黑龙江省-哈尔滨市哈尔滨三中2025年高三学年第一次模拟考试数学试卷（PDF版，含答案）

哈三中 2025 年高三学年第一次模拟考试
数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B C B D B C A A BC ACD ABD
12. 5- 13. 2 14. y x
12 9
A C
15. （1）由正弦定理可得 sin Asin sin BsinA ,
2
A 0 ,180 sin A 0 A C因为 ， ，所以 sin sin B， ........ 2 分
2
A C
因为 A B C 180 ，所以 90o
B
，
2 2
因为 sin
A C
sin 90
o B cos B ，所以 cos
B
sin B 2sin B cos B ,
2 2 2 2 2 2
cos B 0 B 1 B 因为 ，所以 sin ，所以 30 ，即 B 60 ； ........ 5 分
2 2 2 2
（2）因为 ABC为锐角三角形，得30 C 90 ........ 7 分
a b c
由 ，
sin A sin B sinC
a bsin A 3 sin A 2sin A c bsinC 3 sinC 2sin C
得 sinB 3 ， sinB 3 ，
2 2
则 2a c 4sin A 2sinC 4sin(120 C) 2sinC 2 3 cosC ........ 11 分
因为0 cosC 3 ．所以 2a c的取值范围为 (0,3)． ........ 13 分
2
1
16. （1）证明：取 PA中点为K，连接MK ,DK ，则MK / /AB,且MK AB 1，
2
因为CD / /AB,CD 1 AB ，所以MK与CD平行且相等，
2
所以四边形MKDC为平行四边形，
所以MC / /KD，
高三一模数学答案 第 1页 共 7 页
又因为MC 平面PAD，KD 平面PAD ，
所以CM / /平面 PAD 5分
（2） 以 A为原点，AD, AB, AP所在直线为 x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标
系，则 A 0,0,0 ,P 0,0,2 ,B 0,2,0 ,C 2,1,0 ,D 2,0,0 ,N 1,0,1 ，

设平面 PAC 的一个法向量为m x, y, z ，

m AC 0
由 ，得m 1, 2,0 ，
m AP 0

设 PM PB，得M 0,2 , 2 2 ，

设平面 ACM 的一个法向量为 n x, y, z ，

n AC 0
由 ，
n AM 0

n 得 1, 2,
2
1
， 8分


由 cos m,n 30 1 ，解得 ， 12分
6 3

此时 n 1, 2,1 ，
设 N 点到平面 ACM 的距离为 d ，

AN n 6
则 d 15分
n 3
高三一模数学答案 第 2页 共 7 页
17. （1）①随机变量 X 可能取 3,4,5,6
3 2
P(X 3) 1 1 2 1 6 2 1 3
P(X 4) C
27 3
=
3 3 27 9
2 3
P(X 5) C2 2 1 12 43 = P(X 6)
2 8

3 3 27 9 3 27
故得分 X 的分布列为:
X 3 4 5 6
1 2 4 8
P
27 9 9 27
E X 3 1 4 2 5 4 8 6 5
27 9 9 27 …………………………………………………5分
②因为前四道试题得 8 分即全对的概率为 1 ，
81
所以第 4 道试题答对的概率为 1 ，
81p3
所以小明答完前四题时至少答对三题的概率
f p 1 p3 1 2 2 1 3 1 1
81
1 3 C3 p 1 p 3 p ，
81p 81p 27p 27 …………………………8 分
1 9p2 1 2 9p
2 1
因为 f p 3 p ，
27p2 27p2
所以 f p 在 0,
1
上单调递减，在
1
,1

3 3
上单调递增，

所以 f ( p) 1 1min f 3

9 ………………………………………………………………10分
2
（2）依题意可得 P 2， 1 2 7 ，1 P2 3 3 3 9
当 n 3时 P 2 P 1 ，n 3 n 1
P
3 n 2 …………………………………………………………12 分
高三一模数学答案 第 3页 共 7 页
即 P 1n P
1
P ，
3 n 1 n 1
P
3 n 2
所以 1 Pn P 为常数列，3 n 1
n 2

