北京市第一六一中学2024-2025学年初三（下）开学考数学试卷（图片版，含简单答案）

2025北京一六一中初三（下）开学考
数 学
一、选择题（共 16分，每题 2分）
1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已
融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. 如意纹 B. 冰裂纹
C. 盘长纹 D. 风车纹
2. 2024 年 5 月 10 日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST 近期发现了 6 个距离地球约
50 亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50 亿光年用科学记数法表示
为（ ）
A. 8 8 9 1050 10 光年 B. 5 10 光年 C. 5 10 光年 D. 5 10 光年
3. 如图， AOB =160 ， COB = 20 ．若OD 平分 AOC ，则 AOD 的大小为（ ）
A. 20 B. 70 C. 80 D. 140
4. 实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若 a = b ，则下列结论中错误的是（ ）
A. a + b 0 B. a + c 0 C. b + c 0 D. ac 0
5. 如图，在 O 中，弦 AB，CD 相交于点 E， AEC = 74 , ABD = 36 ，则 BOC 的度数为
（ ）
A. 70 B. 76 C. 110 D. 140
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6. 不透明的袋子中有 3 个小球，其中有 1 个红球，1 个黄球，1 个绿球，除颜色外 3 个小球无其他差别，从
中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的小球都是红球的概率是
（ ）
2 1 1 1
A. B. C. D.
3 3 6 9
7. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图．由六条等弧连接而成，六
条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点 O， AB 所在圆的圆心 C 恰好是△ABO 的重心．若
AB = 3 ，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（ ）
A. 4 B. 2 C. 4 3π D. 2 3π
8. 二次函数 y = ax2 + bx + c（ a 0）图象上部分点的坐标满足下表：
x … 3 2 0 1 3 5 …
y … 7 0 8 9 5 7 …
下面有四个结论：
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴为直线 x = 2 ；
③当 2 x 4时， y 0；
④ x = 1是关于 x 的一元二次方程ax2 + bx + c + 5 = 0（ a 0）的一个根．
其中正确的结论有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
二、填空题（共 16分，每题 2分）
2
9. 若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是______．
x 3
10. 已知 5 a 13 ，且 a 是整数，则 a 的值是____．
11. 分解因式：3m2 3n2 = __________．
12. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 3x +m = 0没有实数根，则 m 的取值范围是________．
m+ 2
13. 在平面直有坐标系 xOy 中，若点 A( 3, y1 )， B ( 1, y2 )在反比例函数 y = 的图象上，且
x
y1 y2 ，则 m 的取值范围是__________．
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14. 在读书活动中，某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多 2
人，甲班学生读书 256 本，乙班学生读书 180 本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的
3
．求甲乙两班各有多少人？设乙班有 x 人，依题意，可列方程为_______．
4
15. 在半径为 5 的圆中，有两条弦的长分别为 6 和 8，这两条弦的中点的距离 x 的取值范围是______.
16. 如图， ABC = 90°，BA = BC ， BM 是 ABC 内部的射线且 CBM 45°，过点A 作 AD ⊥ BM 于点
D ，过点C 作CE ⊥ BM 于点 E ，在 DA上取点 F ，使得 DF = DE ，连接 EF ．
设CE = a，BE = b，EF = c ，给出下面三个结论：
① c = 2(b a)；
② 2 ( )2a + c b + b a ；
③ 2 22b a + b ．
上述结论中，所有正确结论的序号是_______．
三、解答题（共 68分，第 17-21题，每题 5分，第 22-23题，每题 6分，第 24题 5分，第
25-26题 6分，第 27-28题，每题 7分）
0
17. 计算： 3 tan 60 8 + 2 (1 ) ．
3x 4 2(x 3)

