2024-2025学年北师大版八年级数学下册课件1.2直角三角形课时2 直角三角形全等的判定（共34张PPT）

(共34张PPT)
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
课时2 直角三角形全等的判定
判定两直角三角形全等的方法
判断两三角形全等方法的综合应用.（重点、难点）
学习目标
新课讲解
知识点1 判定两直角三角形全等的方法
问题　任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再
画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，
A′B′=AB，然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到
Rt△ABC上，你发现了什么？
新课讲解
A
B
C
(1)画∠MC′N =90°；
(2)在射线C′M上取B′C′=BC；
(3)以B′为圆心，AB为半径画弧，
交射线C′ N于点A′；
(4)连接A′B′．
现象：两个直角三角形能重合．
说明：这两个直角三角形全等．
画法：
N
M
C′
B′
新课讲解
定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
已知：如图,在 △ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，
求证： △ABC≌△A′B′C′
新课讲解
在△ABC中，
∵∠C＝ 90°,
∴BC2＝ AB2－AC2 (勾股定理).
同理， B′C′ 2＝A′B′2－A′C′ 2.
∵AB＝A′B′， AC＝A′C′，
∴BC＝B′C′．
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS).
证明：
新课讲解
1．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简
写成“斜边、直角边”或“HL”)．
2．(1)书写格式：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
(2)注意点：书写时必须强调直
角三角形．
新课讲解
练一练
1.如图，两根长度均为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木粧上，两个木桩离旗 杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.
两个木桩离旗杆底部的距离相等．
理由如下：在Rt△ABO和Rt△ACO中，
所以Rt△ABO≌Rt△ACO(HL)．
所以BO＝CO.
故两个木桩离旗杆底部的距离相等．
解：
新课讲解
2.如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是(　　)
A．AC＝AD
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD
A
新课讲解
知识点2 判断两三角形全等方法的综合应用
直角三角形全等的判定既可以用“SSS” “SAS”
“ASA”和“AAS”,有可以用 “HL”.
新课讲解
证明两个三角形全等，一般情况下是已知两个条
件去找第三个全等条件，有以下几种情况：
(4)已知一边及其对角，只能找任意一角．
新课讲解
练一练
判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(2)两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
(3)一条直角边相等且另一条直角边上的中线相
等的两个直角三角形全等.
新课讲解
(1)假．理由：如图，
在Rt△ABC和Rt△AB′C′中，
∠A＝∠A，∠AB′C′＝∠ABC，
但Rt△ABC与Rt△AB′C′不全等．
(2)真．理由：因为该命题满足“AAS”公理的条件．
(3)真．理由：因为该命题满足“SAS”公理的条件．
(4)真．先利用“HL”定理得到另一条直角边的一半
相等，也即该直角边相等，再根据“SAS”公理可
判定两个三角形全等．
解：
课堂小结
1．直角三角形的判定方法：
边边边、边角边、角边角、角角边、
斜边、直角边.
2. 判定直角三角形全等的“四种思路”：
(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，用“HL”判定．
(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定．
(3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，
①直角边是锐角的对边，用“AAS”判定；
②直角边是锐角的邻边，用“ASA”判定．
(4)若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定．
当堂小练
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是(　　)
A
当堂小练
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：①△ABD≌△ACD；②AB＝AC；③∠B＝∠C；④AD是△ABC的角平分线．
其中正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
拓展与延伸
如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，
(1)求证：△ACB≌△BDA；
(2)若∠ABC＝35°，
则∠CAO＝________.
20°
拓展与延伸
∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ACB和△BDA都是直角三角形．
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
BC＝AD，
AB＝BA，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA.
(1)证明：
(1)　　　　　和一条　　　　　分别相等的两个直角三角形全等.简述为“斜边、直角边”或“　　　　　”定理.
(2)几何语言：
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∴Rt△ABC≌　　　　　 (　　　　).
“斜边、直角边”定理(HL)
斜边
直角边
HL
Rt△A'B'C'　
HL
1.(1)如图，可用“HL”直接判定Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等的条件是(　　)
A.AC=A'C'，BC=B'C' B.∠A=∠A'，AB=A'B'
C.AC=A'C'，AB=A'B' D.∠B=∠B'，BC=B'C'
C
(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据HL直接判定，还需要添加的一个条件是　　　　　　.
AB=AC
可以判定直角三角形全等的方法有：　 .
例：如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°.请据此解答对点训练第2题.
直角三角形全等的判定方法
HL，AAS，SAS，ASA，SSS
2.见知识点2中的示例及图，完成下列问题：
(1)若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　　　　　；
(2)若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　　　　　；
(3)若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　　　　　；
(4)若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　　　　　；
(5)若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　　　　　.
AAS　
ASA　
AAS　
HL　
SAS
例：如图，AB⊥AC，DC⊥AC，AD=BC，则根据　　　　　判定方法，可得△　　　　　≌△　　　　　.
应用直角三角形全等的判定与性质解决问题
　ABC　
HL
CDA
3.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD.
求证：CB=DB.
证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°.
在Rt△ACB和Rt△ADB中， ，
∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL）.∴CB=DB.
4.【例1】(2024郑州期中)如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加的一个条件是
(　　)
A.AB=DC
B.∠A=∠D
C.∠B=∠C
D.AE=DF
A
5.【例2】(北师8下P34、人教8上P44)如图，BD，CE是△ABC的高，且BE=CD，求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BEC=∠CDB=90°.
在Rt△BEC和Rt△CDB中，，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）.
∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
6.如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于点D，则下列结论中不正确的是(　　)
A.△ABE≌△ACF
B.点D在∠BAC的平分线上
C.△BDF≌△CDE
D.点D是BE的中点
D
【提示：连接AD，证明△ADE≌△ADF】
7.(北师8下P21、人教8上P51)用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB.为什么？
解：理由如下：
∵OM⊥MP，ON⊥NP，∴∠OMP=∠ONP=90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP=∠NOP，∴OP平分∠AOB.
★8. 【问题初识】(1)如图1，AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AC=DE，求证：BC⊥CE；
【拓展探究】(2)如图2，AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AD=DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由.
0.45
图1　　　　　 图2
（1）证明：∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A=∠D=90°.
又∵AB=CD，AC=DE，
∴△ABC≌△DCE.∴∠B=∠DCE.
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°.
∴∠BCE=90°，即BC⊥CE.
（2）解：BD⊥CE成立.理由如下：设BD与EC交于点F，
∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A=∠CDE=90°.
又∵AB=CD，AD=DE，
∴△ABD≌△DCE.∴∠B=∠DCE.
∵∠B+∠ADB=90°，
∴∠ADB+∠DCE=90°.
∴∠CFD=90°，即BD⊥CE.
备注：每课时带★的题目为提高题.（难度系数越小，题目越难）
请完成本节课后对应习题
布置作业