目 录
第一部分 知识结构导图
第二部分 专题知识梳理
第三部分 真题复习精练 （选择题、计算题、解答题）
小学阶段所学的立体图形主要有长方体、正方体、圆柱体和圆锥体，这四种立体图形的表面积和体积的计算是小升初数学的热点内容，特别是涉及到立体图形的切拼时，立体图形的表面积和体积发生了变化，牢固掌握这些立体图形的特征和有关的计算方法及切拼时表面积和体积的变化规律是解题的关键，本讲将在前面两讲学习的基础上进一步总结整理立体图形切拼时表面积和体积的变化规律。
图形 名称 图形 计算公式
文字公式 字母公式
长方体 表面积=（长×宽+长×高+高×宽）×2
体积=长×宽×高
正方体 表面积=边长×边长×6
体积=棱长×棱长×棱长
圆柱 表面积=侧面积+底面积×2 侧面积=底面周长×高
体积=底面积×高
圆锥
1.立体图形：
（1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。
（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。
（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。
2.解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：
（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。
（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变.
（3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的方法求体积。
（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。
一、填空题
1．（2022·重庆忠县·小升初真题）一个长方体的玻璃鱼缸，长8dm、宽5dm。放入一块不规则的石头后水深1.9dm，捞出这块石头后，水面下降0.2dm。这块石头的体积是( )。
2．（2022·陕西榆林·小升初真题）一块圆柱形橡皮泥，底面积是24平方厘米，高是5厘米，如果捏成与圆柱等底的圆锥形，高是( )厘米；如果捏成与圆柱等高的圆锥形，底面积是( )平方厘米。
3．（2022·浙江温州·小升初真题）一个圆锥形碎石堆，底面周长是62.8米，高是0.9米，将这堆碎石铺在10米宽的公路上，厚度为6厘米，能铺( )米。
4．（2022·四川·小升初真题）有一玻璃密封器皿如图1，测得其底面直径为20，高为20。现内装蓝色溶液若干，如图2放置时，测得液面高10。如图3放置时，测得液面高16。该玻璃密封器皿总容量为( )。（结果保留）
5．（2022·甘肃平凉·小升初真题）小华在玩一个圆柱体橡皮泥，高为30厘米，侧面展开图正好是一个正方形，这个圆柱体的侧面积是( )平方厘米，体积为( )立方厘米；若要在它周围添加橡皮泥，使它成为高不变、底面直径不变的长方体，则需要添加的橡皮泥体积为( )立方厘米。
6．（2022·辽宁大连·小升初真题）一个长方体容器的底面积是20平方厘米，目前水面高度10厘米。放入一块石头，完全浸没后，水面升高了3厘米。这块石头的体积是( )立方厘米。
7．（2022·河南信阳·小升初真题）一个圆柱体水箱中水高为10厘米，圆柱的底面积为20平方厘米，现将一个石块放进水中（完全淹没），水溢出了30毫升。拿出石块，水面下降了4厘米，石块的体积是( )立方厘米。
8．（2022·河南郑州·小升初真题）—个正方体容器，从里面量棱长为2分米，倒入5升水，再把一块石头没入水中。这时量得容器内水深15厘米，石头的体积是( )立方厘米。
9．（2020·甘肃陇南·小升初真题）下图是由5个棱长为1cm的小正方体搭成的，这个立体图形的表面积是( )，体积是( )。
10．（2022·安徽蚌埠·小升初真题）用棱长1分米的小正方体搭成一个模型，从正面看是，从上面看是，从侧面看是，这个模型的体积是( )立方分米。
11．（2022·浙江杭州·小升初真题）下面图形是由棱长为1厘米的正方体拼成的，它的表面积是( )平方厘米；至少还需要( )个这样的小正方体才能拼成一个大正方体。
12．（2022·广东揭阳·小升初真题）下图是由若干个棱长5cm的正方体叠成的，它露在外面的面积是( )cm2，这些正方体的体积共( )cm3。
13．（2022·浙江温州·小升初真题）有7个分开摆放的棱长1cm的小正方体，把它们搭成一个几何体（如下图），表面积比原来减少了( )cm2。
14．（2022·海南省直辖县级单位·小升初真题）用棱长是1厘米的小正方体拼成如图。这个图形的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
15．（2022·陕西西安·小升初真题）由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为( )。
二、计算题
16．（2022·陕西渭南·小升初真题）计算下面组合图形的体积。（单位：cm）
17．（2022·浙江宁波·小升初真题）求下面图形的体积（单位：厘米）。
18．（2022·陕西安康·小升初真题）计算如图图形的体积。
19．（2022·贵州黔东南·小升初真题）求下面图形的表面积。（单位：厘米）
20．（2021·陕西汉中·小升初真题）计算下面图形的表面积。（单位：cm）
三、解答题
21．（2022·陕西西安·小升初真题）把一块底面半径为3厘米，高为5厘米的圆锥形铁块完全浸没在一个盛有水的圆柱形玻璃容器内（水没有溢出），已知容器的底面直径为20厘米，容器内的水面会上升多少厘米？
22．（2022·广西玉林·小升初真题）陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个底面直径是6厘米的木制陀螺（如图），这个陀螺的体积是多少立方厘米？
23．（2022·山东日照·小升初真题）一个底面内直径是8分米的圆柱形无盖铁桶，高6分米。
