(共36张PPT)
1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
北师大版高中数学必修一课件
目录
01
02
03
04
新课导入
合作探究
课堂练习
拓展延伸
01
新课导入
课标定位
素养阐释
1.通过实例了解集合的含义.
2.理解集合中元素的特征,并能利用它们进行解题.
3.掌握元素与集合的关系,并能用符号“∈”或“ ”来表示.
4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.
5.体会数学抽象的过程,提升逻辑推理、数学运算能力等素养.
一、集合的概念
【问题思考】
1.阅读下面的语句,并回答提出的问题:
①平面内到定点O的距离等于定长d的所有的点;
②方程x2-1=0的所有实数根;
③著名的科学家.
(1)以上各语句中要研究的对象分别是什么
(2)哪个语句中的对象不确定 为什么
提示:(1)分别为点,实数根,科学家.
(2)③中的对象不确定.因为“著名”没有明确的划分标准.
2.填空:一般地,我们把指定的某些对象的全体称为集合,通常用大写英文字母A,B,C,…表示.
集合中的每个对象叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…表示.
3.做一做:下列各组对象不能组成集合的是( )
A.大于6的所有整数
B.高一数学课本中所有的简单题
C.被3除余2的所有正整数
D.函数y=x图象上所有的点
答案:B
二、元素与集合的关系
【问题思考】
1.设集合A表示“1~10之间的所有质数”,3和4与集合A是何关系
提示:3是集合A中的元素,即3属于集合A,记作3∈A;4不是集合A中的元素,即4不属于集合A,记作4 A.
2.填空:如果元素a在集合A中,就说元素a属于集合A,记作a∈A;如果元素a不在集合A中,就说元素a不属于集合A,记作a A.
三、集合中元素的性质
【问题思考】
1.构成英文单词good的所有字母能否组成一个集合 如果能组成一个集合,该集合中有几个元素 为什么
提示:能.因为集合中的元素是明确的(确定性).三个元素.因为集合中的元素必须是不同的(互异性).
2.某班所有的高个子同学能否组成一个集合 某班身高高于175 cm的男生能否组成一个集合 集合元素确定性的含义是什么
提示:某班所有的高个子同学不能组成集合,因为高个子无明确的标准.身高高于175 cm的男生能组成一个集合,因为标准确定.集合元素确定性的含义:集合中的元素必须是确定的,也就是说,一个集合确定后,任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了.
3.填空:
(1)抽象概括:一个集合确定后,任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了.
(2)规定:一个集合中的任何两个元素都不相同.也就是说,集合中的元素没有重复.
(3)概括:集合中元素具有确定性、互异性、无序性.
四、常用的数集及其记法
【问题思考】
1.非负整数集与正整数集有何区别
提示:非负整数集包括0,而正整数集不包括0.
2.填表:
3.想一想:若a∈Q,则一定有a∈R吗 反过来呢
提示:若a∈Q,则一定有a∈R;反过来,若a∈R,但不一定有a∈Q.
答案:(1)∈ (2) (3)∈ (4) (5)∈
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)如果小明的身高是1.78 m,那么他应该是由高个子学生组成的集合中的一个元素.( × )
(2)方程x2-2x+1=0的解集中含有两个元素.( × )
(3)0∈N+.( × )
02
合作探究
探究一 集合的概念
【例1】 考察下列每组对象能不能组成一个集合:
(1)等边三角形的全体;(2)小于2的所有整数;(3)所有无理数;
(4)聪明的人;(5)著名的数学家.
解:(1)任给一个三角形,可以明确地判断是不是等边三角形,要么是,要么不是,两者必居其一,且仅居其一,故“等边三角形的全体”能组成集合;同理可得,(2)能组成集合;(3)能组成集合; (4)“聪明的人”没有明确的判断标准,对于某个人算不算聪明无法客观判断,因此“聪明的人”不能组成集合;同理可得,(5)不能组成集合.
一般地,要确认一组对象a1,a2,a3,…,an能不能组成集合的过程为
【变式训练1】 下列各组对象不能组成集合的有 . (填序号)
①高一(2)班的女同学;
②26个英文字母;
③很大的数;
④所有的平行四边形;
⑤联合国安全理事会常任理事国;
⑥ 的近似值;
⑦在数轴上离原点非常近的点;
⑧世界上最长的河流.
