课件17张PPT。第四章 三角形1 认识三角形第1课时 三角形与三角形的内角和探 究 新 知第1课时 三角形与三角形的内角和? 活动1 知识准备 1．填空：
(1)当0°＜α＜90°时，α是____角；
(2)当α＝____°时，α是直角；
(3)当90°＜α＜180°时，α是____角；
(4)当α＝______°时，α是平角．
2．三角形的内角和是______°.锐90钝180180第1课时 三角形与三角形的内角和? 活动2 教材导学 探究三角形的内角和
1．(1)如图4－1－1所示，剪一个三角形纸片，它的三个内角分别为∠1，∠2和∠3.图4－1－1第1课时 三角形与三角形的内角和(2)将∠1撕下，按图4－1－2所示进行摆放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合，它的一条边与∠2的一条边重合．
此时∠1的另一条边b与∠3的一条边a平行吗？为什么？图4－1－2 第1课时 三角形与三角形的内角和(3)如图4－1－3所示，将∠3与∠2的公共边延长，它与b所夹的角为∠4.
因为∠1＝∠5，
所以直线a____直线b，
所以∠4＝______．
因为∠1＋∠2＋∠4＝_____°，
所以∠2＋∠3＋∠5＝______°，即三角形的内角和为_______．图4－1－3∥∠3180180180°第1课时 三角形与三角形的内角和2．我们还可以通过下面的办法得到结论：
(1)如图4－1－4①，3根木条相交成∠1，∠2，若木条a与木条b平行，则∠1＋∠2＝_______°；
操作：木条a过点A，且绕点A转动，使它与木条b相交于点C(如图②)，∵a∥b，∴∠3＝______．∵∠2＝∠4＋∠5，∴∠1＋∠3＋∠5＝∠1＋______＋∠5＝_____°，能说明“三角形内角和等于______°”．180∠4∠4180180第1课时 三角形与三角形的内角和图4－1－4◆知识链接——[新知梳理]知识点二新 知 梳 理第1课时 三角形与三角形的内角和? 知识点一 三角形的有关概念 1．三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做____________．
2．三角形的基本要素：组成三角形的线段叫做__________________．
相邻两边的公共端点叫做_________________．
相邻两边组成的角叫做_________________(简称三角形的角)．三角形三角形的边三角形的顶点三角形的内角第1课时 三角形与三角形的内角和3．三角形的特征：
(1)三条线段；(2)不在同一直线上；(3)首尾顺次相接．
4．三角形的符号表示：
三角形用符号“△”表示．顶点是A，B，C的三角
形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．
[明确] △ABC的三条边分别是AB，BC，AC；三个内角分别是∠A，∠B，∠C；△ABC的三边有时也可用a，b，c表示．
[注意] (1)三条线段中任意两条不在同一条直线上；
(2)三条线段按一定顺序首尾顺次相接，如果不是首尾顺次相接就不是三角形．第1课时 三角形与三角形的内角和? 知识点二 变量之间关系的表达方式与特点 定理：三角形三个内角的和等于__________．
作用：在三角形中，已知两角可求__________，或已知各角之间关系求各角．180°第三个角第1课时 三角形与三角形的内角和? 知识点三 三角形按角的大小分类 锐角 直角 钝角 第1课时 三角形与三角形的内角和? 知识点四 直角三角形 直角三角形的两个锐角_______．
作用：(1)已知直角三角形的一个锐角求另一个________，或已知两锐角之间的关系求这两个角．
(2)常与同角(或等角)的余角相等结合，一起说明角相等．互余锐角重难互动探究第1课时 三角形与三角形的内角和探究问题一 三角形按内角的大小分类 例1按角分类，判断下列三角形各属于哪一类三角形．
(1)若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则△ABC是________三角形；
(2)若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则△ABC是________三角形；锐角 直角 钝角 第1课时 三角形与三角形的内角和[解析] 根据锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的定义可知，要判定三角形的形状，关键是看这个三角形中的最大角是锐角、直角还是钝角．(1)根据题意，设∠A＝2k，∠B＝3k，∠C＝5k，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以2k＋3k＋5k＝180°，解得k＝18°，则∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；(2)根据题意，设∠A＝2k，∠B＝3k，∠C＝4k，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以2k＋3k＋4k＝180°，解得k＝20°，则∠C＝80°＜90°，故△ABC是锐角三角形；(3)根据题意得∠B＝3∠A，∠C＝5∠A，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋3∠A＋5∠A＝180°，解得∠A＝20°，则∠C＝100°＞90°，故△ABC是钝角三角形．第1课时 三角形与三角形的内角和[归纳总结]判断三角形的形状，要先求出各角的大小，然后看三个角中最大的角是什么角，以此来判断三角形的类型． 第1课时 三角形与三角形的内角和探究问题二 直角三角形的性质 例2 [高频考题] 如图4－1－5，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD和∠A相等吗？为什么？ 图4－1－5[解析] 根据直角三角形两锐角互余，得∠A＋∠B＝90°，再根据CD是斜边AB的高，得∠B＋∠BCD＝90°，然后利用同角的余角相等即可得证．第1课时 三角形与三角形的内角和解：∠A＝∠BCD.