（1）做这个铁桶需要多少铁皮？
（2）铁桶装有高为3分米的水，放入一个底面半径是2分米的圆锥后，水面上升2分米，这个圆锥的高是多少？
24．（2022·甘肃陇南·小升初真题）有一个完全封闭的容器，从里面测得长是20厘米，宽是15厘米，高是10厘米。平放时测得容器里水的高度是6厘米。如果把这个容器竖起来放（如图），水的高度是多少厘米？
25．（2022·陕西汉中·小升初真题）一个圆柱形容器，从里面量底面半径为20厘米，里面盛有80厘米深的水，现将一个底面半径为10厘米的圆锥形铁块完全浸没水中，这时水面比原来上升了。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？
26．（2022·河北保定·小升初真题）把一个圆锥完全浸没在一个底面半径是4厘米的圆柱形水槽里，水面上升了3厘米。已知圆锥的底面积是12平方厘米，这个圆锥的高是多少厘米？（π取3.14）
27．（2022·河北廊坊·小升初真题）一只底面半径为40厘米的圆柱形水桶内盛有80厘米深的水，将一个高8厘米的圆锥形铁块沉没水中，水没有溢出，水面上升1.5厘米，铁块的底面积是多少平方厘米？
28．（2022·湖南娄底·小升初真题）一个底面直径是16厘米的圆柱形容器中装有一些水，把一个底面半径是5厘米的圆锥形铅块完全浸没在水中，水未溢出，容器内的水上升了2.5厘米，圆锥形铅块的高是多少厘米？
29．（2022·重庆·小升初真题）一个圆柱形容器，底面直径4分米，高7分米。它里面装有一些水，水的高度是5分米，现将一个圆锥完全沉入水中，溢出了37.68升水。这个圆锥的体积是多少？
30．（2022·广西南宁·小升初真题）一个正方体玻璃鱼缸从内测量棱长是5分米，水深3分米。李明现在将一个底面积是12.5平方分米的圆锥装饰物放入鱼缸，完全浸没在水中，这时水面上升了2厘米，这个圆锥装饰物的高是多少？
31．（2022·安徽铜陵·小升初真题）如图，在一个内直径8厘米的瓶子里装了一些水，水的高度是7厘米。把瓶盖拧紧倒置垂直竖放，高18厘米。这个瓶子的容积是多少？
32．（2022·河南郑州·小升初真题）小明为了测量出一只鸡蛋的体积，按如下的步骤进行了一个实验：
①在一个底面直径是8厘米的圆柱体玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；
②将鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是6.2厘米。
如果玻璃的厚度忽略不计，这只鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？
33．（2022·广东茂名·小升初真题）在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），如果把钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？
34．（2022·河北唐山·小升初真题）张医生定做了一个药箱，从侧面看是由一个半圆和一个正方形组成。（如图）
（1）如果忽略厚度不计，这个药箱的容积是多少？
（2）如果给药箱外表面刷漆（底面不刷），刷漆的面积是多少？
35．（2022·安徽合肥·小升初真题）古代的铜钱都是“外圆内方”，铜钱内正方形的边长是0.5厘米。小明把20枚相同的古代铜钱叠在一起的形状如图，每枚铜钱的体积是多少立方厘米？（取值3.14）
36．（2022·内蒙古呼伦贝尔·小升初真题）这只工具箱的表面积是多少？（单位：分米）
37．（2024·福建莆田·小升初真题）2000多年前，古希腊国王让人做了一顶纯金的皇冠，但他怀疑皇冠被掺了铜，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德用“排水法”来鉴别皇冠的真伪：金子的密度约为19克/立方厘米，铜的密度约为9克/立方厘米，在质量相同的情况下金子的体积比较小；如果掺了铜后，密度减小，体积增大，排出的水就多了。阿基米德做了如下的实验：第一步，称出这顶皇冠的质量是950克；第二步，把这顶皇冠浸没在装满水的容器中，测量出排出的水有70毫升。（提示：密度＝质量÷体积）
（1）这顶皇冠是否被掺了铜？请计算说明理由。
（2）如果有掺铜，请你算出皇冠被掺了多少克铜？
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第一部分 知识结构导图
第二部分 专题知识梳理
第三部分 真题复习精练 （选择题、计算题、解答题）
小学阶段所学的立体图形主要有长方体、正方体、圆柱体和圆锥体，这四种立体图形的表面积和体积的计算是小升初数学的热点内容，特别是涉及到立体图形的切拼时，立体图形的表面积和体积发生了变化，牢固掌握这些立体图形的特征和有关的计算方法及切拼时表面积和体积的变化规律是解题的关键，本讲将在前面两讲学习的基础上进一步总结整理立体图形切拼时表面积和体积的变化规律。
图形 名称 图形 计算公式
文字公式 字母公式
长方体 表面积=（长×宽+长×高+高×宽）×2
体积=长×宽×高
正方体 表面积=边长×边长×6
体积=棱长×棱长×棱长
圆柱 表面积=侧面积+底面积×2 侧面积=底面周长×高
体积=底面积×高
圆锥
1.立体图形：
（1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。
（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。
（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。
2.解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：
（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。
（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变.