解析:对于①,凡是高一(2)班的女同学都满足,故有明确的标准判断某元素是否属于该集合,因此可以组成集合;类似地,②,④,⑤,⑧均可以组成集合;而对于③,没有一个明确的判断标准,故不能组成集合;同理可得,⑥,⑦不能组成集合.
答案:③⑥⑦
探究二 元素与集合的关系
【例2】 给出下列四个关系: ,其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
答案:C
判断一个元素是不是某个集合的元素,关键是判断这个元素是否具有这个集合元素的共同特征或共同属性.要么具有,要么不具有,两者必居其一,且仅居其一.
探究三 集合中元素的性质
【例3】 已知集合A中含有两个元素a和a2,若1∈A,求实数a的值.
分析:1∈A→a=1或a2=1→验证互异性
解:因为1∈A,所以a=1或a2=1,即a=±1,当a=1时,a=a2,集合A中只有一个元素,所以a≠1;当a=-1时,集合A中含有两个元素1,-1,符合互异性,所以a=-1.
1.本例中若去掉条件“1∈A”,其他条件不变,则实数a的取值范围是什么
解:由题意a和a2组成含有两个元素的集合,则a≠a2,解得a≠0且a≠1.
2.本例中若将条件“1∈A”改为“2∈A”,其他条件不变,求实数a的值.
3.已知集合A中含有三个元素a+1,3a,a2+1,若1∈A,求实数a的值.
根据集合中元素的特征求解字母取值的三个步骤
03
课堂练习
因忽视集合中元素的互异性致误
【典例】 方程x2-(a+1)x+a=0的解集中有几个元素
错解 x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为x1=1,x2=a,则方程的解集有两个元素1,a.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:以上错解中没有注意到字母a的取值是不确定的.事实上,当a=1时,不满足集合中元素的互异性.
正解:因为x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为x1=1,x2=a.
若a=1,则方程的解集只有一个元素1;若a≠1,则方程的解集有两个元素1,a.
1.先解方程得到x的可能值,再根据元素的互异性进行检验.
2.在解方程求得x的值后,常因忘记验证集合中元素的互异性,而造成过程性失分.
【变式训练】 若以方程x2-5x+6=0和x2-x-2=0的解为元素组成集合M,则M中元素的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:方程x2-5x+6=0有两个不同的解x1=2,x2=3,方程x2-x-2=0有两个不同的解x3=-1,x4=2,其中2是相同的,在集合M中作为一个元素,故M中共有3个元素.
答案:C
04
拓展延伸
1.下列各选项中所述对象可以组成集合的是( )
A.相当大的数
B.本班视力较差的学生
C.广州六中2020级学生
D.著名的教育家
解析:A中“相当大”这个词界限不确定,不明确哪些元素在该集合中,故选项A中的对象不能组成集合;同样选项B,D中的对象也不能组成集合,故选C.
答案:C
2.设集合A中只含有一个元素a,则有( )
A.0∈A B.a A C.a∈A D.a=A
解析:∵集合A中只含有一个元素a,
∴a属于集合A,即a∈A.
答案:C
3.由x2,x3组成一个集合A,A中含有两个元素,则实数x的取值可以是( )
A.0 B.-1 C.1 D.-1或1
解析:验证法:若x=0,x2=0,x3=0,不合题意;
若x=1,x2=1,x3=1,不合题意;
若x=-1,x2=1,x3=-1,符合题意,故选B.
答案:B
答案:(1) ∈ ∈ (2) ∈ ∈
5.已知集合M中含有3个元素:0,x2,-x,求x满足的条件.
1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
北师大版高中数学必修一课件(共36张PPT)
北师大版高中数学必修一课件
1.1 集合的概念与表示
第2课时 全集与补集
目录
01
02
03
04
新课导入
合作探究
课堂练习
拓展延伸
01
新课导入
课标定位
素养阐释
1.了解全集的定义和它的记法.理解补集的概念,能正确运用补集的符号和表示形式,会用图形表示一个集合及其子集的补集.
2.会求一个给定集合在全集中的补集,并能解答简单的应用题.
3.体会数学抽象的过程,提升数学运算、逻辑推理的素养.