理由：在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°(直角三角形两锐角互余)，
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＋∠B＝90°(直角三角形两锐角互余)，
∴∠A＝∠BCD(同角的余角相等)．[归纳总结] 运用直角三角形的两锐角互余既可以求角度，也可以与余角的性质相结合说明角的相等关系．课件13张PPT。第四章 三角形1 认识三角形第2课时 三角形的三边关系探 究 新 知第2课时 三角形的三边关系? 活动1 知识准备 1．三角形有____条边，____个角．
2．在△ABC中，∠A＝10°，∠B＝70°，则△ABC是_______三角形．三三钝角第2课时 三角形的三边关系? 活动2 教材导学 1．认识等腰三角形
量一量下面的三角形中各边长，有两边相等的三角形吗？图4－1－13[答案] 有等腰三角形③⑤，其中⑤是等边三角形(测量略)．第2课时 三角形的三边关系◆知识链接——[新知梳理]知识点一
2．探究三角形的三边关系
(1)如图4－1－14所示，小明从家到学校有几条路可走，哪条路最近？理由是什么？图4－1－14[答案] 有三条路可走，中间的路最近，理由：两点之间线段最短．第2课时 三角形的三边关系(2)结合上题的实际情况，用“＞”或“＜”填空：如图4－1－15所示，在△ABC中，AB＋BC____AC，AB＋AC____BC，BC＋AC____AB.根据活动2，你知道判断三条线段能否组成三角形的方法是什么吗？
◆知识链接——[新知梳理]知识点二＞＞＞新 知 梳 理第2课时 三角形的三边关系? 知识点一 等腰三角形的概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
三边都相等的三角形叫做等边三角形．第2课时 三角形的三边关系第2课时 三角形的三边关系? 知识点二 三角形的三边关系 三角形的三边关系：
1．三角形任意两边之和大于第三边；
2．三角形任意两边之差小于第三边．重难互动探究第2课时 三角形的三边关系探究问题一 三角形三边关系的应用 例1以下列各组长度的线段为边，能组成三角形的是( )
A．1 cm，2 cm，4 cm
B．4 cm，6 cm，8 cm
C．5 cm，6 cm，12 cm
D．2 cm，3 cm，5 cm第2课时 三角形的三边关系[解析] B 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．A选项1＋2＜4，不能组成三角形；B选项4＋6＞8，能组成三角形；C选项5＋6＜12，不能组成三角形；D选项2＋3＝5，不能组成三角形．故选B.[归纳总结]三角形三边关系的作用：
(1)判断以a，b，c为边长是否能组成三角形．
判断方法有三种：
①当a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b都成立时，能组成三角形；第2课时 三角形的三边关系②当|a－b|＜c＜a＋b时，可以组成三角形；
③当能确定a，b，c中的最长边时，只需最短两边之和大于最长边即可组成三角形．
(2)当已知两边时，可确定第三边长度的范围．
两边之差＜第三边长＜两边之和．
(3)说明线段的不等关系．第2课时 三角形的三边关系探究问题二 等腰三角形问题 例2某等腰三角形的两条边长分别为3 cm和6 cm，则它的周长为( )
A．9 cm B．12 cm
C．15 cm D．12 cm或15 cm第2课时 三角形的三边关系[解析] C 由于题目中没有明确底边和腰的长度，所以应分类进行讨论，即三边长可能为3 cm，3 cm，6 cm或6 cm，6 cm，3 cm，但是长为3 cm，3 cm，6 cm的三条线段不能构成三角形，因此等腰三角形的三边长只能是6 cm，6 cm，3 cm，故周长为15 cm，应选C.[归纳总结]等腰三角形是一类特殊的三角形，求等腰三角形的周长时，必须分情况考虑，对每一种情况要判断其能否构成三角形，即判断较短的两边之和是否大于最长边． 课件16张PPT。第四章 三角形1 认识三角形第3课时 三角形的中线和角平分线探 究 新 知第3课时 三角形的中线和角平分线? 活动1 知识准备 1．下列说法正确的是( )
A．到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点
B．线段的中点到线段两个端点的距离相等
C．线段的中点可以有两个
D．线段的中点有若干个B第3课时 三角形的中线和角平分线2．按要求画图：
(1)在图4－1－17中画出线段AB的中点O；
(2)在图4－1－18中画出∠AOB的平分线OC.图4－1－17 图4－1－18[答案] 略第3课时 三角形的中线和角平分线? 活动2 教材导学 探究三角形的中线、角平分线
1．准备好一张三角形纸片ABC，将其对折，使顶点B，C重合，折痕与BC交于点D.