（3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的方法求体积。
（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。
一、填空题
1．（2022·重庆忠县·小升初真题）一个长方体的玻璃鱼缸，长8dm、宽5dm。放入一块不规则的石头后水深1.9dm，捞出这块石头后，水面下降0.2dm。这块石头的体积是( )。
【答案】8dm3/8立方分米
【分析】不规则石头的体积即下降水的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，即可列式解答。
【详解】8×5×0.2
＝40×0.2
＝8（dm3）
【点睛】解答本题的关键是理解石头的体积即下降水的体积。
2．（2022·陕西榆林·小升初真题）一块圆柱形橡皮泥，底面积是24平方厘米，高是5厘米，如果捏成与圆柱等底的圆锥形，高是( )厘米；如果捏成与圆柱等高的圆锥形，底面积是( )平方厘米。
【答案】 15 72
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，据此求出橡皮泥的体积，橡皮泥的体积不变，根据圆锥的体积公式：V＝Sh，据此解答即可；
【详解】24×5×3÷24
＝120×3÷24
＝360÷24
＝15（厘米）
24×5×3÷5
＝120×3÷5
＝360÷5
＝72（平方厘米）
如果捏成与圆柱等底的圆锥形，高是15厘米；如果捏成与圆柱等高的圆锥形，底面积是72平方厘米。
【点睛】本题考查圆柱和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
3．（2022·浙江温州·小升初真题）一个圆锥形碎石堆，底面周长是62.8米，高是0.9米，将这堆碎石铺在10米宽的公路上，厚度为6厘米，能铺( )米。
【答案】157
【分析】先根据圆锥的底面周长求出圆锥的底面半径，再利用“”表示出这堆碎石的体积，最后根据“”求出这堆碎石可以铺路的长度，据此解答。
【详解】6厘米＝0.06米
62.8÷3.14÷2
＝20÷2
＝10（米）
×0.9×3.14×102÷10÷0.06
＝0.3×3.14×100÷10÷0.06
＝0.942×100÷10÷0.06
＝9.42÷0.06
＝157（米）
所以，能铺157米。
【点睛】熟练掌握圆锥和长方体的体积计算公式是解答题目的关键。
4．（2022·四川·小升初真题）有一玻璃密封器皿如图1，测得其底面直径为20，高为20。现内装蓝色溶液若干，如图2放置时，测得液面高10。如图3放置时，测得液面高16。该玻璃密封器皿总容量为( )。（结果保留）
【答案】
【分析】蓝色溶液的体积没有发生变化，图2和图3的阴影部分都是液体的体积。由图2可以根据圆柱的体积＝算出蓝色溶液的体积。再根据图三求出空白部分的体积，空白的部分是一个和圆柱相同的底面，但是高是4cm的圆柱。整个玻璃器皿的体积＝蓝色溶液的体积＋空白部分的体积。
【详解】蓝色溶液的体积：
＝
＝
＝（cm3）
空白部分的体积：
＝
＝
＝（cm3）
玻璃器皿的体积：（cm3）
则玻璃密封器皿总容量为cm3。（结果保留）
5．（2022·甘肃平凉·小升初真题）小华在玩一个圆柱体橡皮泥，高为30厘米，侧面展开图正好是一个正方形，这个圆柱体的侧面积是( )平方厘米，体积为( )立方厘米；若要在它周围添加橡皮泥，使它成为高不变、底面直径不变的长方体，则需要添加的橡皮泥体积为( )立方厘米。
【答案】 900 －
【分析】根据圆柱侧面展开图的特征可知，如果圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长和高相等，根据圆柱的侧面积公式：S侧＝Ch，圆柱的体积公式：V圆柱体＝Sh，再根据长方体的体积公式公式：V长方体＝abh，需要添加的体积等于长方体的体积减去圆柱的体积，把数据代入公式解答。
【详解】30×30＝900（平方厘米）
30÷π÷2
＝÷2
＝（厘米）
π×（）2×30
＝π××30
＝
＝（立方厘米）
××30
＝
＝（立方厘米）
则需要添加的橡皮泥体积为（－）立方厘米。
【点睛】由题目里数据可得这是一个细高的圆柱体，需要充分展开空间思维，结合相关公式来计算，数据稍显复杂，要缜密计算。
6．（2022·辽宁大连·小升初真题）一个长方体容器的底面积是20平方厘米，目前水面高度10厘米。放入一块石头，完全浸没后，水面升高了3厘米。这块石头的体积是( )立方厘米。
【答案】60
【分析】根据题意知，这块石头的体积等于上升的水的体积，用底面积乘上升的高度即可。
【详解】20×3＝60（立方厘米）
这块石头的体积是60立方厘米。
【点睛】本题主要考查某些实物体积的测量方法。
7．（2022·河南信阳·小升初真题）一个圆柱体水箱中水高为10厘米，圆柱的底面积为20平方厘米，现将一个石块放进水中（完全淹没），水溢出了30毫升。拿出石块，水面下降了4厘米，石块的体积是( )立方厘米。
【答案】110
【分析】由题可知，石块的体积等于溢出水的体积加上下降的水的体积，先用水箱的底面积乘下降的厘米数，求出下降水的体积，进而加上溢出水的体积即可解答。
【详解】20×4＝80（立方厘米）
30毫升＝30立方厘米
80＋30＝110（立方厘米）
【点睛】此题主要考查某些实物体积的测量方法。
8．（2022·河南郑州·小升初真题）—个正方体容器，从里面量棱长为2分米，倒入5升水，再把一块石头没入水中。这时量得容器内水深15厘米，石头的体积是( )立方厘米。
【答案】1000
