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第六章 立体几何初步——高一数学北师大版(2019)必修第二册单元测试
本试卷满分150分,考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.将半径为4的半圆面围成一个圆锥,则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
2.已知圆锥的体积为,其侧面积是底面积的倍,则该圆锥的母线长为( )
A.2 B. C. D.
3.如图,在棱长为2的正方体中,有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体,有1个以正方体体心为球心的球体,与均相切,则该9部分的体积和的范围是( )
A. B.
C. D.
4.半径为2的实心球与半径为1的实心球体积之差的绝对值为( )
A. B. C. D.
5.如图,一个圆柱形容器中盛有水,圆柱母线,若母线放置在水平地面上时,水面恰好过的中点,那么当底面圆O水平放置时,水面高为( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥的底面半径为R,高为,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是( )
A. B. C. D.
7.已知A,B,C为球O的球面上的三个点,为的外接圆,若的面积为,,则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
8.某圆台的上、下底面半径分别为2和4,母线与底面的夹角为,则该圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
9.设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出下列命题正确的是( )
A.若,,则
B.若,,则.
C.若,,则
D.若,,则.
10.已知正方体的棱长为1,P,Q分别为棱,上的动点,则( )
A.四面体的体积为定值 B.四面体的体积为定值
C.四面体的体积最大值为 D.四面体的体积最大值为
11.以长为4cm,宽为3cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为( )
A. B. C. D.
三、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12.四棱锥中,,,,,,内部点Q满足四棱锥与三棱锥的体积相等,则长的最小值为_________.
13.圆锥的底面积为,其母线长为,则该圆锥的体积为_________.
14.在正四棱台中,,,则该棱台的侧面积为___________.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.过正四棱台各侧棱中点的截面称为正四棱台的中截面.若正四棱台的两底面边长分别为3和5,求它的中截面的面积.
16.写出棱台中任意两个侧面的位置关系.
17.求正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比(以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱称为正棱柱的内切圆柱,以正棱柱两个底面的外接圆面为底面的圆柱称为正棱柱的外接圆柱).
18.已知长方体中,,,,求AD.
19.判断下列命题的真假.
(1),,;
(2),,;
(3),,;
(4),;
(5),,,,.
参考答案
1.答案:B
解析:由题意知,半圆的周长为,设圆锥底面圆的半径为r,
则,解得,又母线长为4,
所以圆锥的高为,
所以圆锥的体积为.
故选:B.
2.答案:B
解析:由,得,
由,得,
因为,解得,所以.
故选:B.
3.答案:D
解析:设球体的半径为,半径为,
所以,即得,
可得,所以,
开口向下,对称轴为,
所以,
该9部分的体积和为
,
所以.
故选:D.
4.答案:A
解析:由题意可知实心球的体积为,
实心球的体积为,
所以实心球与实心球体积之差的绝对值为.
故选:A.
5.答案:B
解析:如图,
设圆柱底面半径为r,则当母线水平放置时,圆柱中含水部分可以看作是以弓形为底,为高的柱体,
因为水面过的中点,则,
则弓形的面积为,
当底面圆O水平放置时,底面圆的面积为,设水面高为h,
则由水的体积不变可得:,
即,解得:.
故选:B.
6.答案:B
解析:设内接圆柱的底面半径为,母线长为h,
则,即,
则该圆柱的全面积为,
因为,
所以当时,内接圆柱的全面积的最大值为;故选B.
7.答案:A
解析:设圆半径为r,球的半径为R,依题意,
得,,为等边三角形,
由正弦定理可得,
,根据球的截面性质平面,
,
球O的表面积.
故选:A
8.答案:A
解析:设圆台的上底面半径为r,下底面半径为R,母线长为l,
则,
由题意得,,
∴该圆台的侧面积.
故选:A.
9.答案:AC
解析:对于A:因为,
可知在平面内存在直线l,使得,如图所示,
又因为,且,则,所以,因此A正确;
对于B:如图所示:,,但,故B错误;
对于C:若,,则由线面垂直的判定定理得,故C正确
对于D:,,如图所示,,故D错误
故选:AC.
10.答案:BCD
解析:A:因为的面积为,Q到平面的距离不是定值,
所以四面体的体积不是定值,故A错误;
B:因为的面积为,P到矩形的距离为定值,
所以P到平面的距离为,则四面体的体积为,故B正确;
C:当Q与重合时,取得最大值,为,
当P与重合时,P到平面的距离d取得最大值,
在正中,其外接圆的半径为,则,
故四面体的体积最大值为,故C正确;
D:过点Q作,,,
设,,则t,,
,,,,
故四面体的体积为,其最大值为,故D正确.
故选:BCD.
11.答案:CD
解析:当圆柱底面半径为4cm,高为3cm时,表面积;
当圆柱底面半径为3cm,高为4cm时,表面积.
故选:CD
12.答案:
解析:
13.答案:
解析:圆锥的母线长为,底面半径长为r,又,解得,
故高,可得圆锥的体积为.
故答案为:.
14.答案:24
解析:如图,过作,垂足为M,
所以为正四棱台的侧面的高,
因为,,
则,
,
,
所以正四棱台的侧面积为.
故答案为:24.
15.答案:16
解析:如图.正四棱台两底面和ABCD的边长分别为3和5,
中截面为正方形,且其边长,
.
正四棱台的中截面的面积为16.
16.答案:棱台中任意两个侧面一定相交.
解析:根据棱台性质知:棱台各棱的反向延长线交于一点,故任意两个侧面相交.
17.答案:
解析:设正三棱柱的底面边长为a,高为h,底面内切圆半径为r,外接圆半径为R,则由平面几何知识知.
.
18.答案:
解析:由长方体的性质得,,
在中,由,,
得,
在中,由,,
得,
由,得.
19.答案:(1)假命题
(2)真命题
(3)假命题
(4)假命题
(5)假命题
解析:(1),,,则或a,b异面,故(1)是假命题;
(2),,,,(2)是真命题;
(3),,,则或或l,m异面或l,m相交,(3)是假命题;
(4),或,(4)是假命题;
(5)如图所示:,,,.则b与不垂直,(5)是假命题.
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