问题：(1)D是____的中点；
(2)连接线段AD，则S△ABD____S△ACD(填“＞”“＜”或“＝” )；
(3)你能给AD起个名称吗？BC＝[答案] AD是△ABC的中线．第3课时 三角形的中线和角平分线2．请你再用另一张三角形纸片ABC，将其对折，使AC与AB所在直线重合，折痕与BC交于点D.
问题：(1)∠CAD____∠BAD, AD在________的平分线上；
(2)你能给AD起个名称吗？
[答案] AD是△ABC的角平分线．＝∠CAB3．通过活动2的学习，你觉得三角形的角平分线、中线和线段的中点有何异同点？
◆知识链接——[新知梳理]知识点一、二新 知 梳 理第3课时 三角形的中线和角平分线? 知识点一 三角形的中线在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个_________________．
中线的表示方法(如图4－1－19所示)：在△ABC中，若AD是中线，则
三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．三角形的中线第3课时 三角形的中线和角平分线说明：(1)三角形的中线是一条线段，并且有一个端点是三角形的一个顶点，另一个端点在对
边上；
(2)中线平分一条边；
(3)三角形有三条中线，无论三角形的形状如何，三条中线的交点都在三角形的内部；
(4)三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形．第3课时 三角形的中线和角平分线? 知识点二 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的_____________.
角平分线的表示方法(如图4－1－20所示)：在
△ABC中，AD平分∠BAC，角平分线第3课时 三角形的中线和角平分线图4－1－20说明：(1)一个三角形有三条角平分线，并且在三角形的内部相交于一点；(2)三角形的角平分线是一条线段，有一个端点是三角形的一个顶点，而另一端点在对边上，它不同于角的平分线．角的平分线是一条射线．重难互动探究第3课时 三角形的中线和角平分线探究问题一 三角形的中线的应用 例1如图4－1－21所示，△ABC的周长为18 cm，BE，CF分别为AC，AB边上的中线，BE，CF相交于点O，AO的延长线交BC于点D，且AF＝3 cm，AE＝2 cm，求BD的长． 图4－1－21第3课时 三角形的中线和角平分线第3课时 三角形的中线和角平分线第3课时 三角形的中线和角平分线探究问题二 三角形的角平分线的应用 例2 如图4－1－22所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，已知∠A＝60°，求∠BOC的度数． 图4－1－22第3课时 三角形的中线和角平分线[解析] 欲求∠BOC的度数，只需求∠2＋∠4的度数即可，而由∠A＝60°，知∠ABC＋∠ACB＝120°，又∠1＝∠2，∠3＝∠4，可求∠2＋∠4的度数．第3课时 三角形的中线和角平分线第3课时 三角形的中线和角平分线课件14张PPT。第四章 三角形1 认识三角形第4课时 三角形的高线探 究 新 知第4课时 三角形的高线? 活动1 知识准备 按要求画图：图4－1－30过点P画直线l的垂线，垂足为O.[答案] 略第4课时 三角形的高线? 活动2 教材导学 探究三角形的高
1．画出图中每个三角形的三条高．图4－1－31第4课时 三角形的高线[答案] 如图4－1－32所示．图4－1－32第4课时 三角形的高线2．通过上面的活动，你发现三角形的三条高有什么特点？[答案] 三角形的三条高所在的直线交于一点．锐角三角形的三条高交于三角形内一点；直角三角形的三条高交于直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形外一点．◆知识链接——[新知梳理]知识点一、二新 知 梳 理第4课时 三角形的高线? 知识点一 三角形的高的概念 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外．第4课时 三角形的高线? 知识点二 三角形的高的位置特征 三角形的三条高所在的直线交于一点．重难互动探究第4课时 三角形的高线探究问题一 利用面积相等求线段的长 例1 [高频考题] 如图4－1－33所示，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD＝10，CE＝9，AB＝12，求BC的长． 图4－1－33第4课时 三角形的高线[解析] 如何把已知的一边和两条高与要求的另一边联系起来是解此题的关键．当边和高同时出现时，往往想到三角形的面积公式，从而求出BC的长．第4课时 三角形的高线第4课时 三角形的高线[归纳总结] 解决此题的方法称为面积法，当题目中出现垂直条件时，要留心这一方法．利用图形的面积相等构建方程，是求解相关线段长的重要方法，其中表示图形的面积方法有直接(运用图形面积公式)计算、间接(图形面积的加减)计算，一般涉及有关高的问题，常与面积计算有关．第4课时 三角形的高线探究问题二 与三角形中线、角平分线、高有关的计算与应用 例2 [高频考题] 如图4－1－34，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
(1)若∠ABE＝15°，∠BAD＝35°，求∠BED的度数；
(2)在△BED中作BD边上的高；
(3)若△ABC的面积为60，BD＝5，则点E到BC边的距离为多少？图4－1－34第4课时 三角形的高线图4－1－35 第4课时 三角形的高线[归纳总结]三角形的角平分线、高、中线都是线段，三角形的高常与三角形的面积紧紧联系在一起，常用来求解面积，三角形的中线可以平分三角形的面积，在已知面积的情况下可以依据中线求解相关图形的面积． 课件19张PPT。第四章 三角形2 图形的全等探 究 新 知2 图形的全等? 活动1 知识准备 如图4－2－1，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块完全相同的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出两种不同的设计方案．图4－2－12 图形的全等解：设计方案如下：图4－2－22 图形的全等? 活动2 教材导学 探究全等图形
1. 将两张纸重合后剪纸，得到如图4－2－3所示的两个图形，其大小、形状_______．图4－2－3相同2 图形的全等2．观察下面这些图形，哪些图形的大小、形状是完全一样的？如果把它们剪下来就可以叠在一起，你试一试吧！图4－2－4[答案] (1)和(9)，(3)和(8)，(4)和(10)，(6)和(7)．2 图形的全等3．能够完全重合的两个图形有什么特点？[答案] 对应角相等，对应边相等．◆知识链接——[新知梳理]知识点一、二新 知 梳 理2 图形的全等? 知识点一 全等图形能够完全重合的两个图形称为______________. 全等图形2 图形的全等? 知识点二 全等图形的特征 全等图形的________和______都相同. 形状大小2 图形的全等? 知识点三 全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做_______________. 在两个全等三角形中，能重合的顶点是对应顶点，能重合的边是对应边，能重合的角是对应角. 全等三角形2 图形的全等? 知识点四 全等三角形的性质及表示方法全等三角形的对应边相等，对应角_______.