一、全集的含义
【问题思考】
1.根据方程(x-3)(x2-2)=0在不同范围内的解集,回答下面的问题:
(1)该方程在有理数集内的解集为 ;在实数集内的解集为 .
(2)问题(1)中在有理数集范围内或在实数集范围内的含义是什么
提示:有理数集范围内或实数集范围内是指所研究问题的所有元素组成的集合,即全集.
2.全集的定义
定义:在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,常用符号 U 表示.
二、补集的概念
【问题思考】
1.观察下面三个集合:A={1,2,3,4},B={5,6,7,8},U={1,2,3,4,5,6,7,8}.回答下面的问题.
(1)集合A,B,U有什么关系
提示:A U,B U,A∪B=U.
(2)B中元素与U和A有什么关系
提示:B中元素都属于集合U,它是由U中不属于集合A的元素组成的.
2.填一填:
设U是全集,A是U的一个子集(即A U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集,记作 UA,即 UA={x|x∈U,且x A}.用Venn图表示为
三、补集的性质
【问题思考】
1.设集合A={1,2},那么相对于集合M={0,1,2,3}和N={1,2,3}, MA和 NA相等吗 由此说说你对全集与补集的认识.
提示: MA={0,3}, NA={3}, MA≠ NA.补集是一个相对的概念,研究补集必须在全集的条件下研究,而全集因研究问题不同而不同,同一个集合相对于不同的全集,其补集也就不同.
2. U( UA)=A是如何得来的
提示:先求 UA,然后再求 UA的补集即集合A.
3.补集的性质
(1)A∪( UA)=U;
(2)A∩( UA)= ;
(3) UU= , U =U, U( UA)= A ;
(4)( UA)∩( UB)= U(A∪B);
(5)( UA)∪( UB)= U(A∩B).
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)全集一定是实数集R.( × )
(2)全集一定包含所有元素.( × )
(3)若B= UA,则A U.( √ )
(4)若集合A={3,4,m},B={3,4}, AB={5},则m=5.( √ )
02
合作探究
探究一 补集的运算
【例1】 (1)设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则 UA= .
(2)若全集U=R,集合A={x|x≥1},则 UA= .
解析:(1)∵U={1,2,3,4,5},A={1,2},∴ UA={3,4,5}.
(2)由补集的定义,结合数轴可得 UA={x|x<1}.
答案:(1){3,4,5} (2){x|x<1}
根据补集的定义,当集合中元素离散时,可借助Venn图;当集合中元素连续时,可借助数轴,利用数轴分析法求解.
【变式训练1】 已知全集U={x|x≥-3},集合A={x|-3
解析:借助数轴得 UA={x|x=-3,或x>4}.
答案:{x|x=-3,或x>4}
探究二 集合交、并、补的综合运算
【例2】 (1)已知全集U={x|x≤9,x∈N+},集合A={1,2,3},B={3,4,5,6},则 U(A∪B)=( )
A.{3} B.{7,8} C.{7,8,9} D.{1,2,3,4,5,6}
解析:全集U={x|x≤9,x∈N+}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},
∵集合A={1,2,3},B={3,4,5,6},
∴A∪B={1,2,3,4,5,6},
∴ U(A∪B)={7,8,9}.故选C.
答案:C
(2)已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2解:在数轴上分别表示出全集U及集合A,B,如图.
则A∩B={x|-2所以( UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4};A∩( UB)={x|21.解决与不等式有关的集合问题时,画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观,要注意求解时端点的值是否能取到.
2.解决集合的混合运算时,一般先计算括号内的部分,再计算其他部分,如本例(2)求( UA)∪B时,可先求出 UA,再求并集.
【变式训练2】 设全集为R,集合A={x|3≤x<7},B={x|2解:全集R和集合A,B在数轴上表示如下.
由图知,A∪B={x|2所以 R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10},
( RA)∩B={x|2探究三 与补集相关的参数值的求解
【例3】 设全集U=R,M={x|3a分析:求N的补集→讨论集合M→借助数轴求解
解: UN={x|x<-2,或x>1},因为M UN,所以分M= 和M≠ 两种情况讨论.
(1)当M= 时,有3a≥2a+5,解得a≥5.
(2)当M≠ 时,在数轴上表示出集合M, UN,如图.
