十 平行线及其判定(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 内错角、同旁内角的识别
1.(2024·青岛李沧模拟)下列图形中,∠1与∠2是内错角的是(B)
2.如图所示的八个角中,同位角有 3 对,内错角有 4 对,同旁内角有 4 对.
3.判断:(在横线上填入“正确”或“错误”)
(1)图中,∠D与∠5是同位角 正确 ;∠D与∠ACE是同位角 正确 ;
(2)图中,∠1与∠5是内错角 错误 ;∠2与∠4是内错角 正确 ;
(3)图中,∠B与∠D是同旁内角 错误 ;∠2与∠3是同旁内角 正确 .
知识点2 平行线的判定定理
4.(2024·烟台福山模拟)如图1是小强奶奶编的竹篓,图2是将其局部抽象成的图形,下列条件中一定能判断直线a∥b的是(B)
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3
C.∠3=∠4 D.∠4=∠5
5.(2024·淄博桓台模拟)如图,要使“直线l1∥l2”,需要添加的条件是 ∠1=∠3(或∠4=∠5或∠2+∠4=180°) (只填一个即可)
知识点3 平行线的应用
6.如图,运动场上工作人员画了一条与各跑道分割线相交的直线,根据跑道分割线与这条直线互相垂直,就能判定跑道分割线互相平行的理由是
在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行 .
7.如图,在A,B两地之间修建一条笔直的公路,从A地测得公路的走向为北偏东46°.如果两地同时施工,那么∠β= 134 °时,才能使公路准确接通.
【B层 能力进阶】
8.(数学文化)(2024·太原期中)在后稷故里稷山县,有个流传三千多年的独特年俗,就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案,以期风调雨顺,四时平安,五谷丰登.如图1是“麦囤”示意图,乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行,测量了其中一些角的度数,如图2,其中能说明a∥b的是(B)
A.∠1=85°,∠4=85° B.∠3=95°,∠4=85°
C.∠1=85°,∠3=95° D.∠2=85°,∠4=85°
9.(2024·盐城期中)一次数学活动中,要检验纸带的边线是否平行,某个小组的方案是将纸带沿AB折叠(如图).测量了3条纸带,测得:纸带①中∠1=∠2;纸带②中∠2=∠3;纸带③中∠1+2∠2=180°.所测纸带边线一定平行的有(B)
A.3条 B.2条 C.1条 D.0条
10.如图,在下列四组条件中:①∠1=∠2,②∠3=∠4,③∠BAC=∠ACD,④∠BAD+∠ABC=180°,能判定AD∥BC的是 ①②④ .(填序号)
11.(2024·德州齐河模拟)一副直角三角尺按如图1所示方式叠放,现将含45°角的三角尺ADE固定不动,将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动,当两块三角尺至少有一组边互相平行,则∠BAD(0°<∠BAD<90°)所有符合条件的度数为 45°和60° .
12.(2024·上海期中)如图,已知点A在射线BG上,∠1+∠3=180°,∠1=∠2,∠EAB=∠BCD,说明EF与CD平行的理由.
【解析】因为∠1+∠3=180°,所以BG∥EF,
因为∠1=∠2,所以AE∥BC,
所以∠EAB+∠2=180°,
因为∠EAB=∠BCD,所以∠BCD+∠2=180°,
所以BG∥CD,所以EF∥CD.
13.如图所示,直线AF,BD相交于点C,过点C作射线CE,使得CD平分∠ECF.
(1)若∠ACE=50°,求∠DCF的度数;
(2)连接AB,若∠B=∠ACB,试说明:AB∥CE.
【解析】(1)因为∠ACE=50°,∠ACE+∠ECF=180°,所以∠ECF=130°,
因为CD平分∠ECF,所以∠DCF=65°;
(2)因为∠ACB=∠DCF,∠B=∠ACB,
所以∠B=∠DCF,
因为CD平分∠ECF,所以∠DCE=∠DCF,
所以∠B=∠ECD,所以AB∥CE.
【C层 创新挑战（选做）】
14.(运算能力、推理能力、几何直观)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°.若BE,DF分别平分∠MBC,∠NDC,问BE与DF的位置关系,并说明理由.
