；③平分；④；正确的是( )
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
二、填空题
6．如图，的垂直平分线分别交于点D和点E，连接，则的度数是 ．
7．如图，在中，，平分，，，则点D到的距离是 ．
8．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接，若的周长为，，则的周长为 ．
9．从一个角的顶点出发的两条射线， 如果把这个角分成三个相等的角， 则这两条射线就叫这个角的三等分线．如图， 在中， 点是与三等分线的交点， 若，则的度数是 ．
10．如图，已知在中，，点，分别在边，上，于，，．
(1)若，则 ；
(2)已知，，则的长是 ．
三、解答题
11．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点E、F，连接，作于点D，且D为的中点．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
12．如图，已知中，按下列要求作图(尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)．
(1)作边的垂直平分线，交于点E，交于点F；
(2)连接；
(3)作的平分线，交于点G．
13.如图，于E，于F，若．

(1)求证：平分；
(2)写出与之间的等量关系，并说明理由．
14．如图，P是上一点，于点D，于点E．F，G分别是上的点．．

(1)求证：是的平分线；
(2)若，，．求的长．
15.如图，在中，D是上一点，于点F，连接，垂直平分．

(1)求证：是的平分线；
(2)若的周长为18，的面积为24，，求的长．
16.如图，中，D为的中点，交的平分线于E，，交于F，，交的延长线于G．
(1)试问：与的大小如何？证明你的结论．
(2)若，试求的长．
17.在中，，的垂直平分线交于N，交的延长线于M，度．
(1)求的度数；
(2)若将的度数改为80°，其余条件不变，再求的大小；
(3)你发现了怎样的规律？试证明；
(4)将(1)中的改为钝角，(3)中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．
18.如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点．
(1)若，则的度数为 ；
(2)若，则的度数为 ；(用含的代数式表示)
(3)连接，的周长为，的周长为，求的长．
19.如图，，平分交于D，，点M在的垂直平分线上，交于O，于点G，于点F．

(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)若点D在的垂直平分线上，试判断的形状，并说明理由．
20.数学活动：如图1，角的平分线的性质的几何模型，已知平分，于点，于点．

(1)探究：如图2，点是上任意一点(不与、重合)，连接、，问题：请判断与的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图3，连接．问题：
①垂直平分吗？请说明理由．
②若，，求的周长．
答案
一、单选题
1．C
【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，解题关键是利用垂直平分线的性质添加辅助线构造等腰三角形．
连接，根据垂直平分线性质可得，则等腰三角形中，可推得直角三角形中，，又因为含角的直角三角形中，较短直角边是斜边的一半，故．
【详解】连接，

是的垂直平分线，
，
，
又，
，
，
则在直角三角形中，．
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答．
【详解】解：如图，过点D作于E，
是的角平分线，，
∴DP=DE，
由垂线段最短可得，
，
．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，利用要使游戏公平，凳子就需要放在到、、三名选手距离相等的位置即可得到答案．
【详解】解：由题可得：要使游戏公平，凳子就需要放在到、、三名选手距离相等的位置，
则凳子所在的位置是的外接圆圆心，
∵三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，
∴凳子的位置应该放在三边中垂线的交点．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理， 根据，直线垂直平分，，得到，，结合，得到，结合计算即可．
【详解】解：∵，直线垂直平分，垂足为D，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
故选B．
5．D
【分析】由角平分线的性质可知①正确；由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；若平分，则，与矛盾，可得③错误；连接、，然后证明，从而得到，，从而证明④．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
∴①正确；
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
同理：，
∴，
∴②正确；
∵，
∴若平分，则，与矛盾，
∴③错误；
如图所示：连接、，
∵是的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵中，，中，，
∴，
∴，
∴④正确；
综上可知，正确的有①②④，
故选D．
二、填空题
6．
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，再根据三角形外角的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
7．3
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，熟记角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．过点D作于点H，先求出，由角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可得到点到的距离．
【详解】解：过点D作于点H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴点到的距离是3，
故答案为：3．
8．
【分析】本题考查垂直平分线画图及性质，三角形周长公式．根据题意可知是直线的垂直平分线，利用垂直平分线可知，再利用三角形周长公式进行边的转化即可得到本题答案．
【详解】解：∵分别以点和点为圆心，大于的为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接，
∴是直线的垂直平分线，
∴，
∵若的周长为12，
∴，
∴，
∵，
∴的周长为：，
故答案为：．
9．50
【分析】本题考查了角的等分线计算，正确理解定义是解题的关键．设，，根据三等分线的性质，角的平分线的判定，三角形内角和定理计算即可．
【详解】设，，
∵点是与三等分线的交点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
如图，过点N作于G，于E， 于F，
∵点是与三等分线的交点，
∴平分，平分，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
故答案为：50．
10． 6
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，证明三角形全等是解此题的关键．
(1)先证明得到平分，由三角形内角和定理计算出，即可得到答案；
(2)先计算出，证明得到，最后由即可得到答案．
【详解】解：(1)，，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，
故答案为：；
(2)，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：6．
三、解答题
11．(1)∵D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴；
(2)∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
12．(1)解：如图，
(2)解：如图，
(3)解：如图，
13.(1)证明：∵，，
∴，
∴与 均为直角三角形，
∵在 与中，
∵，
∴
∴，
∴平分；
(2)解：，理由如下：
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
在 与中，
∵ ，
∴，
∴，
∴．
14.(1)证明：在和中，
，
∴，
∴，
∵于点D，于点E，
∴：是的平分线
(2)解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴．
15.(1)证明：∵垂直平分，
∴，
又∵，，
∴是的平分线；
(2)解：∵的周长为18，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴．
16.(1)解：，证明如下：
如图，连接、，
平分，，，
，
D为的中点，，
垂直平分，
，
在和中，
，
，
；
(2)解：在和中，
，
，
，
，
由(1)知，
，
，
．
17.(1)解：∵，度，
∴，
∵为的垂直平分线，
∴，
∴；
(2)∵，度，
∴，
∵为的垂直平分线，
∴，
∴；
(3)等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半，理由如下：
∵，
∴，
∵为的垂直平分线，
∴，
∴；
(4)成立，当为钝角时，如图：
∵，
∴，
∵为的垂直平分线，
∴，
∴；
故成立．
18.(1)解：在中，，
，
分别垂直平分和，
，，
，，
，
，
故答案为：；
(2)解：分别垂直平分和，
，，
，，
，
，即，
，
，，，
，
故答案为：；
(3)解：如图，连接、、，
分别垂直平分和，
，，
的周长为，
，
，即，
的周长为，
，
，
分别垂直平分和，
，，
，
．
19.(1)证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
(2)∵，，，
∴，
∴，，
∵点M在的垂直平分线上，
∴，且，
∴，
∴，，
∴；
(3)∵点D在的垂直平分线上，
∴，
∴，且，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
20.(1)解：，证明如下：
∵平分，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
(2)①解：垂直平分，理由如下：
如图3，记与的交点为，

由(1)可知，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴垂直平分．
②解：∵平分，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长为，
∴求的周长为18．