两个三角形全等的一般记法：全等用符号“______”表示，读作“全等于”. △ABC和△DEF全等，记作_____________，其中要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 相等≌△ABC≌△DEF重难互动探究2 图形的全等探究问题一 识别全等图形 例1如图4－2－5所示，请你仔细观察，找出图中的全等图形． 图4－2－52 图形的全等[解析] 要判断两个图形是否是全等图形，可以根据定义，即把两个图形叠在一起，看是否能够重合，操作时根据需要可以适当改变图形的方向，也可以观察两个图形的大小和形状是否相同．解：全等的图形有①和⑧，④和⑥.2 图形的全等[归纳总结] 对于形状相同的图形进行比较，可使用圆规、量角器，测一测对应边是否相等，对应角是否相等，这里的观察和比较是关键，但要注意，不能只凭观察得结论，眼睛有时会产生错觉，所以测量是必需的． 2 图形的全等探究问题二 寻找全等三角形的对应边和对应角 例2如图4－2－6所示，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角． 图4－2－62 图形的全等[解析] AB＝AC，即AB和AC是对应边，∠A是公共角，即∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解．解：AB和AC，AD和AE，BD和CE是对应边；∠A和∠A，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角．2 图形的全等[归纳总结]寻找对应元素的规律有：(1)有公共边的，公共边是对应边；(2)有公共角的，公共角是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边；(5)两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角；(6)两个全等三角形中对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角． 2 图形的全等探究问题三 全等三角形的性质的运用 例3如图4－2－7所示，△ABC≌△DBE，AB⊥BC，DE的延长线交AC于点F.试判断DF与AC的位置关系，并说明理由． 图4－2－72 图形的全等[解析] 此题关键在于说明∠C与∠D互为余角，而由题目知∠A与∠C互为余角，故问题转化为求∠A与∠D相等，由已知△ABC≌△DBE可顺利求得，故此题得解．解： DF⊥AC.理由如下：
因为△ABC≌△DBE，所以∠A＝∠D.
已知∠A＋∠C＝90°，故∠D＋∠C＝90°.
又因为∠D＋∠C＋∠DFC＝180°，
所以∠DFC＝90°，即DF⊥AC.2 图形的全等[归纳总结]全等三角形的性质的运用：(1)求角的度数；(2)说明两个角相等；(3)求线段的长度；(4)说明两条线段相等；(5)判断两条直线的位置关系．课件14张PPT。第四章 三角形 3 探索三角形全等的条件第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等探 究 新 知第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等? 活动1 知识准备 (1)三边分别相等的两个三角形全等，简写为“_________”或“_______”．
(2)如图4－3－13，当AB＝DE，AE＝DC，BE＝EC时， 可用“_______”说明△ABE≌△DEC.图4－3－13边边边SSSSSS第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等? 活动2 教材导学 探究利用“两角一边”判定两个三角形全等
已知“两角及一边”画三角形．
(1)如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2 cm，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等(2)如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形两个内角分别是60°和45°，60°(或45°)角所对的边长为3 cm.你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
[答案] (1)一定全等. (2)一定全等．
◆知识链接——[新知梳理]知识点一、二新 知 梳 理第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等? 知识点一 角边角 [文字叙述] 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“_________”或“____”．
[图形语言] 图4－3－14角边角ASA第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等? 知识点二 角角边 [文字叙述] 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“_______”．
[图形语言] 图4－3－15角角边AAS第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等重难互动探究第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等探究问题一 利用“ASA”判定三角形全等 例1 [高频考题] 如图4－3－16所示，点F，C在BE上，AC∥DF，AB∥DE，BF＝CE，试说明：AC＝DF. 图4－3－16[解析] 要想得到AC＝DF，只要得到△ABC≌△DEF，由两组平行线可以得到∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠E，对应边是BC与EF，由BF＝CE易说明BC＝EF.第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等[归纳总结] (1)用“ASA”来判定两个三角形全等时，一定要说明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边对应相等．说明时要加强对夹边的认识．
(2)在书写两个三角形全等的条件时，一般把夹边相等写在中间，以突出边、角的位置关系．第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等探究问题二 利用“AAS”判定三角形全等 例2 如图4－3－17所示，∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD，请说明BC＝DE的理由． 图4－3－17[解析] 欲证BC＝DE，可证明BC，DE所在的三角形全等．而要证明△ABC≌△ADE，由已知AB＝AD可联想到“AAS”，即只需证明两角相等即可．第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等解：因为∠1＝∠2，
所以∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，
所以∠BAC＝∠DAE.