【解析】DF∥BE,理由:连接BD,
因为∠A=∠C=90°,
所以∠ABD+∠ADB=90°,
所以∠CBD+∠BDC=90°,
所以∠ABC+∠ADC=180°,
所以∠NDC+∠MBC=180°,
因为BE,DF分别平分∠MBC,∠NDC,
所以∠FDC=∠NDC,∠CBE=∠MBC,所以∠FDC+∠CBE=90°,
所以∠FDC+∠CDB+∠CBD+∠EBC=180°,
所以∠FDB+∠DBE=180°,
所以DF∥BE.九 平行线及其判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 同位角
1.下列图形中,∠1和∠2不是同位角的是( )
2.如图,同位角共有_________ 对.( )
A.6 B.5 C.8 D.7
3.如图,直线AF和AC被直线EB所截,∠EBC的同位角是 ,直线DC,AC被直线AF所截,∠FAC的同位角是 .
知识点2 平行线的基本事实Ⅱ
4.(2024·烟台牟平模拟)下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的是( )
5.我们知道,由角的数量关系可得两条直线的位置关系.如图,为使AB∥CD成立,请写出一组角的数量关系作为条件: .
6.(2024·东营广饶模拟)如图,∠1=55°,∠2=35°,点O在直线a上,且OA⊥OB,则a与b的位置关系是 .
7.如图,一块不规则木料,只有AB一边成直线,木工师傅想在这块木料上截出一块有一组对边平行的木板,用“丁”字尺在MN处画了一条直线,然后又用“丁”字尺在EF处画了一条直线,画完后用锯沿MN,EF锯开就截出了一块有一组对边平行的木料,请你用所学的几何知识说明这样做的道理.
8.如图,CE平分∠ACD,若∠1=30°,∠2=60°,求证:AB∥CD.
【B层 能力进阶】
9.如图,直线a,b都与直线c相交,给出下列条件:①∠1=∠2;②∠3=∠6;③∠4+
∠7=180°;④∠5=∠8.其中能判断a∥b的条件是( )
A.①② B.③④
B.①③④ D.①②③
10.如图,在三角形ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,则下列条件中,能判定AB∥EF的是( )
A.∠1+∠2=180° B.∠1=∠4
C.∠2=∠3 D.∠2=∠5
11.如图,直线AB,AC,CD被直线BE所截,CD平分∠ACE,已知∠3=∠5=60°,求证:AB∥CD.
12.将一副三角板拼成如图所示的图形,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.求证:CF∥AB.
13.(2024·淄博高青模拟)如图,AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=35°,∠2=35°.AC与BD平行吗 AE与BF平行吗
【C层 创新挑战（选做）】
14.如图,∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠DBF=∠F.
求证:CE∥DF.八 平行线及其判定(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行线的定义
1.(2024·青岛李沧模拟)在长方体中,对任意一条棱,与它平行的棱共有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2.小明列举生活中几个例子,你认为是平行线的是 (填序号).
①马路上的斑马线;②火车铁轨;③直跑道线;④长方形门框上下边.
3.用数学的眼光看世界,某地地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条 直线.
4.把图中的互相平行的线写出来,互相垂直的线写出来:
知识点2 平行线的基本事实Ⅰ及其推论
5.(2024·滨州沾化模拟)l1,l2,l3为同一平面内的三条直线,如果l1与l2不平行,l2与l3不平行,则l1与l3的位置关系是 .
6.如图,直线a,点B,点C.
(1)过点B画直线a的平行线,能画几条
(2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行吗
【B层 能力进阶】
7.如图,若将一张长方形纸片沿图示方向对折两次,则产生的折痕的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.平行或垂直 D.相交但不垂直
8.下列说法正确的是( )
A.同一平面内不相交的两线段必平行
B.同一平面内不相交的两射线必平行
C.同一平面内不相交的一条线段与一条直线必平行
D.同一平面内不相交的两条直线必平行
9.(2024·青岛市南模拟)如图,已知a∥b∥c,点P为a与b之间一点,过点P作9条不同的直线均与直线a相交,探究图中相交线形成的所有角中,互为对顶角的对数是( )
A.63 B.90 C.99 D.126
10.有8条不同的直线(l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8),其中l1∥l2∥l3,l4,l5,l6交于同一点,则这8条直线的交点个数最多有( )
A.21个 B.22个 C.23个 D.24个
11.(2024·烟台栖霞质检)如图,在同一平面内,经过直线a外一点O的4条直线中,与直线a相交的直线至少有 条.
