六 相交线(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 对顶角和邻补角
1.下面各图中,∠1与∠2是邻补角的是( )
2.如图,图中的对顶角共有( )
A.4对 B.5对
C.6对 D.7对
3.光线从空气射入玻璃时,光的传播方向发生了改变,一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线,一部分光线穿过玻璃发生了折射,如图所示,由科学实验知道,
∠1=∠2,∠4<∠3,那么∠1和∠2是对顶角吗,∠3和∠4是对顶角吗 为什么
知识点2 对顶角、邻补角的性质
4.如图,是一种测量角的仪器,它依据的原理是( )
A.等角的补角相等
B.对顶角相等
C.两点之间线段最短
D.等角的余角相等
5.如图,直线AB,CD相交于点O,若∠AOC+∠BOD=120°,则∠AOC=( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
6.(2024·滨州沾化模拟)利用如图的工具可以测得∠1的大小是 °.
7.如图,直线AB和CD交于点O,OE平分∠AOD.若∠AOC=52°,求∠BOE的度数.
【B层 能力进阶】
8.(2024·淄博博山质检)下列各图中,一定能得出∠1与∠2相等的图形个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
9.如图,直线m与直线n相交于点O,若∠2=∠1+100°,则∠3的度数为( )
A.40° B.35° C.50° D.45°
10.泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家,据说“两条直线相交,对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的.论证“对顶角相等”使用的依据是( )
A.等角的补角相等
B.同角的余角相等
C.等角的余角相等
D.同角的补角相等
11.如图,AB,CD两条直线相交于点O,OF平分∠AOD,已知∠BOC=40°,则∠FOB= °.
12.如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOE=2∠AOC,若∠1=38°,则∠DOE等于 .
13.如图,直线AB,CD相交于点O,OM平分∠BOD,ON平分∠BOC,∠1∶∠2=7∶1,则∠AON的度数为 °.
14.(2024·德州禹城市质检)如图,直线MD,CN相交于点O,OA是∠MOC内的一条射线,OB是∠NOD内的一条射线,∠MON=70°.若∠AOD=2∠BOD,∠BOC=3∠AOC,求∠BON的度数.
【C层 创新挑战（选做）】
15.(运算能力、推理能力、几何直观)黄冈旅游资源十分丰富,“桃林春色,柏子秋荫”便是其八景之一.为了实地测量“柏子塔”外墙底部的底角(图中∠ABC)的大小,张扬同学设计了两种测量方案:
方案1:作AB的延长线,量出∠CBD的度数,便知∠ABC的度数;
方案2:作AB的延长线,CB的延长线,量出∠DBE的度数,便知∠ABC的度数.
同学们,你能解释他这样做的道理吗 七 相交线(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 垂直的定义及性质
1.(2024·潍坊昌乐模拟)用三角板过点A作BC所在直线的垂线,如图三角板的位置摆放正确的是(B)
2.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,如果∠AOC=30°,EF⊥CD,那么∠AOF的度数为(B)
A.55° B.60° C.70° D.120°
3.如图,点O在直线AB上,CO⊥AB,∠2-∠1=34°,那么∠AOD的度数是 118° .
4.如图,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB,若∠BOC=4∠1,求∠MOD的度数.
【解析】因为OM⊥AB,
所以∠MOB=90°,
因为∠BOC=4∠1,∠BOC=∠MOB+∠1,
所以90°+∠1=4∠1,
所以∠1=30°,
所以∠MOD=180°-∠1=180°-30°=150°.
知识点2 垂线段的性质及应用
5.(2024·烟台福山模拟)如图,小华同学的家在点P处,他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆,他选择沿线段PC去公路边,他的这一选择用到的数学知识是(D)
A.两点确定一条直线 B.两点之间直线最短
C.两点之间线段最短 D.垂线段最短
6.在体育课上某同学立定跳远的情况如图所示,直线l表示起跳线,经测量,PB=2.4米,PC=2.3米,PD=2.6米,则该同学立定跳远的实际成绩是 2.3 米.
7.(2024·泰安肥城模拟)小丽在探究垂线的性质时,是这样做的:首先通过直线l外一点P作直线l的垂线,垂足为O.然后在直线l上任取三点A,B,C(与点O不重合),连接PA,PB,PC,通过比较PA,PB,PC,PO的长短,结果发现PO最短.如图所示,小丽这样做发现了垂线的性质是: 垂线段最短 .
