4.4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质——高一数学北师大版（2019）必修第二册课时作业（含解析）

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单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质——高一数学北师大版（2019）必修第二册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知函数（，）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为( )
A. B.4 C. D.8
2．已知函数的图像过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3．已知函数,若方程在区间上恰有5个实根,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知函数的图像与y轴交点的纵坐标为，且在区间上无最大值，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5．函数是( )
A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数
6．函数的单调减区间是( )
A., B.,
C., D.
7．函数的单调递减区间是( )
A. B.,
C. D.,
8．已知函数,则( )
A.在区间上单调递增
B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增
D.在区间上单调递减
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知,对任意的,都存在,使得成立,则下列选项中,可能的值是( )
A. B. C. D.
10．下列区间中，函数在其上单调递减的是( )
A. B. C. D.
11．已知函数在上单调,且,则的取值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．函数,的单调递增区间为_____________.
13．若函数在区间上恰有两个不相等的实数a，b满足，则实数的取值范围是__________.
14．函数的值域是___________________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．下列等式能否成立？为什么？
（1）；
（2）.
16．求函数的单调区间.
17．求函数的单调递增区间.
18．求下列函数的周期.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
19．求的单调递增区间.
参考答案
1．答案：C
解析：因为函数的图象过点，所以，
因为，所以，所以，
当时，，
因为在区间上具有单调性，
所以，，
即且，，
则，，
因为，得，
因为，所以时，，则；
当时，，
综上，，即的最大值为.
故选：C.
2．答案：D
解析：因为函数过点，
所以，即，故，
因为，所以，故，
由
得，
所以的单调递增区间为，
同理：的单调递增区间为，
因为在区间内不存在最值，
所以是单调区间的真子集，
当时，
有，
解得，
即，
又因为，，
显然当时，不等式成立，且；
当时，
有，
解得，
即，
又因为，，
显然当时，不等式成立，
且；
综上：或，
即
故选：D.
3．答案：D
解析：由方程,可得,
所以,
当时,,所以的可能取值为,,,,,,因为原方程在区间上恰有5个实根,
所以,解得,即的取值范围是.
故选：D.
4．答案：D
解析：由条件得，
又，得，所以.
由，解得.
若在区间上存在最大值，则，
解得，则，
所以若在上无最大值，的取值范围为，
故选：D.
5．答案：A
解析：由题意得,
所以,
故为奇函数,周期.
6．答案：A
解析：,要求函数的单调减区间,
即求函数的单调增区间.
令,,
所以,.
故选：A.
7．答案：A
解析：由,由得单调递减区间为,,可得,,
解得:,
故函数的单调递减区间是,,
故选:A.
8．答案：D
解析：函数,
对于AB,当时,,而正弦函数在上先递增后递减,
因此函数在区间上不单调,AB错误;
对于CD,当时,,而正弦函数在上单调递减,
因此在区间上单调递减,C错误,D正确.
故选:D
9．答案：AC
解析：,,,
对任意的,都存在,使得成立,
,,,
,,在上单调递减.在上单调递增.
当时,,
,,故A正确,
当时,,,故B错误,
当时,,
,,故C正确,
当时,,.故错误.
故选AC.
10．答案：AC
解析：，其定义域为，结合正弦函数的图象，可知函数在区间上单调递减，且，故选AC.
11．答案：ACD
解析：设的最小正周期为T,
则由题意可得,即.
由在上单调,
且,得的一个零点为,因为,
所以有以下三种情况：
①,则;
②,则;
③,则.
12．答案：（开区间也给分）
解析：令,,解得,,
令,则,
由于,故,
故单调递增区间为：,
故答案为：.
13．答案：
解析：由函数的最大值为1，最小值为-1，
可得或，
由故有，
解得.
故答案为：.
14．答案：
解析：,
因为,所以,
所以,所以,
即函数的值域是.
故答案为：.
15．答案：（1）不成立，理由见解析
（2）成立，理由见解析
解析：（1）不成立.因为余弦函数的最大值是1，而（1）题中.
（2）成立.因为，即，
而余弦函数的值域是，，所以能成立.
16．答案：单调递增区间是；单调递减区间是
解析：令，得.
则单调递增区间是，
令，得.
得单调递减区间是.
17．答案：
解析：因为，
则求函数的单调递增区间即转化为求函数的单调递减区间，
令，
则，
故函数的单调递增区间为.
18．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1），则；
（2），则；
（3），则；
（4），则.
19．答案：
解析：因为的单调性与的单调性相反，
又的单调递减区间为，
所以的单调递增区间为.
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