在△AOE和△COD中，
因为∠AOE＝∠COD，∠2＝∠3，
所以∠C＝∠E.
在△ABC和△ADE中，
因为∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E，AB＝AD，
所以△ABC≌△ADE(AAS)，所以BC＝DE.第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等[归纳总结] (1)用“AAS”定理来判定两个三角形全等时，要注意边是其中一组等角的对边；按角、边列出全等的三个条件时要按对应关系有顺序地书写．
(2)区别“ASA”定理与“AAS”定理：在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”，在“AAS”中，“边”是“其中一个角的对边”．课件18张PPT。第四章 三角形 3 探索三角形全等的条件第3课时 利用“边角边”判定三角形全等探 究 新 知第3课时 利用“边角边”判定三角形全等? 活动1 知识准备 已知在△ABC和△DEF中，AB＝12 cm，DF＝8 cm，BC＝10 cm.
(1)若△ABC≌△DEF，则AC＝____ cm，EF＝____cm；
(2)当AC＝____cm，EF＝____cm，DE＝12 cm时，△ABC≌△DEF.810810第3课时 利用“边角边”判定三角形全等? 活动2 教材导学 探究利用“SAS”判定两个三角形全等
1．(1)读句画图．
①画∠DAE＝45°；
②在AD，AE上分别取B，C，使AB＝3 cm，AC＝2 cm；
③连接BC，得△ABC；
④按上述画法再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A.[答案] 略第3课时 利用“边角边”判定三角形全等(2)把△A′B′C′剪下来放到△ABC上，观察△A′B′C′与△ABC是否能够完全重合．
综上，试概括你发现的结论. [答案] 能重合．结论：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．2．通过上题的学习，两边及其夹角对应相等的两个三角形一定全等吗？[答案] 一定全等新 知 梳 理第3课时 利用“边角边”判定三角形全等? 知识点 边角边定理 [文字叙述] 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“_________”或“__________”．
[图形语言] 图4－3－31边角边SAS第3课时 利用“边角边”判定三角形全等重难互动探究第3课时 利用“边角边”判定三角形全等探究问题一 利用“SAS”判定三角形全等 例1如图4－3－32所示，已知AD∥BC，AD＝BC，AE＝CF.试说明：DE∥BF. 图4－3－32第3课时 利用“边角边”判定三角形全等[解析] 欲说明DE∥BF，只需说明∠E＝∠F，而∠E和∠F分别在△ADE和△CBF中，也分别在△ECD和△FAB中，而要说明这两对三角形全等，又分别具备哪些条件呢？前者有AE＝CF，AD＝BC，后者有EC＝FA，因此我们优先考虑说明△ADE≌△CBF.第3课时 利用“边角边”判定三角形全等第3课时 利用“边角边”判定三角形全等[归纳总结]要证明两角或线段相等，常证明它们所在的两三角形全等，在寻找相等边或相等角的过程中，要注意关注公共边(角)、对顶角等隐含条件，在书写两个三角形全等的条件时，一定要把夹角相等写在中间，以突出此角是两边的夹角． 第3课时 利用“边角边”判定三角形全等探究问题二 灵活应用判别方法判定三角形全等 例2 如图4－3－33所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是( )
A．∠B＝∠C
B．AD＝AE
C．∠ADC＝∠AEB
D．DC＝BE
图4－3－33第3课时 利用“边角边”判定三角形全等[解析] D 若添加∠B＝∠C，可构成“ASA”，能判定△ADC≌△AEB；若添加AD＝AE，可构成“SAS”，能判定△ADC≌△AEB；若添加∠ADC＝∠AEB，可构成“AAS”，能判定△ADC≌△AEB；若添加DC＝BE，则构成“SSA”，不能判定△ADC≌△AEB.第3课时 利用“边角边”判定三角形全等[归纳总结]添加三角形全等的条件问题，首先应分析已经存在的对应边、对应角(注意隐含的公共边、公共角、对顶角)，然后再对所添加的条件进行分析，看能否构成“SAS”“ASA”“AAS”或“SSS”中的一种，就可以判断条件是否适合． 第3课时 利用“边角边”判定三角形全等备选探究问题 几种三角形全等条件的综合运用 例 如图4－3－34所示，AB＝DC，∠A＝∠D，请说明∠1＝∠2的理由． 图4－3－34第3课时 利用“边角边”判定三角形全等[解析] 欲说明∠1＝∠2，容易想到说明△ABC≌△DCB，具备哪些条件呢？AB＝DC，BC＝CB，∠A＝∠D，有了这三个条件是否可以判定上述两个三角形全等？不行，因为这三个条件是“SSA”，是说明三角形全等的误区，不能作为判定三角形全等的方法．注意到∠AOB＝∠DOC，可以得到△AOB≌△DOC，推出OA＝OD，OB＝OC，进而得到AC＝DB，只需再得到△ABC≌△DCB即可．