8.如图所示,在三角形ABC中,AC=5,BC=6,BC边上的高AD=4,若点P在边AC上(不含端点)移动,求BP最短时的值.
【解析】因为AD⊥BC,所以∠ADC=90°,所以根据垂线段最短可知,当BP⊥AC时,BP最短,
因为S三角形ABC=BC·AD=AC·BP,
所以6×4=5BP,
所以BP=,即BP最短时的值为.
【B层 能力进阶】
9.(2024·淄博博山质检)直线l上有A,B,C三点,直线l外有一点P,若PA=5 cm,PB=
3 cm,PC=2 cm,那么P点到l的距离(C)
A.等于2 cm B.小于2 cm
C.不大于2 cm D.大于2 cm而小于3 cm
10.已知P是直线l外一点,以P为一个端点作线段PQ,使端点Q在直线l上,并且使线段PQ的长为5 cm,这样的线段的条数不可能的是(D)
A.0 B.1 C.2 D.3
11.如图,在△ABC中,BC=10,S△ABC=30,P为边BC上一动点,连接AP,以AP为边向左侧作正方形APDE,则正方形APDE的面积的最小值为(B)
A.12 B.36 C.24 D.52
12.(2024·威海文登模拟)如图,直线AB与直线CD相交于点O,OE⊥AB于点O,且∠BOD∶∠EOD=1∶2,则∠EOC的度数为 120° .
13.点P是直线AB上的一个动点,点C是直线AB外一定点,现给出以下结论:
①点P在运动过程中,使直线PC⊥AB的点P有两个;
②若∠CBA>90°,当点P从A出发,沿射线AB的方向运动时,∠CPB先变大再变小;
③若AB=2AP,则△ACP与△BCP的面积相等;
④当∠CPA=90°时,线段CP的长度就是点C到直线AB的距离.
其中正确的是 ②④ .(写出所有正确结论的序号)
14.如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD,垂足为O,OF平分∠BOD,OE与OF在直线CD的同侧.
(1)若∠AOC=50°,求∠EOF的度数;
(2)若∠EOF=60°,求∠BOC的度数;
(3)试猜想∠EOF与∠BOC之间的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)因为∠AOC=50°,
所以∠BOD=∠AOC=50°,
因为OF平分∠BOD,
所以∠BOF=∠DOF=25°,
因为EO⊥CD,
所以∠COE=90°,
所以∠BOE=180°-90°-50°=40°,
所以∠EOF=40°+25°=65°;
(2)因为∠EOF=60°,∠COE=90°,
所以∠FOD=180°-60°-90°=30°,
所以∠BOD=2∠FOD=60°,
所以∠BOC=180°-60°=120°;
(3)∠BOC=2∠EOF,理由如下:
设∠AOC=α,则∠BOD=α,
由(1)得:∠BOE=90°-α,∠BOF=α,
所以∠BOC=180°-α,∠EOF=α+90°-α=90°-α,
所以∠BOC-2∠EOF=180°-α-(180°-α)=0,
所以∠BOC=2∠EOF.
【C层 创新挑战（选做）】
15.(运算能力、推理能力、几何直观)(2024·滨州博兴模拟)已知,点O在直线AB上,OC⊥OD,OE平分∠BOC.
【问题初探】
(1)如图1,若∠AOC=116°,求∠DOE的度数;
【类比分析】
(2)如图1,试探究∠DOE与∠AOC之间的数量关系,并说明理由;
【拓展应用】
(3)如图2,若OM平分∠AOC,ON平分∠BOE,试探究2∠MON+∠DOE的值是否为定值 如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
【解析】(1)因为∠AOC+∠BOC=180°,
所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-116°=64°.
因为OE平分∠BOC,
所以∠BOE=∠COE=∠BOC=×64°=32°.
因为∠DOC=90°,
所以∠DOE=∠DOC-∠COE=90°-32°=58°.
(2)∠DOE=∠AOC.
理由:因为∠AOC+∠BOC=180°,
所以∠BOC=180°-∠AOC.
因为OE平分∠BOC,
所以∠BOE=∠COE=∠BOC=(180°-∠AOC)=90°-∠AOC.