【分析】根据长方体的体积公式：V＝Sh，用倒入水的体积除以正方体容器的底面积，即可求出倒入水后水面的高度为12.5厘米；石头放入水中后，石头的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为20厘米，宽为20厘米，高为（15－12.5）厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式，把数据代入即可得解。
【详解】5升＝5立方分米
5÷（2×2）
＝5÷4
＝1.25（分米）
1.25分米＝12.5厘米
2分米＝20厘米
20×20×（15－12.5）
＝400×2.5
＝1000（立方厘米）
即石头的体积是1000立方厘米。
【点睛】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用长方体的体积公式，解决问题。
9．（2020·甘肃陇南·小升初真题）下图是由5个棱长为1cm的小正方体搭成的，这个立体图形的表面积是( )，体积是( )。
【答案】 20 5
【分析】根据图可知，可以把这个组合体看成左边的一个小正方体和右边的长方体两部分，根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，和正方体的表面积公式：棱长×棱长×6，把数代入求出这两个的表面积，然后相加，再减去2个边长是1厘米的正方形的面积即可；由图可知，长方体的长是2厘米，宽是1厘米，高是2厘米；
根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，把数代入求出一个小正方体的体积，之后再乘5即可求出这个立体图形的体积。
【详解】长方体的表面积：（2×1＋2×2＋1×2）×2
＝（2＋4＋2）×2
＝8×2
＝16（平方厘米）
正方体的表面积：1×1×6＝1×6＝6（平方厘米）
16＋6－1×1×2
＝22－2
＝20（平方厘米）
体积：1×1×1×5
＝1×5
＝5（立方厘米）
【点睛】本题主要考查长方体正方体的表面积公式和体积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。
10．（2022·安徽蚌埠·小升初真题）用棱长1分米的小正方体搭成一个模型，从正面看是，从上面看是，从侧面看是，这个模型的体积是( )立方分米。
【答案】6
【分析】这个立方体图形，从正面看是3个正方形，说明从正面看是由3个小正方体组成的，分两层，下层2个，上层1个靠右；从上面看是4个正方形，说明最下面1层有4个小正方体，从右面看也是4个正方形，说明上面有2个小正方体，由此即可知道这个立体图形是由4＋2＝6个小正方体组成，根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，求出1个小正方体的体积，再乘6即可。
【详解】由分析可知，这个模型是由6个小正方体构成。
1×1×1
＝1×1
＝1（立方分米）
1×6＝6（立方分米）
【点睛】此题考查了从不同方向观察物体和几何体，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力以及正方体的体积公式。
11．（2022·浙江杭州·小升初真题）下面图形是由棱长为1厘米的正方体拼成的，它的表面积是( )平方厘米；至少还需要( )个这样的小正方体才能拼成一个大正方体。
【答案】 18 4
【分析】（1）观察图形可知：从上面和下面看：分别有3个小正方体的面；从左面和右面看：分别有3个小正方体的面；从前面和后面看分别有3个小正方体的面，1个小正方体的面的面积是1×1＝1平方厘米，由此即可求出这个图形的表面积；
（2）观察图形可知：拼组后的大正方体的每条棱长至少是由2个小正方体组成的，由此可以求出拼组后的大正方体中的小正方体的个数，再减去图中已有的小正方体个数即可。
【详解】3×6＝18（平方厘米）
2×2×2－4
＝8－4
＝4（个）
【点睛】此题主要考查了学生通过观察立体图形解决问题的能力，根据已知图形确定出拼组后的正方体的最小棱长是解决本题的关键。
12．（2022·广东揭阳·小升初真题）下图是由若干个棱长5cm的正方体叠成的，它露在外面的面积是( )cm2，这些正方体的体积共( )cm3。
【答案】 350 1000
【分析】观察图形可知，从正面看，有5个面露在外面；从上面看，有5个面露在外面；从右面看有4个面露在外面，一个露在外面的面有：5＋5＋4＝11个，再用棱长×棱长×露在外面面的个数，即可求出露在外面面的面积；再根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出一个正方体的体积，再乘8，即可求出这个立体图形的体积。
【详解】露在外面的面的个数：
5＋5＋4
＝10＋4
＝14（个）
露在外面的面积：5×5×14
＝25×14
＝350（cm2）
体积：5×5×5×8
＝125×8
＝1000（cm3）
【点睛】解答本题的关键是数清楚露在外面的个数，以及正方体体积公式的应用。
13．（2022·浙江温州·小升初真题）有7个分开摆放的棱长1cm的小正方体，把它们搭成一个几何体（如下图），表面积比原来减少了( )cm2。
【答案】18
【分析】根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，求出一个小正方体表面积，再乘7，是原来7个小正方体表面积和；拼成的几何体，看上去表面积比大正方体少了3个小正方形，里面有出现了同样的3个小正方形，所以拼成的几何体的表面积＝8个小正方体拼成的大正方体的表面积，求出大正方体表面积，与原来7个小正方体表面积和求差即可。
【详解】1×1×6×7＝42（cm2）
1＋1＝2（cm）
2×2×6＝24（cm2）
42－24＝18（cm2）
【点睛】关键是掌握并灵活运用正方体表面积公式。