1.例3中,若集合M={x|x+a≥0},且( UM)∩N= ,其他条件不变,求实数a的取值范围.
解:由已知M={x|x≥-a},得 UM={x|x<-a},又因为N={x|-2≤x≤1},( UM)∩N= ,在数轴上表示出集合N, UM,如图.
由图可得-a≤-2,即a≥2,
所以实数a的取值范围是{a|a≥2}.
2.若例3中全集和N不变,集合M={x|x<-3,或x>0},集合C={x|x-a<0},求实数a的取值范围,使其满足下列两个条件:①C (M∩N),②C ( UM)∩( UN).
解:因为M={x|x<-3,或x>0},N={x|-2≤x≤1},所以M∩N={x|01},
所以( UM)∩( UN)={x|-3≤x<-2}.
而C={x|x1,当C ( UM)∩( UN)时,有a≥-2,
综上所述,实数a的取值范围是{a|a>1}.
【变式训练3】 设全集为R,集合A={x|a≤x≤a+3}, RB={x|-1≤x≤5}.
(1)若A∩B≠ ,求a的取值范围;
(2)若A∩B≠A,求a的取值范围.
解:因为全集为R, RB={x|-1≤x≤5},所以B={x|x<-1,或x>5}.
所以当A∩B≠ 时,a的取值范围是{a|a<-1,或a>2}.
(2)假设A∩B=A,则A B,结合数轴,得a+3<-1,或a>5,解得a<-4,或a>5.
所以当A∩B≠A时,a的取值范围是{a|-4≤a≤5}.
03
课堂练习
忽视集合与全集的关系致误
【典例】 设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2}, UA={5},求实数a的值.
错解 因为 UA={5},所以5∈U,且5 A,所以a2+2a-3=5,且|2a-1|≠5,解得a=2或a=-4,即实数a的值是2或-4.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:本题解答错误在于没有验证A U.集合A的元素|2a-1|是由a确立的.
正解:同错解.事实上,当a=2时,|2a-1|=3,A={2,3},符合题意,而当a=-4时,A={9,2},不是U的子集.因此a=2.
全集主要在与补集有关的问题中用到,要注意它是求补集的条件,研究补集问题需先确定全集,此外要注意集合元素的互异性.
【变式训练】 已知集合U={n|n是小于9的正整数}, A={n∈U|n是奇数},B={n∈U|n是3的倍数},则 U(A∪B)= .
解析:由题意知U={n|n是小于9的正整数}={1,2,3,4,5,6,7,8},
则A={n∈U|n是奇数}={1,3,5,7},B={n∈U|n是3的倍数}={3,6},
所以A∪B={1,3,5,6,7},所以 U(A∪B)={2,4,8}.
答案:{2,4,8}
04
拓展延伸
1.设全集U={x|x≥0},集合P={1},则 UP等于( )
A.{x|0≤x<1,或x>1} B.{x|x<1}
C.{x|x<1,或x>1} D.{x|x>1}
解析:因为U={x|x≥0},P={1},
所以 UP={x|x≥0,且x≠1}={x|0≤x<1,或x>1}.
答案:A
2.若全集U={1,2,3,4,5},且 UA={x∈N|1≤x≤3},则集合A的真子集共有( )个.
A.3 B.4 C.7 D.8
解析:根据题意,全集U={1,2,3,4,5},且 UA={x∈N|1≤x≤3} ={1,2,3},则A={4,5},故A的真子集有 ,{4},{5},共3个.
答案:A
3.已知U={x|x>0},A={x|2≤x<6},则 UA= .
解析:如图,分别在数轴上表示出集合U,A,则由补集的定义可知, UA={x|0
答案:{x|04.设全集U=R,集合A={x|1≤x≤3},B={x|2a(1)当a=1时,求( UA)∩B;
(2)若( UA)∩B=B,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,B={x|2又A={x|1≤x≤3},
∴ UA={x|x<1,或x>3}.
∴( UA)∩B={x|3(2)∵( UA)∩B=B,
∴B UA.
当B= 时,有2a≥a+3,解得a≥3;
当B≠ 时,在数轴上表示出集合B, UA,如图,
北师大版高中数学必修一课件
1.1 集合的概念
第2课时 全集与补集