12.观察如图所示的长方体.
(1)用符号表示下列两棱的位置关系:
AB EF,EA AB,HE HG,AD BC;
(2)EF与BC所在的直线是两条不相交的直线,它们 平行线(填“是”或“不是”),由此可知 内,不相交的两条直线才能叫作平行线.
13.如图所示,在书写艺术字时,常常运用画“平行线段”这种基本作图方法,此图是在书写字母“M”:
(1)请从正面,上面,右侧三个不同方向上各找出一组平行线段,并用字母表示出来;
(2)EF与A'B'有何位置关系,CC'与DH有何位置关系
14.(2024·德州乐陵质检)如图,在3×3的网格中,线段AB的端点都在格点(网格中横线与竖线的交点)上.在图中分别画线段CD,EF(线段CD,EF的端点都在格点上),使得
(1)CD⊥AB,垂足为P;
(2)EF∥AB.
【C层 创新挑战（选做）】
15.(运算能力、推理能力、几何直观)在同一平面内有2 024条直线a1,a2,…,a2 024,如果a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5,…,依次类推,判断 a1与a2 024的位置关系.九 平行线及其判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 同位角
1.下列图形中,∠1和∠2不是同位角的是(B)
2.如图,同位角共有_________ 对.(A)
A.6 B.5 C.8 D.7
3.如图,直线AF和AC被直线EB所截,∠EBC的同位角是 ∠EOF ,直线DC,AC被直线AF所截,∠FAC的同位角是 ∠COF .
知识点2 平行线的基本事实Ⅱ
4.(2024·烟台牟平模拟)下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的是(C)
5.我们知道,由角的数量关系可得两条直线的位置关系.如图,为使AB∥CD成立,请写出一组角的数量关系作为条件: ∠1=∠5 .
6.(2024·东营广饶模拟)如图,∠1=55°,∠2=35°,点O在直线a上,且OA⊥OB,则a与b的位置关系是 平行 .
7.如图,一块不规则木料,只有AB一边成直线,木工师傅想在这块木料上截出一块有一组对边平行的木板,用“丁”字尺在MN处画了一条直线,然后又用“丁”字尺在EF处画了一条直线,画完后用锯沿MN,EF锯开就截出了一块有一组对边平行的木料,请你用所学的几何知识说明这样做的道理.
【解析】因为MN⊥AB,EF⊥AB,
所以∠MNB=∠EFB=90°,
所以MN∥EF,
所以沿MN,EF锯开就截出了一块有一组对边平行的木料.
8.如图,CE平分∠ACD,若∠1=30°,∠2=60°,求证:AB∥CD.
【证明】因为CE平分∠ACD,∠1=30°,
所以∠ACD=2∠1=60°,
因为∠2=60°,
所以∠2=∠ACD,
所以AB∥CD.
【B层 能力进阶】
9.如图,直线a,b都与直线c相交,给出下列条件:①∠1=∠2;②∠3=∠6;③∠4+
∠7=180°;④∠5=∠8.其中能判断a∥b的条件是(D)
A.①② B.③④
B.①③④ D.①②③
10.如图,在三角形ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,则下列条件中,能判定AB∥EF的是(D)
A.∠1+∠2=180° B.∠1=∠4
C.∠2=∠3 D.∠2=∠5
11.如图,直线AB,AC,CD被直线BE所截,CD平分∠ACE,已知∠3=∠5=60°,求证:AB∥CD.
【证明】因为CD平分∠ACE,
所以∠1=∠2,
因为∠3=∠5=60°,
所以∠1+∠2=180°-∠3=120°,
所以∠1=∠2=60°,
所以∠1=∠5,
所以AB∥CD.
12.将一副三角板拼成如图所示的图形,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.求证:CF∥AB.
