第二章 平面向量及其应用——高一数学北师大版（2019）必修第二册单元测试（含解析）

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第二章 平面向量及其应用——高一数学北师大版（2019）必修第二册单元测试
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．在中，，D、E分别是、的中点，则( )
A.与共线 B.与共线 C.与相等 D.与相等
2．已知向量,都是单位向量,若,则向量,的夹角的大小为( )
A. B. C. D.
3．在平行四边形中,E为线段的中点,且,则( )
A.F为线段的中点 B.F为线段的中点
C.F为线段的中点 D.F为线段的中点
4．已知向量，满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5．已知两个非零向量和，若，，则( )
A. B.0 C. D.
6．已知的三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量,,若,则的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
7．如图,在山脚A测得山顶P的仰角为,沿倾斜角为的斜坡向上走a米到B,在B处测得山顶P的仰角为,则山高( )
A. B. C. D.
8．设向量，若，则( )
A.4 B.3 C.2 D.1
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列叙述中错误的是( )
A.若,则
B.已知非零向量与且,则与的方向相同或相反
C.若,,则
D.在等边中,与的夹角为
10．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，则以下四个命题中正确的是( )
A.满足条件的不可能是直角三角形
B.面积的最大值为
C.当时，的内切圆的半径为
D.若为锐角三角形，则
11．下列各组向量中,可以作为基底的是( )
A., B.,
C., D.,
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．正六边形ABCDEF的边长为1，则__________.
13．在中,D是上一点,且,用基底表示向量,则________.
14．已知向量，.若，则___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且的面积.
（1）求角B;
（2）若的平分线交于点D,,,求的长.
16．如图，在中，，，点D在线段上.
(1)若，求的长；
(2)若，的面积为，求的值.
17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求角C；
（2）若，的面积为，求的周长.
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，
(1)求的值；
(2)若的面积，求b，c的值.
19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求B；
(2)若，，D为边上一点，且的面积为，证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可知，与不共线，A错；
因为D、E分别是、的中点，所以，，故与共线，B对；
因为与不平行，所以与不相等，C错；
因为，D错.
故选：B.
2．答案：B
解析：向量,都是单位向量,则
,则
即,则
,又
所以
故选:B.
3．答案：C
解析：如图,在平行四边形中,由向量的减法法则得,
因为,所以,
因为E为线段的中点,所以,
由平行四边形性质得,故,
则为线段的中点,故C正确.
故选:C
4．答案：C
解析：因为，所以，
从而在上的投影向量为
故选C
5．答案：D
解析：由已知得，即，
所以，，得，
故选：D.
6．答案：D
解析：由题意,向量,,且,
则,故,
整理得到,
故,故或,
即或,故的形状为等腰或直角三角形.
故选：D.
7．答案：D
解析：在中,,,
由正弦定理得,可得,
过点B作,可得
所以.
故选:D.
8．答案：A
解析：因为，
所以，
解得：，
故选：A
9．答案：ACD
解析：A.向量不能比较大小,故错误;
B.因为非零向量与且,所以与的方向相同或相反,故正确;
C. 当时,满足,,但与不一定共线,故错误;
D.在等边中,与的夹角为,故错误,
故选：ACD.
10．答案：BC
解析：，则，
对选项A：取，则，，
故，是直角三角形，错误；
对选项B：设，
则，，，
，
当时，S最大为，正确；
对选项C：时，，，，
，故，设内切圆的半径为r，
则，解得，正确；
对选项D：为锐角三角形，则，即，解得，
且，即，解得，故，错误；
故选：BC
11．答案：BC
解析：A选项:,与共线,A错误;
B选项:,与不共线,B正确;
C选项:,与不共线,C正确;
D选项:,与共线,D错误;
故选:BC.
12．答案：
解析：正六边形如下图所示，，
，且，
所以，
则
故答案为：
13．答案：
解析：如下图所示:
在中,D是上一点,且,则,
所以,,故.
故答案为:.
14．答案：
解析：易知.因为，，所以，整理得，所以.
15．答案：（1）
（2）.
解析：（1）在中,,而,
即,所以,
由余弦定理得,所以.
（2）在中,由等面积法得,
即,
即
所以.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)在三角形中，∵，∴
在中，由正弦定理得，
又，，∴.
(2)∵，∴，，
又，∴，
∵，∴，
∵，
，
∴，
在中，由余弦定理得.
∴，
∴.
17．答案：（1）
（2）20
解析：（1）由及正弦定理得，
又，
所以，
所以，
又C为锐角，
所以.
（2）由（1）得，则.
由余弦定理得，
所以，
所以，
所以的周长.
18．答案：(1)
(2)，
解析：(1)由题意，将，
代入，
，
即，所以.
故.
(2)由于，
又
A为锐角，即.
，
.
所以，
结合
解得.
故，
19．答案：(1)；
(2)证明见解析.
解析：（1）由，
则，所以，
，则.
（2）由，可得（负值舍），
则，而，
所以，即，得证.
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