第3课时 利用“边角边”判定三角形全等第3课时 利用“边角边”判定三角形全等第3课时 利用“边角边”判定三角形全等[归纳总结] 利用全等三角形说明线段或角相等时，首先应分析要说明的等量分布在哪两个可能全等的三角形之中，这两个三角形已经具备了哪些条件，还缺哪些条件．课件17张PPT。第四章 三角形 3 探索三角形全等的条件第1课时 利用“边边边”判定三角形全等探 究 新 知第1课时 利用“边边边”判定三角形全等? 活动1 知识准备 如图4－3－1所示，△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E分别是对应顶点，∠B＝42°，∠A＝48°，AB＝13 cm，则∠F＝____°，DE＝____cm.图4－3－19013第1课时 利用“边边边”判定三角形全等? 活动2 教材导学 探究三角形全等的条件(边边边)
1．(1)已知三角形的三条边长分别是4 cm，5 cm，7 cm，画出这个三角形，把所画的三角形剪下来，并与其他同学比一比，这些三角形能重合吗？
(2)已知三角形的三条边长分别是6 cm，8 cm，10 cm，画出这个三角形，把所画的三角形剪下来，并与其他同学比一比，这些三角形能重合吗？第1课时 利用“边边边”判定三角形全等(3)如图4－3－2所示，已知三条线段a，b，c(其中任意两条线段的和都大于第三条线段)．在硬纸片上画出△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，并把所画的三角形与其他同学比一比，这些三角形能重合吗？图4－3－2综上，试概括你发现的结论．第1课时 利用“边边边”判定三角形全等2．已知两个三角形的三条边对应相等，你能判定这两个三角形全等吗？
◆知识链接——[新知梳理]知识点一新 知 梳 理第1课时 利用“边边边”判定三角形全等? 知识点一 边边边 [文字叙述] 三边分别相等的两个三角形______，简写为“________”或“_______”．
[图形语言]图4－3－3边边边全等SSS第1课时 利用“边边边”判定三角形全等第1课时 利用“边边边”判定三角形全等? 知识点二 三角形具有稳定性 只要三角形三边的长确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，所以三角形具有稳定性．
三角形的稳定性在生产和生活中有着广泛的应用．比如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它坚固稳定；大桥钢架、输电线支架、索道支架等都采用三角形结构．这都是三角形的稳定性的应用．重难互动探究第1课时 利用“边边边”判定三角形全等探究问题一 利用SSS判定三角形全等 例1 [高频考题] 在图4－3－4中，AC＝DF，BC＝EF，AD＝BE，则∠C与∠F的大小关系怎样？为什么？ 图4－3－4[解析] 观察图形并应用“SSS”发现△ABC与△DEF全等，即得∠C＝∠F，此题关键在于说明AB＝DE.第1课时 利用“边边边”判定三角形全等第1课时 利用“边边边”判定三角形全等[归纳总结] (1)在运用“边边边”判定三角形全等时，要注意必须是满足三边对应相等，这时两个三角形才能全等，只有一边或两边对应相等的两个三角形不一定全等．
(2)“边边边”只用于判定三角形全等，并不是对应边相等的所有图形都全等，因此不能推广用来说明四边形、五边形等多边形全等．
(3)利用“边边边”判定三角形全等时，当所给相等的边不是要判定的三角形的边时，往往利用等式的性质，在相等线段两边加上或减去同一(相等)线段，转化为两个三角形的边．第1课时 利用“边边边”判定三角形全等探究问题二 全等三角形在实际生活中的应用 例2 有一块三角形钢板(如图4－3－5所示)，根据实际生产、生活的需要，工人师傅欲把∠MAN平均分开，聪明的工人师傅只用一把没有刻度的尺子和一根细绳便完成了任务，你能说说他是怎么做的吗？其依据又是什么？ 图4－3－5[解析] 利用“SSS”构造全等三角形．第1课时 利用“边边边”判定三角形全等解：用一定长度的绳子在AM和AN上截取AB＝AC，再选取适当长度(不小于BC)的绳子，将其对折，得绳子的中点D，把绳子的端点固定在B，C两点，拽住绳子的中点D，向外拉直BD和CD，确定出D点在钢板上的位置，过A，D画射线AD，则AD平分∠MAN.在△ABD和△ACD中，∵AB＝AC(作法)，BD＝CD(线段中点的定义)，AD＝AD(公共边)，∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠MAD＝∠NAD.第1课时 利用“边边边”判定三角形全等[归纳总结] 在实际生产和生活中，结合已知条件，构造全等三角形，再利用全等三角形的性质，求得线段或角相等，既是对知识的巩固，又是对知识的活用．第1课时 利用“边边边”判定三角形全等[归纳总结] 在实际生产和生活中，结合已知条件，构造全等三角形，再利用全等三角形的性质，求得线段或角相等，既是对知识的巩固，又是对知识的活用．第1课时 利用“边边边”判定三角形全等探究问题三 三角形的稳定性 例2 如图4－3－6所示，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是__________________________________． 图4－3－6[答案] 三角形具有稳定性第1课时 利用“边边边”判定三角形全等[解析] 形成两个三角形，三角形具有稳定性．[归纳总结] (1)三角形的稳定性在生活和生产中应用很广，有很多需要稳定的东西都制成三角形形状；(2)四边形不具有稳定性． 课件28张PPT。第四章 三角形4 用尺规作三角形探 究 新 知4 用尺规作三角形? 活动1 知识准备 1．三角形全等的条件有：“________”，“_________”，“__________”，“____________”．