【证明】因为CF平分∠DCE,∠DCE=90°,
所以∠FCE=∠DCE=45°.
因为∠ABC=45°,
所以∠ABC=∠FCE,所以CF∥AB.
13.(2024·淄博高青模拟)如图,AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=35°,∠2=35°.AC与BD平行吗 AE与BF平行吗
【解析】AC∥BD,AE∥BF,理由如下:
因为∠1=35°,∠2=35°,
所以AC∥BD(同位角相等,两直线平行),
又因为AC⊥AE,BD⊥BF,
所以∠EAC=∠FBD=90°,
所以∠EAC+∠1=∠FBD+∠2,
所以AE∥BF(同位角相等,两直线平行).
【C层 创新挑战（选做）】
14.如图,∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠DBF=∠F.
求证:CE∥DF.
【证明】因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
所以∠DBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,
因为∠ABC=∠ACB,所以∠DBC=∠ECB,
又因为∠DBF=∠F,所以∠ECB=∠F,
所以CE∥DF.八 平行线及其判定(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行线的定义
1.(2024·青岛李沧模拟)在长方体中,对任意一条棱,与它平行的棱共有(C)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2.小明列举生活中几个例子,你认为是平行线的是 ①②③④ (填序号).
①马路上的斑马线;②火车铁轨;③直跑道线;④长方形门框上下边.
3.用数学的眼光看世界,某地地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条 平行 直线.
4.把图中的互相平行的线写出来,互相垂直的线写出来:
【解析】AB∥CD,MN∥OP,EF∥GH;AB⊥GH,AB⊥EF,CD⊥EF,CD⊥GH.
知识点2 平行线的基本事实Ⅰ及其推论
5.(2024·滨州沾化模拟)l1,l2,l3为同一平面内的三条直线,如果l1与l2不平行,l2与l3不平行,则l1与l3的位置关系是 相交或平行 .
6.如图,直线a,点B,点C.
(1)过点B画直线a的平行线,能画几条
(2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行吗
【解析】(1)如图,过直线a外的一点画直线a的平行线,有且只有一条直线与直线a平行;
(2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行.理由如下:
如图,因为b∥a,c∥a,所以c∥b.
【B层 能力进阶】
7.如图,若将一张长方形纸片沿图示方向对折两次,则产生的折痕的位置关系是(A)
A.平行 B.垂直
C.平行或垂直 D.相交但不垂直
8.下列说法正确的是(D)
A.同一平面内不相交的两线段必平行
B.同一平面内不相交的两射线必平行
C.同一平面内不相交的一条线段与一条直线必平行
D.同一平面内不相交的两条直线必平行
9.(2024·青岛市南模拟)如图,已知a∥b∥c,点P为a与b之间一点,过点P作9条不同的直线均与直线a相交,探究图中相交线形成的所有角中,互为对顶角的对数是(D)
A.63 B.90 C.99 D.126
10.有8条不同的直线(l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8),其中l1∥l2∥l3,l4,l5,l6交于同一点,则这8条直线的交点个数最多有(C)
A.21个 B.22个 C.23个 D.24个
11.(2024·烟台栖霞质检)如图,在同一平面内,经过直线a外一点O的4条直线中,与直线a相交的直线至少有 3 条.
12.观察如图所示的长方体.
(1)用符号表示下列两棱的位置关系:
AB ∥ EF,EA ⊥ AB,HE ⊥ HG,AD ∥ BC;
(2)EF与BC所在的直线是两条不相交的直线,它们 不是 平行线(填“是”或“不是”),由此可知 同一平面 内,不相交的两条直线才能叫作平行线.
13.如图所示,在书写艺术字时,常常运用画“平行线段”这种基本作图方法,此图是在书写字母“M”:
(1)请从正面,上面,右侧三个不同方向上各找出一组平行线段,并用字母表示出来;
(2)EF与A'B'有何位置关系,CC'与DH有何位置关系
【解析】(1)正面:AB∥EF;上面:A'B'∥AB;右侧:DD'∥HR(答案不唯一);
(2)EF∥A'B',CC'⊥DH.
