2024-2025学年北师大版八年级数学下册课件1.3 线段的垂直平分线课时2 三角形三边的垂直平分线的性质(共31张PPT)

(共31张PPT)
北师大版八年级数学下册课件
第一章 三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线
课时2 三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三边的垂直平分线
线段垂直平分线的作图及应用.（重点、难点）
学习目标
新课导入
线段的垂直平分线的性质与判定的内容是什么？
新课讲解
知识点1 三角形三边的垂直平分线
例
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.已知：如图,在△ABC中，
边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线与边BC相交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，
且PA＝PB＝PC.
新课讲解
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴ PA = PB(线段垂直平分线上的点到这条线段
两个端点的距离相等）.
同理，PB ＝PC.
∴点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段
两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直
平分线上），
即边AC的垂直平分线经过点P.
证明：
新课讲解
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部
新课讲解
③钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部
②直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处
新课讲解
知识点2 线段垂直平分线的作图及应用
议一议
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出
满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所
画出的三角形都全等吗？
(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺
规作出满足条件的一 个等腰三角形吗？
新课讲解
用尺规作已知线段的垂直平分线的方法：
已知：线段AB(如图)．
求作：线段AB的垂直平分线．
作法：①分别以点A和点B为圆心，
以大于 AB的长为半径画弧，
两弧相交于点C和点D.
②作直线CD，直线CD就是线段
AB的垂直平分线(如图)．
课堂小结
1．三角形三条边的垂直平分线交于同一点，这一点叫
做三角形的外心(三角形外接圆的圆心，以后即可学
到)．
2．几种三角形三条边的垂直平分线交点的位置情况：
(1)锐角三角形三边垂直平分线交于三角形内部；
(2)直角三角形三边垂直平分线交于三角形斜边中点；
(3)钝角三角形三边垂直平分线交于三角形外部．
当堂小练
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是(　　)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
D
当堂小练
2.已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是(　　)
D
(1)三角形三条边的垂直平分线　　　　　　，并且这一点到
　　 　　　的距离　　　　　.
(2)如图，若点P是△ABC三边的垂直平分线的交点，
则PA　 PB　 PC.
三角形三条边的垂直平分线的性质
　三个顶点　
相交于一点
相等
=
=
1.(北师8下P24、人教8上P66)如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.
(1)求证：PA=PB=PC；
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
（1）证明：∵点P是AB的垂直平分线上的点，
∴PA=PB.
同理，PB=PC，∴PA=PB=PC.
（2）解：由（1）得，点P也在边AC的垂直平分线上，
由此可以得出，三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
2.(北师8下P25、人教8上P78)已知等腰三角形底边a及底边上的高h，求作等腰三角形.(不写作法，保留作图痕迹)
已知： ；
求作： .
线段a，h
等腰三角形ABC，使CA=CB，AB=a，AB边上的高为h
解：如图，△ABC即为所求作.
(北师8下P25)如图，已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.
过一点作已知直线的垂线(尺规作图)
解：如图，直线PQ即为所求作.
3.(北师8下P26、人教8上P62)如图，已知直线l与直线l外一点P，过点P作出直线l的垂线.
解：如图，直线PQ即为所求作.
4.【例1】(北师8下P26)如图，已知线段a，求作以a为底边、以a为高的等腰三角形，这个等腰三角形有什么特征？
解：如图，△ABC即为所求作.
△ABC是等腰直角三角形.
6.(北师8下P26)尺规作图：如图，已知△ABC，求作：
(1)AC边上的高；(2)BC边上的高.
解：（1）如图，线段BD即为△ABC 的AC边上的高.
（2）如图，线段AK即为△ABC 的BC边上的高.
5.【例2】如图，某公园有摩天轮、海盗船、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置.
解：如图，①连接AB，AC；
②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，则点P即为售票中心的位置.
7.(跨学科融合)如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等？请在图中确定这个位置.
解：如图，①连接MN；
②作线段MN的垂直平分线l，交直线AB于点C，则当汽车行驶到点C的位置时，与村庄M，N的距离相等.
★8. (北师8下P27)如图，某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了两种连接方案：
(1)AD+BC(D为BC的中点)；
(2)OA+OB+OC(O为△ABC三边的垂直平分线的交点).
要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？
0.40
(1)　　 (2)
解：应选方案（2），理由如下：设等边三角形的边长为2a.
如题图（1），∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴AD垂直平分BC，BD=a，
∴AD==a，∴AD+BC=（+2）a.
如题图（2），OA=OB=OC，∠OBD=∠ABC=30°，
∴OB=2OD，
在Rt△OBD中，OB2－a2=，∴OB=a，
∴OA+OB+OC=2a，∴AD+BC>OA+OB+OC.
∴要使铺设的光缆长度最短，应选方案（2）.
(1)
(2)
请完成本节课后对应习题
布置作业
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