因为∠DOC=90°,所以∠DOE=∠DOC-∠COE=90°-(90°-∠AOC)=∠AOC.所以∠DOE=∠AOC.
(3)2∠MON+∠DOE=270°.
理由:因为OM平分∠AOC,
所以∠COM=∠AOC.
由(2)得∠DOE=∠AOC,
所以∠COM=∠DOE.
因为ON平分∠BOE.
所以∠BON=∠EON=∠BOE.
因为∠BOE=∠COE=90°-∠AOC,
所以∠EON=(90°-∠AOC)=45°-∠AOC,
所以∠MON=∠MOC+∠COE+∠EON
=∠AOC+90°-∠AOC+45°-∠AOC
=135°-∠AOC.
因为∠DOE=∠AOC,
所以∠MON=135°-∠DOE,
所以2∠MON+∠DOE=270°.七 相交线(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 垂直的定义及性质
1.(2024·潍坊昌乐模拟)用三角板过点A作BC所在直线的垂线,如图三角板的位置摆放正确的是( )
2.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,如果∠AOC=30°,EF⊥CD,那么∠AOF的度数为( )
A.55° B.60° C.70° D.120°
3.如图,点O在直线AB上,CO⊥AB,∠2-∠1=34°,那么∠AOD的度数是 .
4.如图,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB,若∠BOC=4∠1,求∠MOD的度数.
知识点2 垂线段的性质及应用
5.(2024·烟台福山模拟)如图,小华同学的家在点P处,他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆,他选择沿线段PC去公路边,他的这一选择用到的数学知识是( )
A.两点确定一条直线 B.两点之间直线最短
C.两点之间线段最短 D.垂线段最短
6.在体育课上某同学立定跳远的情况如图所示,直线l表示起跳线,经测量,PB=2.4米,PC=2.3米,PD=2.6米,则该同学立定跳远的实际成绩是 米.
7.(2024·泰安肥城模拟)小丽在探究垂线的性质时,是这样做的:首先通过直线l外一点P作直线l的垂线,垂足为O.然后在直线l上任取三点A,B,C(与点O不重合),连接PA,PB,PC,通过比较PA,PB,PC,PO的长短,结果发现PO最短.如图所示,小丽这样做发现了垂线的性质是: .
8.如图所示,在三角形ABC中,AC=5,BC=6,BC边上的高AD=4,若点P在边AC上(不含端点)移动,求BP最短时的值.
【B层 能力进阶】
9.(2024·淄博博山质检)直线l上有A,B,C三点,直线l外有一点P,若PA=5 cm,PB=
3 cm,PC=2 cm,那么P点到l的距离( )
A.等于2 cm B.小于2 cm
C.不大于2 cm D.大于2 cm而小于3 cm
10.已知P是直线l外一点,以P为一个端点作线段PQ,使端点Q在直线l上,并且使线段PQ的长为5 cm,这样的线段的条数不可能的是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
11.如图,在△ABC中,BC=10,S△ABC=30,P为边BC上一动点,连接AP,以AP为边向左侧作正方形APDE,则正方形APDE的面积的最小值为( )
A.12 B.36 C.24 D.52
12.(2024·威海文登模拟)如图,直线AB与直线CD相交于点O,OE⊥AB于点O,且∠BOD∶∠EOD=1∶2,则∠EOC的度数为 .
13.点P是直线AB上的一个动点,点C是直线AB外一定点,现给出以下结论:
①点P在运动过程中,使直线PC⊥AB的点P有两个;
②若∠CBA>90°,当点P从A出发,沿射线AB的方向运动时,∠CPB先变大再变小;
③若AB=2AP,则△ACP与△BCP的面积相等;
④当∠CPA=90°时,线段CP的长度就是点C到直线AB的距离.
其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
14.如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD,垂足为O,OF平分∠BOD,OE与OF在直线CD的同侧.
(1)若∠AOC=50°,求∠EOF的度数;
(2)若∠EOF=60°,求∠BOC的度数;
(3)试猜想∠EOF与∠BOC之间的数量关系,并说明理由.
【C层 创新挑战（选做）】
15.(运算能力、推理能力、几何直观)(2024·滨州博兴模拟)已知,点O在直线AB上,OC⊥OD,OE平分∠BOC.
