2024-2025学年北师大版八年级数学下册课件1.2直角三角形课时1 直角三角形的性质与判定（共31张PPT）

(共31张PPT)
北师大版八年级数学下册课件
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
课时1 直角三角形的性质与判定
直角三角形中角的关系
直角三角形中边角关系
逆命题和逆定理.（重点、难点）
学习目标
新课讲解
知识点1 直角三角形中角的关系
想一想
(1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形
是直角三角形吗？为什么？
新课讲解
定理　　直角三角形的两个锐角互余.
定理　　有两个角互余的三角形是直角三角形.
新课讲解
知识点2 直角三角形中边角关系
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于
斜边的平方.
A
C
B
新课讲解
反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论.
已知：如图 (1)，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.
求证：△ABC是直角三角形
新课讲解
证明：
如图(2) ，作Rt △A′B′C′ ，使
∠A′＝90° A′B′＝AB, A′C′＝AC,
则A′B′ 2＋A′C′ 2 ＝B′C′ 2（勾股定理）.
∵AB2＋AC2＝BC2 ，
∴BC2 ＝ B′C′ 2.
∴BC ＝ B′C′.
∴△ABC≌ △A′B′C′ (SSS).
∴ ∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）.
因此， △ABC是直角三角形.
新课讲解
知识点3 逆命题和逆定理
观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流.
再观察下面三组命题：
（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
新课讲解
（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流.
新课讲解
1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别
是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称
为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆
命题．
2．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么
它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理
的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
课堂小结
直角三角形角的关系：
定理　直角三角形的两个锐角互余.
定理　有两个角互余的三角形是直角三角形.
(2) 勾股定理及其逆定理：
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理逆定理　如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
(3) 互逆命题、互逆定理：
当堂小练
1.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
C
当堂小练
2.下列说法正确的是(　　)
A．每个定理都有逆定理
B．每个命题都有逆命题
C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
D．真命题的逆命题是真命题
B
拓展与延伸
一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为(　　)
A．5 B.
C. D．5或
D
(1)性质：直角三角形的两个锐角　　　　　.
(2)判定：有两个角互余的三角形是　　　　　三角形.
(3)几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
则∠B+∠A=　　　　；
若∠A与∠B互余，则△ABC是　　　　三角形.
直角三角形中有关角的性质及判定
互余　
直角
90°　
直角
1.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A的度数是
　　　　.
(2)(人教8上P14)如图，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
36°　
解：△ADE是直角三角形.理由如下：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠2=90°.
∵∠2=∠1，∴∠A+∠1=90°.
在△AED中，∠A+∠1+∠ADE=180°，
∴∠ADE=90°.∴△ADE是直角三角形.
(1)性质：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则　　　　　　　.
(2)判定：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是　　　　　三角形.
几何语言：在△ABC中，∵a2+b2=c2，
∴△ABC为　　　 　三角形，∠ =90°.
直角三角形中有关边的性质及判定
a2+b2=c2
直角
直角
C
2.(1)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为(　　)
A.5　 B.　 C.　 D.5或

(2)已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是(　　)
A.②　 B.①②　 C.①③　 D.②③
D
D
(1)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的
　　　　和　　　　，那么这两个命题称为　　　　　命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
(2)如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
逆命题、逆定理
结论
条件
互逆　
3.(1)下列说法中，正确的是(　　)
A.任何一个命题都有逆命题
B.一个真命题的逆命题也是真命题
C.任何一个定理都有逆定理
D.任何一个定理都没有逆定理
(2)(2024杭州模拟)命题“若a=b，则a2=b2”的逆命题是 .
A
若a2=b2，则a=b
4.【例1】(北师8下P17)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且∠BAE=31°，∠CDE=59°，AE=2，DE=4，求AD的长.
解：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠CDA=180°，
即∠BAE+∠EAD+∠EDA+∠CDE=180°，
又∠BAE=31°，∠CDE=59°，
∴∠EAD+∠EDA=180°－31°－59°=90°.
∴∠AED=90°，即△AED是直角三角形.
∴AD==2.
5.【例2】写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
(1)两直线平行，内错角相等；
(2)如果ab=0，那么a=0，b=0.
解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行；
原命题为真，逆命题为真.
（2）逆命题：如果a=0，b=0，那么ab=0；
原命题为假，逆命题为真.
6.【例3】(2024洛阳期中)如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上.
(1)请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
(2)求△ABC的面积；
(3)求点A到BC边的距离.
解：（1）△ABC不是直角三角形，理由如下：
由题意得，AB==，AC==，BC===4，
∴AB2+AC2=（）2+（）2=5+29=34≠BC2，
∴△ABC不是直角三角形.
（2）由图可知
S△ABC=4×5－×2×1－×2×5－×4×4
=20－1－5－8=6.
（3）设点A到BC边的距离为h，
∵S△ABC=BC·h=6，∴h===，
∴点A到BC边的距离为.
7.(北师8下P16、人教8下P34)在△ABC中，AB=13 cm，BC=10 cm，BC边上的中线AD=12 cm.求证：AB=AC.
证明：如图，∵AD是中线，BC=10 cm，
∴BD=BC=×10=5（cm）.
在△ABD中，AB=13 cm，BD=5 cm，AD=12 cm，
∴BD2+AD2=52+122=169，AB2=169，即BD2+AD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，∠BDA=∠CDA=90°，又∵BD=CD，AD=AD，
∴△BDA≌△CDA（SAS），∴AB=AC.
★8. 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点.
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)求证：2CD2=AD2+DB2.
0.40
（1）证明： ∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE.
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ECD－∠ACD=∠ACB－∠ACD，即∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS）.
(1)求证：△ACE≌△BCD；
（2）证明：∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45°.
∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°.
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=90°.∴AD2+AE2=DE2.
由（1）知AE=DB，∴AD2+DB2=DE2，
又在Rt△ECD中，DE2=CE2+CD2=2CD2，
∴2CD2=AD2+DB2.
(2)求证：2CD2=AD2+DB2.
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