选择必修第三册 第六章 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时） 课件(共23张PPT)

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第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理； 1.特殊到一般的数学素养和归纳的数学素养.
2.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义； 2.数学抽象的素养.
3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题. 3.逻辑推理的数学素养.
知识背景
第六章 计数原理
汽车号牌的序号一般是从26个英文字母、10个阿拉伯数字中选出若干个，并按适当顺序排列而成.随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号牌序号需要扩容.那么交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢？这就需要“数（shǔ)出”某种汽车号牌序号的组成方案下有可能的序号数.这就是计数.
日常生活、生产中类似的问题大量存在.例如，幼儿会通过一个一个地数的方法，统计自己拥有玩具的数量；学校要举行班际篮球比赛，在确定赛制后，体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛；用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信号……如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种好的计数方法.但如果问题中数量很多，我们还一个一个地去数吗？
本章将要学习分类加法计数原理与分步乘法计数原理，这两个计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，利用其可以得到两类特殊计数问题的计数公式－排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题.作为计数原理与计数公式的应用，我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理.
新知探究
6.1. 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）
计数问题是我们从小就遇到的，通过一个一个地数是计数的基本方法.但当问题中数量很大时，列举的方法效率不高.能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.
用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
完成一件什么事
怎么完成这件事
英文字母
有什么要求
→
→
英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.
座位编号
英文字母
一个数字
26
10
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⑴确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
上述计数过程的基本环节是：
⑵分别计算各类号码的个数；
你能说一说这个问题的特征吗？
首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示.因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同.这两类号码数相加就得到号码的总数.
⑶各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.
你能举一些生活中类似的例子吗
读书课上，老师提供了6本不同的科普杂志，7本不同的文学杂志，你从其中任选一本，有几种选择方式？
选一本书
科普杂志
文学杂志
6种
7种
6+7=13（种）
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完成一件事有两类方案. 在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，则完成这件事共有
N= m+n
种不同的方法.
一般地，有如下分类加法计数原理：
两类不同方案中的方法互不相同.
【例1】在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 信息技术学
物理学 法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
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分析：要完成的事情是“选一个专业”.因为这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件.
这名同学可以选择A,B两所大学中的一所.在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法.因为没有一个强势专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为
解：
N=5+4=9.
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分类加法计数原理的推广：
如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事有n类不同方案，在每一类方案中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？
N=m1+m2+m3.
完成一件事,如果有n类不同的方案,而且第一类方案中有m1种不同的方法,第二类方案中有m2种不同的方法……第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有
N=m1+m2+…+mn
种不同的方法.
分类加法计数原理使用前提：
各类方案中的方法互不相同且都能独立完成这件事情.
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用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以A1,A2,...,A9,B1,B2,...的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
这里要完成的事情任然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同.在前一个问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码.但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤.
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用下图所示的方法可以列出所有可能的号码.
用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以A1,A2,...,A9,B1,B2,...的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
左图是解决计数问题常用的“树状图”.你能用树状图列出所有可能的号码吗
知新探究
用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以A1,A2,...,A9,B1,B2,...的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
也可能这样思考：
由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有
6×9=54种不同的号码.
知新探究
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有
N＝m×n
种不同的方法.
你能说一说这个问题的特征吗？
上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成.因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的.
一般地，有如下分步乘法计数原理：
无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数.
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【例2】某班有男生30名、女生24名，现要从中选出男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
解：
任选男生和女生各1人，可以分两个步骤完成：
分析:要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：
第1步，选男生； 第2步，选女生.
第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；
第1步
30
第2步
24
第2步，从24名男生中选出1人，有24种不同选法.
根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为
N =30×24=720.
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分步乘法计数原理的推广：
完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m1×m2×…×mn.
种不同的方法.
如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事有n个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？
N=m1×m2×m3.
分步乘法计数原理使用前提：
各步中每种方法不能独立完成这件事.
新知探究
两个原理的区别与联系：
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 不同点
注意点
用来计算“完成一件事”的不同方法种数
分类完成，类类相加
分步完成，步步相乘
各类中每种方法都能独立完成这件事
每步依次完成才算完成这件事（各步中每种方法不能独立完成这件事）
类类独立，不重不漏
步步依存，步骤完整
新知探究
⑴从书架上任取1本书，有三类方案：
第2类方案是从第2层取1本文艺书，有3种方法；
解：
第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种取法；
根据分类加法计数原理，不同取法种数为
【例3】书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
⑴从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
⑵从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同的取法？
分析:⑴要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；
第3类方案是从第3层取1本体育书，有2种方法.
N =4+3+2=9.
新知探究
⑵从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：
第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；
解：
第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；
根据分步乘法计数原理，不同取法种数为
【例3】书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
⑴从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
⑵从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同的取法？
分析:⑵要完成的一件事是“从书架第1层、第2层、第3层中各取1本书”，可以分三个步骤完成.
第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法.
N =4×3×2=24.
初试身手
⑴要选出1人来完成的这项工作，有2种方法：
第2种，从另4个人中选1人，有4种选法.
解：
第1种，从前5个人中选1人，有5种选法；
根据分步乘法计数原理，不同的配法种数为
⑴一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是________；
⑵现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　)
A．7 B．12 C．64 D．81
第1步，从3条不同颜色的长裤中取一条，有3种方法；
N =3×4=12.
根据分类加法计数原理，不同选法种数为
N =5+4=9.
9
⑵要完成“取一条长裤与一件上衣配成一套”，可以分两个步骤完成：
第2步，从4件不同款式的上衣中取一件，有4种方法.
故选B.
B
课堂小结
解答计数问题的一般过程
1.明确完成一件什么事情；
2.根据如何完成这件事，确定是方法的分类还是过程的分步；
3.分类用分类加法计数原理（不重不漏），
分步用分步乘法计数原理（步骤完整）.
作业布置
作业：
P6 练习 第3,4题
P11 习题6.1 第1，5题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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