14．（2022·海南省直辖县级单位·小升初真题）用棱长是1厘米的小正方体拼成如图。这个图形的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
【答案】 24 6
【分析】这个立体图形的每个面都是小正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出每个小正方形的面积；观察这个立体图形的上、下面都是5个面，左、右面都是3个面，前、后面都是4个面，据此算出小正方形的总个数，再乘每个小正方形的面积，即是这个立体图形的表面积；
这个立体图形是由6个小正方体组成的，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出每个小正方体的体积，再乘6即可。
【详解】小正方形的个数：
（5＋4＋3）×2
＝12×2
＝24（个）
这个图形的表面积是：
1×1×24＝24（平方厘米）
这个图形的体积：
1×1×1×6＝6（立方厘米）
【点睛】掌握不规则的立体图形的表面积、体积的计算方法是解题的关键。
15．（2022·陕西西安·小升初真题）由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为( )。
【答案】50
【分析】首先数出露出的面的数量，前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。那么露出的面一共是50个，再根据正方形的面积计算公式正方形的面积＝边长边长，求出边长为1的正方形的面积，再乘50即可解答。
【详解】前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。
（个）
（）
由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积是50。
二、计算题
16．（2022·陕西渭南·小升初真题）计算下面组合图形的体积。（单位：cm）
【答案】43.96cm3
【分析】把这个组合图形分成两个圆锥加上一个圆柱，再根据圆锥和圆柱的体积作答。
【详解】2÷2＝1（cm）
18－3－3＝12（cm）
3.14×12×12＋3.14×12×3××2
＝3.14×12＋3.14×2
＝37.68＋6.28
＝43.96（cm3）
【点睛】解决此题，关键在于把组合的立体图形分成我们常见的立体图形。
17．（2022·浙江宁波·小升初真题）求下面图形的体积（单位：厘米）。
【答案】214.2立方厘米
【分析】由图可知，该几何体是由底面圆半径是2厘米，高是10厘米的圆柱的和长10厘米，宽6厘米，高2厘米的长方体组成，根据圆柱的体积公式：，长方体体积公式：，分别求出圆柱和长方体的体积，再将两数相加即可解答。
【详解】22×3.14×10×
＝4×3.14×10×
＝12.56×10×
＝125.6×
＝94.2（立方厘米）
10×2×6＋94.2
＝20×6＋94.2
＝120＋94.2
＝214.2（立方厘米）
18．（2022·陕西安康·小升初真题）计算如图图形的体积。
【答案】169.56立方分米
【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出它们的体积和即可。
【详解】3.14×（6÷2）2×3＋3.14×（6÷2）2×9×
＝84.78＋84.78
＝169.56（立方分米）
【点睛】此题主要考查圆锥、圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
19．（2022·贵州黔东南·小升初真题）求下面图形的表面积。（单位：厘米）
【答案】282.6平方厘米
【分析】利用圆环的面积公式：S＝，再乘2，即可求出这个图形左右两边圆环的面积，里面小圆柱的侧面积可通过公式：S＝求出，外面大圆柱的侧面积同样可通过公式：S＝求出，注意两个圆柱的直径不同，把2个圆环的面积加上大小圆柱的侧面积即是这个图形的表面积。
【详解】圆环面积：R＝6÷2＝3（厘米），r＝4÷2＝2（厘米）；
（3×3－2×2）×3.14×2
＝（9－4）×3.14×2
＝5×3.14×2
＝31.4（平方厘米）
外侧面积：6×3.14×8＝150.72（平方厘米）
内侧面积：4×3.14×8＝100.48（平方厘米）
表面积：31.4＋150.72＋100.48＝282.6（平方厘米）
20．（2021·陕西汉中·小升初真题）计算下面图形的表面积。（单位：cm）
【答案】3113cm2
【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，圆柱的侧面积＝底面周长×高，长方体的表面积＋圆柱的侧面积即为这个组合图形的表面积，据此解答。
【详解】（20×30＋20×5＋30×5）×2＋3.14×15×30
＝850×2＋1413
＝1700＋1413
＝3113（cm2）
三、解答题
21．（2022·陕西西安·小升初真题）把一块底面半径为3厘米，高为5厘米的圆锥形铁块完全浸没在一个盛有水的圆柱形玻璃容器内（水没有溢出），已知容器的底面直径为20厘米，容器内的水面会上升多少厘米？
【答案】0.15厘米
【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2，圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出圆锥的体积，然后用圆锥的体积除以圆柱形容器的底面积即可。
【详解】×3.14×32×5÷[3.14×（20÷2）2]
＝×3.14×9×5÷[3.14×100]
＝3.14×3×5÷314
＝9.42×5÷314
＝47.1÷314