14.(2024·德州乐陵质检)如图,在3×3的网格中,线段AB的端点都在格点(网格中横线与竖线的交点)上.在图中分别画线段CD,EF(线段CD,EF的端点都在格点上),使得
(1)CD⊥AB,垂足为P;
(2)EF∥AB.
【解析】(1)如图所示,即为所求;
(2)如图所示,即为所求(答案不唯一).
【C层 创新挑战（选做）】
15.(运算能力、推理能力、几何直观)在同一平面内有2 024条直线a1,a2,…,a2 024,如果a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5,…,依次类推,判断 a1与a2 024的位置关系.
【解析】因为a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5,…,
所以a1⊥a2,a1⊥a3,a1∥a4,a1∥a5,…,
以四次为一个循环,⊥,⊥,∥,∥.
规律:下标除以4余数为2或3则垂直,下标除以4余数为0或1则平行,
2 024÷4=506,
所以直线a1与a2 024的位置关系是a1∥a2 024.十 平行线及其判定(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 内错角、同旁内角的识别
1.(2024·青岛李沧模拟)下列图形中,∠1与∠2是内错角的是( )
2.如图所示的八个角中,同位角有 对,内错角有 对,同旁内角有 对.
3.判断:(在横线上填入“正确”或“错误”)
(1)图中,∠D与∠5是同位角 ;∠D与∠ACE是同位角 ;
(2)图中,∠1与∠5是内错角 ;∠2与∠4是内错角 ;
(3)图中,∠B与∠D是同旁内角 ;∠2与∠3是同旁内角 .
知识点2 平行线的判定定理
4.(2024·烟台福山模拟)如图1是小强奶奶编的竹篓,图2是将其局部抽象成的图形,下列条件中一定能判断直线a∥b的是( )
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3
C.∠3=∠4 D.∠4=∠5
5.(2024·淄博桓台模拟)如图,要使“直线l1∥l2”,需要添加的条件是 (只填一个即可)
知识点3 平行线的应用
6.如图,运动场上工作人员画了一条与各跑道分割线相交的直线,根据跑道分割线与这条直线互相垂直,就能判定跑道分割线互相平行的理由是
.
7.如图,在A,B两地之间修建一条笔直的公路,从A地测得公路的走向为北偏东46°.如果两地同时施工,那么∠β= °时,才能使公路准确接通.
【B层 能力进阶】
8.(数学文化)(2024·太原期中)在后稷故里稷山县,有个流传三千多年的独特年俗,就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案,以期风调雨顺,四时平安,五谷丰登.如图1是“麦囤”示意图,乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行,测量了其中一些角的度数,如图2,其中能说明a∥b的是( )
A.∠1=85°,∠4=85° B.∠3=95°,∠4=85°
C.∠1=85°,∠3=95° D.∠2=85°,∠4=85°
9.(2024·盐城期中)一次数学活动中,要检验纸带的边线是否平行,某个小组的方案是将纸带沿AB折叠(如图).测量了3条纸带,测得:纸带①中∠1=∠2;纸带②中∠2=∠3;纸带③中∠1+2∠2=180°.所测纸带边线一定平行的有( )
A.3条 B.2条 C.1条 D.0条
10.如图,在下列四组条件中:①∠1=∠2,②∠3=∠4,③∠BAC=∠ACD,④∠BAD+∠ABC=180°,能判定AD∥BC的是 .(填序号)
11.(2024·德州齐河模拟)一副直角三角尺按如图1所示方式叠放,现将含45°角的三角尺ADE固定不动,将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动,当两块三角尺至少有一组边互相平行,则∠BAD(0°<∠BAD<90°)所有符合条件的度数为 .
12.(2024·上海期中)如图,已知点A在射线BG上,∠1+∠3=180°,∠1=∠2,∠EAB=∠BCD,说明EF与CD平行的理由.
13.如图所示,直线AF,BD相交于点C,过点C作射线CE,使得CD平分∠ECF.
(1)若∠ACE=50°,求∠DCF的度数;
(2)连接AB,若∠B=∠ACB,试说明:AB∥CE.
【C层 创新挑战（选做）】
14.(运算能力、推理能力、几何直观)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°.若BE,DF分别平分∠MBC,∠NDC,问BE与DF的位置关系,并说明理由.