又 P 1 P 7 1 22 1，3 1 9 3 3
所以 P 1 ，n P3 n 1
1
则 P 3 1 P 3 ，n 4 3 n 1

4
所以 P 3

是以 P
3 1 1
为首项， 为公比的等比数列，n 4 1 4 12 3
n 1 n 1
所以 P 3 1 1 ，即 3 1 1 .n Pn 4 12 3 4 12 3 …………………………………15 分
18.
（1）设 A( 4, y0 )，则 l : y y0 ，OA：y
y
0 x
4
y0 0时，OP : y
4
x
y ，P点轨迹为 y
2 4x(y 0) ........ 2 分
0
y0 0时， P(0,0) ........ 3 分
综上， P点轨迹为 y2 4x ........ 4 分
t 2 y 2 y 21 2
（2）设 B , t ,M , y ,N , y ，
4 4
1
4
2

直线MN : y k x 3 2（斜率一定存在）
y k(x 3) 2
2
y2
联立得 ky 4y 12k 8 0
4x
高三一模数学答案 第 4页 共 7 页

0


y1 y
4
2 ........ 6 分
k
y y 12k 8
1
2 k
k k 4 y1 y2 8t由题意得， BM BN y y t y y t 2 1 ........ 8 分1 2 1 2
(t 2 8t 12)k (4t 8) 0， t 2 点 B(1,2) ........ 10 分
（3）法一：
直线m : y x 1 ........ 11 分
设MN : x uy n，联立抛物线得 y2 4uy 4n 0
0

y1 y2 4u ........ 12 分

y1y2 4n
k k 4(y1 y 2 ) 16BM BN 0y1y2 2(y1 y2 ) 4
，
可得 y1 y2 4 4u 4 0 u 1 ........ 14 分
y y 2 y 2
2
BM 1中垂线： 1 x
y1 4 ，
2 4 8
2
同理， BN 中垂线: y
y 2 y 2 y 4
2 2 x 2 ,
2 4 8
2
x y1 y
2
2 y1y2 2(y1 y2 ) 20 n 7联立可得 ， y
n 1
........ 16 分
8 2 2
kBE km 1，即直线m与圆 E相切. ........ 17 分
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法二：
直线m : y x 1
设MN : x uy n，u 1同法一 ........ 14 分
MN 中垂线： y x n 4，设 E a,a n 4 ， B 1, n 3 为中垂线上点，且由对称
性可知 B 在圆 E上，
n 1 n 7
又 B 1,2 ， yE ， x ........ 16 分2 E 2
k m EBE 1与直线m垂直，即直线 与圆 相切. ........ 17 分
法三：
直线m : y x 1
设MN : x uy n，u 1同法一 ........ 14 分
取弧MN中点 B ，则 kB E 1，BE B E，又 BB 斜率不存在， kBE 1与直线m
垂直，即直线m与圆 E相切. ........ 17 分
e
19.（1） a e时， f (x) (x e) ln x x, f (x) ln x 在 0， 单调递增，
x
又 f (e) 0，
所以 f (x)在 (0,e)单调递减，在 (e, )单调递增.………………………………………3 分
a
（2）（i）依题意 f (x) ln x 0的两根为 x1, xx 2
，
即 a x ln x的两根为 x1, x2 .
令 g(x) x ln x，g (x) 1 ln x 0，
x 1 1 1得 ，且 g(x)在 (0, )单调递减，在 ( , )单调递增，
e e e
高三一模数学答案 第 6页 共 7 页
0 1则 x1 x2 1 .……………………………………………………………5 分e
令 h(x) 2 g( x) g(x), (0 x 1 )，
e e
则 h (x) ln( x2 2 x) 2 0，
e
1
所以 h(x)在 (0, )单调递增，
e
1
所以 h(x) h( ) 0……………………………………………………7 分
e
g(2 x ) g(x ) g(x ) 2所以 1 1 2 ，又 x
1
1 , x
1
2 ， g(x) (
1
在 , )单调递增，
e e e e e
2
所以 x1 x2，即 x
2
1 x2 .………………………………………………………8 分e e
（ii）由 x 22 x1，e
x x 2 1 ae 2 2 1 ae要证明 2 1 ，只需证 2x1 ，e e e
即证明1 ex1 1 ae ，
即证明 ex21 2x1 a x1 ln x1
即证明 ex1 2 ln x1
即证明 ex1 1 lnex1，易证 F (x) x ln x 1 0，从而左端得证.………………13 分
g(x)在 (1,0)和(e 2 , 2e 2 )处的切线分别为 y x 1和y x e 2 ，
2
令 y a，得 x3 a e , x4 a 1
因为 g(x) x ln x x 1 G(x),且g(x) x ln x x e 2 H (x)，
x x x x e 2所以 2 1 4 3 2a 1从而右端得证.……………………………………17 分
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