24.1.2垂直于弦的直径知识梳理与同步练习人教版2024—2025学年九年级上册（无答案）

24.1.2垂直于弦的直径知识梳理与同步练习人教版2024—2025学年九年级上册
一、知识梳理
（一）垂径定理及其推论
问题：如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB, 垂足为E. 图中相等的线段和劣弧有哪些 为什么
归纳总结：
垂径定理： .
数学语言： .
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
归纳总结：
垂径定理的几个基本图形：
思考探索：
（1）如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
（2） 以下五个条件中：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？任选一种组合证明你的猜想.
证明举例： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）弧AC与弧BC相等吗？ 弧AD与弧BD相等吗？为什么？
归纳总结：
垂径定理的推论： .
数学语言： .
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
二、典例精析
（二）垂径定理及其推论的计算
例1：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，OE＝3，那么线段CD的长为（　　）
A．10 B．8
C．6 D．4
例2：如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1．求⊙O的半径．
例3：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE＝3，CD＝8．
（1）求CE的长度；
（2）求OC的长度．
变式1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（　　）
A．4 B．
C．5 D．
变式2：如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（　　）
B．
C．3 D．5
例4：如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求弦DB的长度．
变式1：如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC．
（1）求∠B的度数；
（2）若，求⊙O的半径．
（三）、垂径定理的实际应用
例5：唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子半径为（　　）
A．2m B．3m
C．4m D．5m
例6：如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝24m，拱高CD＝8m，则拱桥的半径为（　　）
A．9m B．10m
C．12m D．13m
例7：把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的直径长是（　　）
A．15cm B．16cm
C．18cm D．20cm
例8：如图、，一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为 cm.
变式1：已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 cm.
变式2：⊙O的直径AB=20cm，∠BAC=30°，则弦AC= cm. .
变式3：已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离发为 cm.
三、课后练习
1．如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（0，3），C（﹣2，0），则点D的坐标为（　　）
（0，﹣1） B．（0，﹣2）
C．（0，﹣3） D．（0，﹣4）
2.如图，圆柱形水管内积水的水平面宽AB＝8cm，水深CD＝2cm．则水管的半径是（　　）
A．4cm B．5cm
C．6cm D．7cm
3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，⊙O半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧，点O是这段弧所在圆的圆心，点C是上一点，OC⊥AB，垂足为点D，AB＝300m，CD＝50m，则弧所在圆的半径是（　　）
A．150m B．250m C．300m D．350m
5. 如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为AB上的一个动点，则OP长的取值范围 .
6．某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度AB（弧所对的弦）的长为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
7．苏州是一座拥有4000多年历史的文化名城，苏州古城座落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m．
（1）求此圆弧形拱桥的半径；
（2）若有一艘宽12m的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面3m，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由．
8 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m. 求这段弯路的半径.
9. 如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
10. 如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）
11．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，⊙A交BC于D，E两点，半径AF⊥BC于H．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若DE＝8，FH＝2，求⊙A的半径．
12．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝200m，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝50m．求这段弯路的半径．
13．如图，以AB为直径的半圆O上有一点C，过点C作CD⊥OA，垂足为点D，过点A作AE⊥OC，垂足为点E（不与点O，C重合），AE的延长线交半圆O于点F．求证：．
14．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽AB为16m，拱高CN为4m．
（1）求桥拱的半径；
（2）此桥的安全限度是拱顶C点距离水面不得小于1.5m，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度DE为12m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．
15．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝52cm，MN为水面截线，MN＝48cm，GH为桌面截线，MN∥GH．
（1）作OC⊥MN于点C，求OC的长；
（2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm，求此时水面截线减少了多少．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，BC＝6．
（1）若∠A＝35°，求的长度；
（2）若AC＝8，求BD的长．