2024-2025学年北师大版八年级数学下册课件1.3 线段的垂直平分线课时1 线段的垂直平分线（共34张PPT）

(共34张PPT)
北师大版八年级数学下册课件
第一章 三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线
课时1 线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的判定.（重点、难点）
学习目标
新课导入
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
什么叫线段的垂直平分线？
新课讲解
知识点1 线段的垂直平分线的性质
探究
如图, 直线l垂直平分线段
AB，P1, P2, P3, ……是l上的点，请你猜想点P1，P2, P3, …到点
A与点B的距离之间的数量关系.
A
B
l
P1
P2
P3
新课讲解
可以发现，点 P1，P2, P3,…到点A的距离与它们
到点B的距离分别相等.如果把线段AB沿直线l对折，
线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段 P3A与P3B……
都是重合的，因此它们也分别相等.
新课讲解
线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的
距离相等.利用判定两个三角形全等的方法，也可以
证明这个性质.
新课讲解
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的
距离相等.
新课讲解
1．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等；
条件：点在线段的垂直平分线上；
结论：这个点到线段两端点的距离相等．
表达方式：如图，l⊥AB，AO＝BO，点P在l上，则
AP＝BP.
2．作用：可用来证明两线段
相等．
新课讲解
知识点2 线段的垂直平分线的判定
想一想
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果是，请你加以 证明.
新课讲解
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这
条线段的垂直平分线上
新课讲解
1．判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线
段的垂直平分线上．
2．条件：点到线段两端点距离相等；
3．结论：点在线段垂直平分线上．
4．表达方式：如图，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂
直平分线上．
5．作用：
①作线段的垂直平分线的依据；
②可用来证线段垂直、相等．
课堂小结
线段：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点
距离都相等.
判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的
垂直平分线上.
线段垂直平分线的集合定义：
线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离
相等的所有点的集合.
当堂小练
1.如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD等于(　　)
A．3
B．4
C．4.8
D．5
D
当堂小练
2.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC，BD相交于点O，如果AC＝BD，那么下列结论：①AD＝BC；②∠ABC＝∠BAD；③∠DAC＝∠CBD；④点O在线段AB的垂直平分线上．
其中正确的是(　　)
A．①②③　
B．②③④
C．①③④　
D．①②③④
D
拓展与延伸
在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B＝__________.
70°或20°
分析：分情况讨论：如果△ABC是锐角三角形，如图①所示，可得∠A＝40°，所以∠B＝∠C＝70°；如果△ABC是钝角三角形，如图②所示，可得∠EAB＝40°，所以∠B＝∠C＝20°.故∠B＝70°或20°.
线段的垂直平分线的定义(复习)
定义 　　　于一条线段，并且　　　这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线(简称中垂线)
几何 语言 如图，∵直线m⊥AB于点C，CA=CB，
∴直线m是线段AB的垂直平分线
垂直　
平分
1.如图，MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的有 　(填序号).
①AB⊥MN；②AD=DB；③MN⊥AB；
④MD=DN；⑤AB是MN的垂直平分线.
①②③　
线段垂直平分线的性质定理
性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离
　　　　
几何 语言 如图，∵PC⊥AB，CA=CB，
∴　　　　　
相等　
PA=PB
2.(2024深圳月考)如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为M，N，已知△ADE的周长为22，则BC的长为　　　　.
小结：中垂线的性质与“转化思想”的应用.
　【提示：利用垂直平分线的性质进行边的转化】
22
线段垂直平分线的判定定理
判定 到一条线段两个端点距离　　　　　的点，在这条线段的垂直平分线上
几何 语言 如图，∵　　　　　　，
∴点P在AB的垂直平分线上
相等　
PA=PB
3.(北师8下P22、人教8上P62)如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上.
∵OB=OC，∴点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO垂直平分线段BC.
4.【例1】下列关于线段的垂直平分线的说法：
①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线是这条线段的对称轴.其中正确的有(　　)
A.①② B.①③ C.②③　 D.①②③
D
5.【例2】如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是(　　)
A.115° B.75°
C.105° D.50°
A
6.【例3】(北师8下P24改编、人教8上P65)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3 cm，△ABD的周长为13 cm，求△ABC的周长.
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=CE=3 cm，∴AC=6 cm.
∵△ABD的周长是13 cm，∴AB+BD+AD=13 cm，
∴AB+BD+DC=AB+BC=13 cm.
∴AB+BC+AC=13+6=19（cm），
即△ABC的周长是19 cm.
7.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，添加一个条件：
　　　 　 　，即可得到AC是BD的垂直平分线.
CB=CD（答案不唯一）
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD.若CD=1，则AD的长为　　　　.
2
9.(北师8下P24改编)如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，△BCE的周长为16 cm，△ABC的周长为24 cm，求AD的长.
解：∵DE是AB边上的垂直平分线，
∴EA=EB，AD=AB，
∵△BCE的周长为16 cm，
∴BC+CE+BE=BC+CE+EA=BC+AC=16 cm，
∵C△ABC=BC+AC+AB=24 cm，
∴AB=24-16=8 cm，
∴AD=AB=4 cm.
10.【例4】(北师8下P32、人教8上P93)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：AD垂直平分EF.
证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°.
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF.
又∵DE=DF，
∴AD垂直平分EF.
★11. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AD平分∠BAC，MN是AD的垂直平分线，交AD于点M，交AB于点N.求证：CD=AN.
0.40
证明：如图，过D点作DH⊥AB于点H，连接DN，
∵∠BAC=30°，AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴∠BAD=∠BAC=15°，DC=DH，
∵MN垂直平分AD，∴NA=ND，
∴∠NDA=∠NAD=15°，
∴∠DNH=∠NDA+∠NAD=30°，
在Rt△DNH中，DH=DN，而DN=AN，DC=DH，
∴CD=AN.
备注：每课时带★的题目为提高题.（难度系数越小，题目越难）
请完成本节课后对应习题
布置作业