＝0.15（厘米）
答：容器内的水面会上升0.15厘米。
【点睛】此题主要考查圆锥、圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
22．（2022·广西玉林·小升初真题）陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个底面直径是6厘米的木制陀螺（如图），这个陀螺的体积是多少立方厘米？
【答案】113.04立方厘米
【分析】由题干可知，圆柱和圆锥是等底的，求圆柱和圆锥的体积之和就是陀螺的体积。分别利用圆柱和圆锥的体积公式求解即可。
【详解】3.14×（6÷2）2×3＋×3.14×（6÷2）2×3
＝3.14×32×3＋×3×3.14×32
＝3.14×9×3＋3.14×9
＝84.78＋28.26
＝113.04（立方厘米）
答：这个陀螺的体积是113.04立方厘米。
【点睛】此题考查的是圆柱和圆锥的体积公式的应用，熟记公式是解题关键。
23．（2022·山东日照·小升初真题）一个底面内直径是8分米的圆柱形无盖铁桶，高6分米。
（1）做这个铁桶需要多少铁皮？
（2）铁桶装有高为3分米的水，放入一个底面半径是2分米的圆锥后，水面上升2分米，这个圆锥的高是多少？
【答案】（1）200.96平方分米；（2）24分米
【分析】（1）做这个铁桶需要多少铁皮，就是求这个圆柱的底面积加上侧面积，圆柱的底面积：S＝πr2，圆柱的侧面积＝底面周长×高。
（2）水面上升2分米部分的圆柱的体积与圆锥的体积相等，根据圆柱的体积公式：V＝Sh，计算出水面上升2分米部分的圆柱的体积。水面上升2分米部分的圆柱的体积。根据圆锥的体积公式：V＝Sh，可以推算求圆锥高的计算公式：h＝3V÷S，计算出这个圆锥的高是多少。
【详解】（1）3.14×（8÷2）2＋3.14×8×6
＝3.14×16＋25.12×6
＝50.24＋150.72
＝200.96（平方分米）
答：做这个铁桶需要200.96平方分米。
（2）3.14×（8÷2）2×2×3÷（3.14×22）
＝3.14×16×2×3÷（3.14×4）
＝50.24×2×3÷12.56
＝301.44÷12.56
＝24（分米）
答：这个圆锥的高是24分米。
【点睛】本题解题关键是熟练掌握圆柱的表面积，圆柱、圆锥体积的计算方法。
24．（2022·甘肃陇南·小升初真题）有一个完全封闭的容器，从里面测得长是20厘米，宽是15厘米，高是10厘米。平放时测得容器里水的高度是6厘米。如果把这个容器竖起来放（如图），水的高度是多少厘米？
【答案】9厘米
【分析】根据题意可知，平放变成竖放后，容器中水的体积是不变的，所以可先在平放状态下算出水的体积，长方形的体积＝长×宽×高，然后根据长方体的体积＝底面积×高，用水的体积除以竖放时的底面积即可求出水的高度。据此解答。
【详解】20×15×6÷（20×10）
＝20×15×6÷200
＝1800÷200
＝9（厘米）
答：水的高度是9厘米。
25．（2022·陕西汉中·小升初真题）一个圆柱形容器，从里面量底面半径为20厘米，里面盛有80厘米深的水，现将一个底面半径为10厘米的圆锥形铁块完全浸没水中，这时水面比原来上升了。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？
【答案】60厘米
【分析】水面上升的部分就是圆锥形铁块的体积，根据圆柱的体积公式：底面积×高，代入数据，求出增加部分的体积，再根据圆锥的体积公式：底面积×高×，高＝圆锥体积÷底面积÷，代入数据，即可解答。
【详解】80×＝5（厘米）
3.14×202×5
＝3.14×400×5
＝1256×5
＝6280（立方厘米）
6280÷（3.14×102）÷
＝6280÷（3.14×100）÷
＝6280÷314×3
＝20×3
＝60（厘米）
答：这个圆锥形的铁块的高是60厘米。
【点睛】利用求不规则物体体积的方法，求出圆锥形铁块的体积，以及利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式进行解答。
26．（2022·河北保定·小升初真题）把一个圆锥完全浸没在一个底面半径是4厘米的圆柱形水槽里，水面上升了3厘米。已知圆锥的底面积是12平方厘米，这个圆锥的高是多少厘米？（π取3.14）
【答案】37.68厘米
【分析】由题意得，圆锥的体积等于上升的水的体积，即可求出圆锥的体积，则圆锥的高＝体积×3÷底面积，代数计算即可。
【详解】（3.14×42×3×3）÷12
＝452.16÷12
＝37.68（厘米）
答：圆锥的高是37.68厘米。
【点睛】解决本题的关键是明确圆锥的体积等于上升的水的体积。
27．（2022·河北廊坊·小升初真题）一只底面半径为40厘米的圆柱形水桶内盛有80厘米深的水，将一个高8厘米的圆锥形铁块沉没水中，水没有溢出，水面上升1.5厘米，铁块的底面积是多少平方厘米？
【答案】2826平方厘米
【分析】根据题意，把一个圆锥形铁块沉没水中，水面上升1.5厘米，水面上升部分的体积等于圆锥形铁块的体积；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出圆锥形铁块的体积；根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥形铁块的底面积S＝3V÷h，代入数据计算即可求出铁块的底面积。
【详解】3.14×402×1.5
＝3.14×1600×1.5
＝5024×1.5
＝7536（立方厘米）
7536×3÷8
＝22608÷8
＝2826（平方厘米）
答：铁块的底面积是2826平方厘米。
【点睛】本题考查圆柱、圆锥的体积计算公式的灵活应用，明白水面上升部分的体积等于放入的圆锥形铁块的体积是解题的关键。