【问题初探】
(1)如图1,若∠AOC=116°,求∠DOE的度数;
【类比分析】
(2)如图1,试探究∠DOE与∠AOC之间的数量关系,并说明理由;
【拓展应用】
(3)如图2,若OM平分∠AOC,ON平分∠BOE,试探究2∠MON+∠DOE的值是否为定值 如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.六 相交线(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 对顶角和邻补角
1.下面各图中,∠1与∠2是邻补角的是(D)
2.如图,图中的对顶角共有(A)
A.4对 B.5对
C.6对 D.7对
3.光线从空气射入玻璃时,光的传播方向发生了改变,一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线,一部分光线穿过玻璃发生了折射,如图所示,由科学实验知道,
∠1=∠2,∠4<∠3,那么∠1和∠2是对顶角吗,∠3和∠4是对顶角吗 为什么
【解析】∠1和∠2不是对顶角,∠3和∠4也不是对顶角,
因为∠1和∠2,∠3和∠4这两对角均有一边互为反向延长线,一边不互为反向延长线.
知识点2 对顶角、邻补角的性质
4.如图,是一种测量角的仪器,它依据的原理是(B)
A.等角的补角相等
B.对顶角相等
C.两点之间线段最短
D.等角的余角相等
5.如图,直线AB,CD相交于点O,若∠AOC+∠BOD=120°,则∠AOC=(C)
A.40° B.50° C.60° D.70°
6.(2024·滨州沾化模拟)利用如图的工具可以测得∠1的大小是 30 °.
7.如图,直线AB和CD交于点O,OE平分∠AOD.若∠AOC=52°,求∠BOE的度数.
【解析】因为∠AOC=52°,
所以∠BOD=∠AOC=52°,∠AOD=180°-∠AOC=180°-52°=128°,
又因为OE平分∠AOD,
所以∠DOE=∠AOD=×128°=64°,
所以∠BOE=∠BOD+∠DOE=52°+64°=116°.
【B层 能力进阶】
8.(2024·淄博博山质检)下列各图中,一定能得出∠1与∠2相等的图形个数是(C)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
9.如图,直线m与直线n相交于点O,若∠2=∠1+100°,则∠3的度数为(A)
A.40° B.35° C.50° D.45°
10.泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家,据说“两条直线相交,对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的.论证“对顶角相等”使用的依据是(D)
A.等角的补角相等
B.同角的余角相等
C.等角的余角相等
D.同角的补角相等
11.如图,AB,CD两条直线相交于点O,OF平分∠AOD,已知∠BOC=40°,则∠FOB= 160 °.
12.如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOE=2∠AOC,若∠1=38°,则∠DOE等于 66° .
13.如图,直线AB,CD相交于点O,OM平分∠BOD,ON平分∠BOC,∠1∶∠2=7∶1,则∠AON的度数为 110 °.
14.(2024·德州禹城市质检)如图,直线MD,CN相交于点O,OA是∠MOC内的一条射线,OB是∠NOD内的一条射线,∠MON=70°.若∠AOD=2∠BOD,∠BOC=3∠AOC,求∠BON的度数.
【解析】因为∠MON=70°,
所以∠COD=∠MON=70°,
设∠AOC=x,则∠BOC=3x,∠AOD=x+70°,
所以∠BOD=3x-70°,
因为∠AOD=2∠BOD,
所以x+70°=2(3x-70°),
解得x=42°,
所以∠BOC=126°,
所以∠BON=180°-∠BOC=54°.
【C层 创新挑战（选做）】
15.(运算能力、推理能力、几何直观)黄冈旅游资源十分丰富,“桃林春色,柏子秋荫”便是其八景之一.为了实地测量“柏子塔”外墙底部的底角(图中∠ABC)的大小,张扬同学设计了两种测量方案:
方案1:作AB的延长线,量出∠CBD的度数,便知∠ABC的度数;
方案2:作AB的延长线,CB的延长线,量出∠DBE的度数,便知∠ABC的度数.
同学们,你能解释他这样做的道理吗
【解析】方案1:因为∠CBD与∠ABC为邻补角,所以根据邻补角的性质可得:
∠CBD+∠ABC=180°,
所以量出∠CBD的度数,便知∠ABC的度数;
方案2:因为∠DBE与∠ABC为对顶角,
所以根据对顶角相等可得:∠ABC=∠DBE,所以量出∠DBE的度数,便知∠ABC的度数.