2．已学过的尺规作图：①作一条线段等于__________；②作一个角等于___________．边边边边角边角边角角角边已知线段已知角4 用尺规作三角形? 活动2 教材导学 探究尺规作三角形的条件
我们已经会用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，而边和角是三角形的基本元素，那么你能利用尺规作一个三角形与已知三角形全等吗？作一个三角形需要几个基本元素？[答案] 能利用尺规作三角形，至少需要三个元素，其中一个是边．新 知 梳 理4 用尺规作三角形? 知识点一 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形 已知：线段a，c和∠α，如图4－4－1所示．图4－4－14 用尺规作三角形求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.
作法：(1)作一条线段BC＝a(如图4－4－2)；图4－4－24 用尺规作三角形(2)以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α(如图4－4－3)；图4－4－34 用尺规作三角形(3)在射线BD上截取线段BA＝c(如图4－4－4)；图4－4－44 用尺规作三角形(4)连接AC(如图4－4－5)．△ABC就是所求作的三角形．图4－4－5 4 用尺规作三角形[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．4 用尺规作三角形? 知识点二 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形 已知：∠α，∠β和线段c，如图4－4－6所示．图4－4－64 用尺规作三角形求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.
作法：(1)作∠DAF＝∠α；图4－4－74 用尺规作三角形(2)在射线AF上截取线段AB＝c；图4－4－84 用尺规作三角形(3)以B为顶点，以BA为一边，在AB的同侧作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C.△ABC就是所求作的三角形．图4－4－9[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．4 用尺规作三角形? 知识点三 已知三角形的三条边，求作这个三角形 已知：线段a，b，c，如图4－4－10所示．图4－4－104 用尺规作三角形求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a.
作法：(1)作一条线段BC＝a；图4－4－114 用尺规作三角形(2)分别以B，C为圆心，以c，b为半径在BC的同侧画弧，两弧交于A点；图4－4－124 用尺规作三角形(3)连接AB，AC，则△ABC就是所求作的三角形．图4－4－13[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是三边分别相等的两个三角形全等．重难互动探究4 用尺规作三角形探究问题一 已知三角形的边和角作三角形 例1已知：角α，β和线段a，如图4－4－14所示，求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a. 图4－4－144 用尺规作三角形[解析] 本题所给条件是两角及其中一角的对边，可利用三角形内角和定理求出∠C，再利用两角夹边作图．解：如图4－4－15所示：(1)作∠γ＝180°－∠α－∠β；(2)作线段BC＝a；(3)分别以B，C为顶点，以BC为一边作∠CBM＝∠β，∠BCN＝∠γ；(4)射线BM，CN交于点A.△ABC就是所求作的三角形．4 用尺规作三角形图4－4－154 用尺规作三角形[归纳总结] (1)做此类题时，不妨先画个草图，再对草图进行分析，以确定作图的思路与顺序；
(2)已知两边和夹角可以作出三角形，与全等判定方法的“SAS”对应；已知两角及夹边可以作出三角形，与全等判定方法的“ASA”对应；已知三边，可以作出三角形，与全等判定方法的“SSS”对应4 用尺规作三角形探究问题二 用尺规作较复杂的几何图形 例2 已知两边和第三边上的中线，求作三角形． 4 用尺规作三角形解：已知△ABC中的AB，AC和BC边上的中线AD(如图4－4－16所示)．
求作：△A′B′C′，使△A′B′C′≌△ABC.