28．（2022·湖南娄底·小升初真题）一个底面直径是16厘米的圆柱形容器中装有一些水，把一个底面半径是5厘米的圆锥形铅块完全浸没在水中，水未溢出，容器内的水上升了2.5厘米，圆锥形铅块的高是多少厘米？
【答案】19.2厘米
【分析】根据题意可知，把圆锥放入圆柱形容器内，上升部分水的体积等于这个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。
【详解】3.14×（16÷2）2×2.5÷÷（3.14×52）
＝3.14×64×2.5×3÷（3.14×25）
＝200.96×2.5×3÷78.5
＝502.4×3÷78.5
＝1507.2÷78.5
＝19.2（厘米）
答：这个圆锥形铁块的高是19.2厘米。
【点睛】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
29．（2022·重庆·小升初真题）一个圆柱形容器，底面直径4分米，高7分米。它里面装有一些水，水的高度是5分米，现将一个圆锥完全沉入水中，溢出了37.68升水。这个圆锥的体积是多少？
【答案】62.8立方分米
【分析】根据题意可知，这个圆锥的体积等于容器内无水部分的体积加上溢出水的体积，根据圆柱的体积计算公式： ，即可解题。
【详解】37.68升＝37.68立方分米
3.14×（4÷2）2×（7－5）＋37.68
＝3.14×22×2＋37.68
＝3.14×4×2＋37.68
＝25.12＋37.68
＝62.8（立方分米）
答：这个圆锥的体积是62.8立方分米。
【点睛】明确圆锥的体积等于容器内无水部分的体积加上溢出水的体积是解决本题的关键。
30．（2022·广西南宁·小升初真题）一个正方体玻璃鱼缸从内测量棱长是5分米，水深3分米。李明现在将一个底面积是12.5平方分米的圆锥装饰物放入鱼缸，完全浸没在水中，这时水面上升了2厘米，这个圆锥装饰物的高是多少？
【答案】1.2分米
【分析】圆锥装饰物放入鱼缸后，先换算单位，水面上升的高度为0.2分米，圆锥装饰物的体积等于水面上升的体积，水面上升的体积可看作长宽均为5分米，高为0.2分米的长方体的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出这个圆锥装饰物的体积，再利用圆锥的体积公式：V＝Sh，用圆锥装饰物的体积除以圆锥的底面积，即可求出这个圆锥装饰物的高。
【详解】2厘米＝0.2分米
5×5×0.2÷÷12.5
＝5÷÷12.5
＝15÷12.5
＝1.2（分米）
答：这个圆锥装饰物的高是1.2分米。
【点睛】此题的解题关键是掌握求不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用长方体的体积和圆锥的体积公式求解。
31．（2022·安徽铜陵·小升初真题）如图，在一个内直径8厘米的瓶子里装了一些水，水的高度是7厘米。把瓶盖拧紧倒置垂直竖放，高18厘米。这个瓶子的容积是多少？
【答案】1256毫升
【分析】瓶子的底面直径和正放时液面的高度已知，根据圆柱的体积公式：V＝，则可以求出瓶内液体的体积，同样的方法，可以求出倒放时空余部分的体积，瓶子的容积＝饮料的体积＋倒放时空余部分的体积。据此解答。
【详解】8÷2＝4（厘米）
3.14×42×7＋3.14×42×18
＝3.14×16×7＋3.14×16×18
＝351.68＋904.32
＝1256（立方厘米）
＝1256（毫升）
答：这个瓶子的容积是1256毫升。
【点睛】此题解答关键是利用体积不变的特性，把不规则图形转化为规则图形来计算。
32．（2022·河南郑州·小升初真题）小明为了测量出一只鸡蛋的体积，按如下的步骤进行了一个实验：
①在一个底面直径是8厘米的圆柱体玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；
②将鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是6.2厘米。
如果玻璃的厚度忽略不计，这只鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？
【答案】60.288立方厘米
【分析】根据求不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。
【详解】3.14×（8÷2）2×（6.2－5）
＝3.14×16×1.2
＝50.24×1.2
＝60.288（立方厘米）
答：这只鸡蛋的体积大约是60.288立方厘米。
【点睛】本题考查圆柱的体积，明确上升的水的体积就是鸡蛋的体积是解题的关键。
33．（2022·广东茂名·小升初真题）在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），如果把钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？
【答案】27厘米
【分析】根据题意，把圆锥形钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，那么水下降的体积等于这个圆锥形钢材的体积；水下降部分是一个底面半径为30厘米、高1厘米的圆柱体，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水下降部分的体积，也就是圆锥的体积；
已知圆锥形钢材的底面半径为10厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出钢材的底面积；再根据圆锥的高h＝3V÷S，求出这个圆锥形钢材的高。
【详解】水下降部分的体积（圆锥的体积）：
