2024-2025学年北师大版八年级数学下册课件1.4 角平分线课时1 角平分线的性质与判定（共31张PPT）

(共34张PPT)
北师大版八年级数学下册课件
第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
课时1 角平分线的性质与判定
角平分线的性质
角平分线的判定.（重点、难点）
学习目标
新课讲解
知识点1 角平分线的性质
还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？请你尝试证明这性质，并与同伴交流.
新课讲解
如图，任意作一个角∠AOB，作出 ∠AOB的平分
线OC. 在OC上任取一点P，过点P 画出OA，OB的垂
线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE并作比较，你
得到什么结论？在OC上再取
几个点试一试.
通过以上测量，你发现了
角的平分线的什么性质？
A
B
O
P
C
D
E
新课讲解
1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.书写格式：
如图，∵OP平分∠AOB，
PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E,
∴PD＝PE.
新课讲解
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
定理　　角平分线上的点到这个角的两边的距
离相等.
新课讲解
知识点2 角平分线的判定
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两
边的距离相等.
O
D
E
P
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
A
C
B
新课讲解
如图，由 于点 D ，
于点E，PD= PE ， 可
以得到什么结论 ？
OB
PE
^
PD
^
OA
B
A
D
O
P
E
到一个角的两边的距离相等
的点， 在这个角的平分线上.
新课讲解
证明过程：
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE．
求证：OP平分∠AOB.
新课讲解
∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E，
∴∠ODP＝∠OEP＝90°，
∵PD＝PE，OP＝OP，
∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ).
∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等).
∴OP平分∠AOB.
证明：
新课讲解
判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角
的平分线上．
书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
课堂小结
角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距
离相等．　
(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距
离就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离
相等的点，都应在角的平分线上．
当堂小练
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，连接AD，E为AD上一点，EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N，则下面四个结论：①若AD⊥BC，则EM＝EN；②若EM＝EN，则∠BAD＝∠CAD；③若EM＝EN，则AM＝AN；④若EM＝EN，则∠AEM＝
∠AEN.其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D
点到直线的距离是指垂线段的长度，如图，点P到直线l的距离，是指
　　　　　　的长度.
点到直线的距离(复习)
线段PQ
1.如图，点P到直线AB的距离，是指　　　　　的长度；点P到直线AC的距离，是指　　　　　的长度.
线段PB　
线段PC
性质：角平分线上的点到这个角的两边的　　　　相等.
几何语言：
如图，射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N.若PM=2 cm，则PN=　　　　=　　　　cm.
角平分线的性质定理
　PM　
距离
2
2.(北师8下P28、人教8上P49)证明“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”.
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E.求证：PD=PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
又∵OC是∠AOB的平分线，∴∠POD=∠POE.
在△OPD和△OPE中，，
∴△OPD≌△OPE（AAS），∴PD=PE.
判定：在一个角的内部，到角的两边　　 　的点在这个角的平分线上.
几何语言：
如图，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.若　　　　　，则AD平分∠BAC.
注意：不可忽视“在一个角的内部”这一条件，因为在角的外部也存在到角的两边距离相等的点.
角平分线的判定定理
距离相等　
DE=DF
3.(北师8下P28、人教8上P50)证明“角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.
已知：如图，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC=PD，求证：OP平分∠AOB.
证明：在Rt△OCP和Rt△ODP中，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），∴∠COP=∠DOP.
∴OP平分∠AOB.
4.【例1】(全国视野)(2024柳州三模)如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，BC=6，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为(　　)
A.15 B.12
C.8 D.6
B
5.【例2】(北师8下P30、人教8上P51)如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：EB=FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）.∴EB=FC.
6.【例3】如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB=OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由.
（1）证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BEC=∠CDB=90°.
又∵∠EOB=∠DOC，∴∠ABD=∠ACE.
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB.
∴∠ABD+∠OBC=∠ACE+∠OCB，即∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.
（2）解：点O在∠BAC的平分线上.理由如下：
∵∠BEO=∠CDO=90°，∠BOE=∠COD，OB=OC，
∴△BOE≌△COD（AAS）.∴OE=OD.
又∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴点O在∠BAC的平分线上.
7.(1)如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离都相等，则∠P =
　　　　　°；
(2)如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB，OC，若∠BOC=120°，则∠A= 　.
90
60°
8.(2024汕头模拟)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE=FC.求证：BD=DF.
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠DEB=90°，DC=DE.
在△DCF和△DEB中，
∴△DCF≌△DEB（SAS）.∴DF=DB，即BD=DF.
★9. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的外角平分线BP，CP交于点P.
(1)求证：点P在∠A的平分线上；
(2)若AB+AC-BC=l，△ABC的面积为S，点P到BC的距离为d，试探索S，l，d之间的关系.
0.40
（1）证明：如图，过点P作PM⊥BD，PN⊥BC，PQ⊥CE，垂足分别为M，N，Q，
∵∠ABC，∠ACB的外角平分线BP，CP交于点P，
∴PM=PN，PQ=PN，∴PM=PQ.
∴点P在∠BAC的平分线上.
（2）解：如图，连接AP，
由题意，得S=AB·d+AC·d－BC·d=d（AB+AC－BC），
∵AB+AC－BC=l，∴S=dl.
备注：每课时带★的题目为提高题.（难度系数越小，题目越难）
请完成本节课后对应习题
布置作业
感谢大家观看