作法：如图4－4－17，(1)作线段A′B′＝AB；
(2)以A′为圆心，2AD为半径画弧，以B′为圆心，以AC为半径画弧，交前弧于点E′；
(3)作线段A′E′的中点D′；
(4)连接B′D′并延长到C′，使D′C′＝B′D′；
(5)连接A′C′.
△A′B′C′就是所求作的三角形．
4 用尺规作三角形图4－4－16图4－4－17 4 用尺规作三角形[归纳总结]较复杂的几何作图题，通过分析，通常可以分解为简单的作图来进行．所谓“分析”，就是假定所求作的图形已作出，然后根据条件，确定可以先作出的基本图形，再进一步作出所求作的图形，但每一个作图步骤必须正确，有根据． 4 用尺规作三角形备选探究问题 由相同条件画出不同的三角形 例 已知：线段m，n和∠α，如图4－4－18所示，求作△ABC，使AB＝m，AC＝n，∠B＝∠α.图4－4－184 用尺规作三角形[解析] 先假设△ABC可作出，再根据条件确定先作∠B＝∠α，再作AB＝m，最后作AC＝n.解： 作法：如图4－4－19所示，
(1)作∠DBE＝∠α；
(2)在BD上截取BA＝m；
(3)以点A为圆心，以n为半径作弧交BE于点C，C′；
(4)连接AC，AC′.
△ABC和△ABC′都是所求作的三角形．图4－4－194 用尺规作三角形[归纳总结]用尺规作图要有理论依据．根据全等知识可知，只有“SSS，SAS，AAS，ASA”才能说明两个三角形全等，因此能作出唯一的三角形；而“SSA”不能说明两个三角形全等，所以不能作出唯一的三角形． 课件13张PPT。第四章 三角形5 利用三角形全等测距离探 究 新 知5 利用三角形全等测距离? 活动1 知识准备 1．如图4－5－1所示，已知AC＝BD，要使得△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是__________________________. 图4－5－1∠ACB＝∠DBC或AB＝CD5 利用三角形全等测距离2．如图4－5－2所示，已知∠C＝∠D，再添加条件___________________或条件__________________，就可以用“AAS”定理判定△ABD≌△BAC.图4－5－2 ∠DBA＝∠CAB∠DAB＝∠CBA5 利用三角形全等测距离? 活动2 教材导学 探究构造全等测量两点间的距离
如图4－5－3是小山的俯视图，现要在A，B间挖一条隧道，施工前先要测量出AB间的距离．你能利用所学知识帮助测量人员想出一种办法吗？画出图形并说明你的设计理由． 图4－5－35 利用三角形全等测距离解：分别以点A，点B为端点，作AQ，BP，使其相交于点C，使得CP＝CB，CQ＝CA，连接PQ，测得PQ的长即可得出AB的长度．
理由：由作法可知PC＝BC，QC＝AC，
又∠PCQ＝∠BCA，
∴△PCQ≌△BCA，∴PQ＝AB.
图4－5－4新 知 梳 理5 利用三角形全等测距离? 知识点 利用三角形全等解决实际问题 全等三角形在现实生活中有着广泛的应用，解决与全等三角形有关的实际问题时，常将实际问题转化为数学问题，然后再利用数学知识来解决．
要测量无法直接得到的两个点之间的距离时，常常应用三角形全等的条件来构造全等三角形，再利用全等的性质得到所要的距离．重难互动探究5 利用三角形全等测距离探究问题一 利用三角形全等测距离 例1如图4－5－5所示，A，B两建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作一条直线MN，且使MN⊥AB，在MN上依次截取BC＝CD，过D作DE⊥MN，使点A，C，E在一条直线上，则ED的长就是A，B两建筑物之间的距离，请说明理由．5 利用三角形全等测距离图4－5－5[解析] 根据已知条件，可得△ABC≌△EDC，进而可得AB＝ED.5 利用三角形全等测距离5 利用三角形全等测距离[归纳总结] 全等三角形的对应边相等，利用这一性质，在测量不能直接测量的两点之间的距离时，可以想办法构造两个全等三角形，利用全等三角形的性质将其转化为易于测量的线段．构造全等三角形时
要满足全等三角形的判定方法“SAS”“ASA”及“AAS”．5 利用三角形全等测距离探究问题二 利用三角形全等设计测量方案 例2要在湖的两岸A，B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A，B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一种测量方案．
(1)画出测量图案；
(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示)；
(3)计算A，B两点间的距离(写出求解或推
理过程，结果用字母表示)．
图4－5－65 利用三角形全等测距离[解析] 利用三角形全等知识．解：(1)如图4－5－7所示；
(2)在陆地上找到可以直接到达点A和B的一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC＝OA，在BO的延长线上取一点D，并测得OD＝OB，这时测出CD的长为a，则AB的长就是a；
(3)由测法可得OC＝OA，OD＝OB，
又由∠COD＝∠AOB，
所以△COD≌△AOB，则CD＝AB＝a.
5 利用三角形全等测距离图4－5－7