3.14×302×1
＝3.14×900×1
＝2826（立方厘米）
圆锥的底面积：
3.14×102
＝3.14×100
＝314（平方厘米）
圆锥的高：
2826×3÷314
＝8478÷314
＝27（厘米）
答：这个圆锥形钢材的高是27厘米。
34．（2022·河北唐山·小升初真题）张医生定做了一个药箱，从侧面看是由一个半圆和一个正方形组成。（如图）
（1）如果忽略厚度不计，这个药箱的容积是多少？
（2）如果给药箱外表面刷漆（底面不刷），刷漆的面积是多少？
【答案】（1）27.85立方分米
（2）46.84平方分米
【分析】（1）这个药箱的容积包括一个长方体的容积和半个圆柱的体积，利用长方体的体积公式：体积＝长×宽×高；圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；代入数据求出长方体的体积和半个圆柱的体积，再相加，即可解答。
（2）如果给药箱外表面刷漆（底面不刷），刷漆的面积是指4个长方体的面和圆柱的一个底面积和圆柱侧面积的一半，根据长方形面积公式：长×宽；圆柱的表面积公式：底面面积＋侧面积÷2，代入数据，求出面积，再相加，即可解答。
【详解】（1）5×2×2＋3.14×（2÷2）2×5÷2
＝10×2＋3.14×1×5÷2
＝20＋3.14×5÷2
＝20＋15.7÷2
＝20＋7.85
＝27.85（立方分米）
答：这个药箱的容积是27.85立方分米。
（2）2×2×2＋2×5×2＋3.14×2×5÷2＋3.14×（2÷2）2
＝4×2＋10×2＋6.28×5÷2＋3.14×1
＝8＋20＋31.4÷2＋3.14
＝8＋20＋15.7＋3.14
＝28＋15.7＋3.14
＝43.7＋3.14
＝46.84（平方分米）
答：刷漆的面积是46.84平方分米。
【点睛】本题考查了长方体和圆柱体积公式及表面积公式的应用；关键是熟记公式。
35．（2022·安徽合肥·小升初真题）古代的铜钱都是“外圆内方”，铜钱内正方形的边长是0.5厘米。小明把20枚相同的古代铜钱叠在一起的形状如图，每枚铜钱的体积是多少立方厘米？（取值3.14）
【答案】0.578立方厘米
【分析】根据图示可知，20枚相同的古代铜钱叠在一起的体积等于圆柱的体积减去长方体的体积。利用圆柱的体积公式：V＝πr2h，长方体体积公式：V＝abh，计算出20枚铜钱的体积，再除以20即可求出每枚铜钱的体积。
【详解】3.14×（2÷2）2×4－0.5×0.5×4
＝12.56－1
＝11.56（立方厘米）
11.56÷20＝0.578（立方厘米）
答：每枚铜钱的体积是0.578立方厘米。
【点睛】本题主要考查组合图形的体积，关键利用圆柱、长方体的体积公式计算。
36．（2022·内蒙古呼伦贝尔·小升初真题）这只工具箱的表面积是多少？（单位：分米）
【答案】117.96平方分米
【分析】通过观察图形可知，上面的半圆柱求出一个底面的面积加上圆柱侧面积的一半，下面的长方体求它的5个面的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的侧面积公式：S＝πdh，长方形的面积公式：S＝a×b，把数据分别代入公式解答。
【详解】3.14×22＋3.14×2×2×5÷2＋5×4＋5×3×2＋4×3×2
＝3.14×4＋12.56×5÷2＋20＋30＋24
＝12.56＋31.4＋20＋30＋24
＝63.96＋30＋24
＝117.96（平方分米）
答：它的表面积是117.96平方分米。
【点睛】此题主要考查圆柱的表面积公式、长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
37．（2024·福建莆田·小升初真题）2000多年前，古希腊国王让人做了一顶纯金的皇冠，但他怀疑皇冠被掺了铜，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德用“排水法”来鉴别皇冠的真伪：金子的密度约为19克/立方厘米，铜的密度约为9克/立方厘米，在质量相同的情况下金子的体积比较小；如果掺了铜后，密度减小，体积增大，排出的水就多了。阿基米德做了如下的实验：第一步，称出这顶皇冠的质量是950克；第二步，把这顶皇冠浸没在装满水的容器中，测量出排出的水有70毫升。（提示：密度＝质量÷体积）
（1）这顶皇冠是否被掺了铜？请计算说明理由。
（2）如果有掺铜，请你算出皇冠被掺了多少克铜？
【答案】（1）被掺了铜；计算说明见详解
（2）342克
【分析】（1）先通过排水法求出皇冠的体积，再计算假设皇冠是纯金时的体积，与实际体积比较判断是否掺铜。如果假设皇冠是纯金时的体积小于实际体积，说明皇冠被掺了铜。
（2）设皇冠被掺了x克铜，则金的质量为（950－x）克。根据体积关系列方程求解，即铜的体积加上金的体积等于实际皇冠的体积。铜的体积为x÷9，金的体积为（950－x）÷19，实际皇冠体积为70立方厘米，据此列出方程为：（950－x）÷19＋x÷9＝70，计算出结果即可。
【详解】（1）950÷19＝50（立方厘米）
50立方厘米＝50毫升
因为50毫升＜70毫升，所以这顶皇冠被掺了铜。
（2）解：设皇冠被掺了x克铜，则金的质量为（950－x）÷19
（950－x）÷19＋x÷9＝70
9×（950－x）＋19×x ＝ 70×171
8550－9x＋19x ＝ 11970
8550－10x－8550＝11970－8550
10x＝3420
x＝342
答：皇冠被掺了342克铜。
【点睛】本题涉及了密度、质量、体积三者的关系，在列方程时，需要理解皇冠由纯金和铜两部分组成，同时运用三者的数量关系，有一定难度。
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