18. 解不等式组： x + 4 ．
x
3
19. 已知 x2
9 2x + 6
3x 6 = 0，求代数式(x ) 的值． 2
x x
20. 下面是小郭设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线 l 和直线外一点 P．
求作：过点 P 作直线 l 的平行线．
作法：如图，
①在直线 l 上任取点 O；
②作直线 PO；
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③以点 O 为圆心OP 长为半径画圆，交直线 PO于点 A，交直线 l 于点 B；
④连接 AB ，以点 B 为圆心， BA 长为半径画弧，交 O 于点 C（点 A 与 C 不重合）；
⑤作直线CP ．
则直线CP 即为所求．
根据小郭设计的尺规作图过程，完成以下任务．
（1）补全图形；
（2）完成下面的证明并在括号内填写推理依据．
证明：连接 BP, BC ．
∵ AB = BC ，
∴ AB = BC ，
∴ APB = （ ）．
∵OB =OP ，
∴ OBP = OPB （ ），
∴ CPB = OBP ，
∴CP l ．
21. 如图；在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = kx 与 y = 6 x的图象交于点 A．
（1）若点 A 的横坐标为 2，求 k 的值；
（2）若关于 x 的不等式 kx 6 x 有且只有 2 个正整数解，直接写出 k 的取值范围．
22. 如图，在 ABC 中， AB = AC ，点 D 是 BC 边的中点，连接 AD ，分别过点A ，C 作 AE∥BC ，
CE∥AD 交于点 E ，连接 DE ，交 AC 于点O ．
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（1）求证：四边形 ADCE 是矩形；
4
（2）若 AB =10， sin COE = ，求CE 的长．
5
23. 某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择 8 名选手，统计了他们的身高（单位：cm），数
据整理如下：
a．1 班 168 171 172 174 174 176 177 179
2 班 168 170 171 174 176 176 178 183
b．每班 8 名选手身高的平均数、中位数、众数如下：
班级 平均数 中位数 众数
1 班 173.875 174 174
2 班 174.5 m n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 m，n 的值；
（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在 1 班和 2 班的选手
中，身高比较整齐的是______班（填“1”或“2”）；
（3）1 班的 6 位首发选手的身高分别为 171，172，174，174，176，177．如果 2 班已经选出 5 位首发选
手，身高分别为 171，174，176，176，178，要使得 2 班 6 位首发选手的平均身高不低于 1 班 6 位首发选
手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是______cm．
24. 如图 1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边 AB ， AC ， BD和抛物线的一段（点
E为抛物线的顶点）构成．以 AB 的中点 O为原点，分别以直线 AB 和抛物线的对称轴为 x轴和 y轴，建立
如图 2 所示的平面直角坐标系．其中， AB =12米， AC = BD = 3米，OE = 7 米．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于 1 米．若行
车道的总宽度MN 为 8 米，且 O 为MN 的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的宽度
忽略不计）
25. 如图， AB 为 O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，D 为 O 上一点，连接CD， AD ，
ADC = AOF，OF ⊥ AD于点 E，交CD于点 F．
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（1）求证：CD是 O 的切线；
（2）若 AC = 2OA, EF = 2，求 BD的长．
2
26. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 (2,n)在抛物线 y = x (m+3) x +3m 上，设抛物线的对称轴为直线
x = t .
（1）当n = 3m时，求 t 的值；
（2）点 A( t, y1 )， B (t +1, y2 )在抛物线上，若mn 0，比较 y1 ， y2 的大小，并说明理由.
27. 如图，在等边 ABC 中，D 为 AB 上一点，连接CD，E 为线段CD上一点（CE DE ），将线段CE
绕点 C 顺时针旋转60 得到线段CF ，连接 AF ．
（1）求证： BE = AF ；
（2）点 G 为 BC 延长线上一点，连接 AG 交CF 于点 M．若 M 为 AG 的中点，用等式表示线段
CE，MF，DE 之间的数量关系，并证明.
28. 在平面直角坐标系 xOy 中， O 的半径为 1，对于 O 的弦 AB 和不在直线 AB 上的点 C，给出如下定
义：若 ACB = ，且点 C 关于弦 AB 的中点 M 的对称点在 O 上或其内部，则称点 C 为弦 AB 的“
关联点”.
1 3
（1）已知点 A ,
B 1,0
2 2
， ( ).

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①在点C1 ( 1, 1)，C2 (2,0)，C3 (0, 3)中，点 是弦 AB 的关联点，其中 = °；
②若直线 y = 3x + b 上存在 AB 的“60 关联点”，则 b 的取值范围是 ；
（2）若点 C 是 AB 的“60 关联点”，且OC = 3 ，直接写出弦 AB 的最大值和最小值.
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