第六章 立体几何初步——高一数学北师大版（2019）必修第二册单元测试（含解析）

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第六章 立体几何初步——高一数学北师大版（2019）必修第二册单元测试
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
2．已知圆锥的体积为,其侧面积是底面积的倍,则该圆锥的母线长为( )
A.2 B. C. D.
3．如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体，与均相切，则该9部分的体积和的范围是( )
A. B.
C. D.
4．半径为2的实心球与半径为1的实心球体积之差的绝对值为( )
A. B. C. D.
5．如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆O水平放置时，水面高为( )
A. B. C. D.
6．已知圆锥的底面半径为R，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( )
A. B. C. D.
7．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
8．某圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题正确的是( )
A.若，，则
B.若，，则.
C.若，，则
D.若，，则.
10．已知正方体的棱长为1,P,Q分别为棱,上的动点,则( )
A.四面体的体积为定值 B.四面体的体积为定值
C.四面体的体积最大值为 D.四面体的体积最大值为
11．以长为4cm,宽为3cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．四棱锥中，，，，，，内部点Q满足四棱锥与三棱锥的体积相等，则长的最小值为_________.
13．圆锥的底面积为,其母线长为,则该圆锥的体积为_________.
14．在正四棱台中，，，则该棱台的侧面积为___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．过正四棱台各侧棱中点的截面称为正四棱台的中截面.若正四棱台的两底面边长分别为3和5，求它的中截面的面积.
16．写出棱台中任意两个侧面的位置关系.
17．求正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比（以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱称为正棱柱的内切圆柱，以正棱柱两个底面的外接圆面为底面的圆柱称为正棱柱的外接圆柱）.
18．已知长方体中，，，，求AD.
19．判断下列命题的真假.
（1），，；
（2），，；
（3），，；
（4），；
（5），，，，.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意知，半圆的周长为，设圆锥底面圆的半径为r，
则，解得，又母线长为4，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为.
故选：B.
2．答案：B
解析：由,得,
由,得,
因为,解得,所以.
故选：B.
3．答案：D
解析：设球体的半径为，半径为，
所以，即得，
可得，所以，
开口向下，对称轴为，
所以，
该9部分的体积和为
，
所以.
故选：D.
4．答案：A
解析：由题意可知实心球的体积为，
实心球的体积为，
所以实心球与实心球体积之差的绝对值为.
故选：A.
5．答案：B
解析：如图，
设圆柱底面半径为r，则当母线水平放置时，圆柱中含水部分可以看作是以弓形为底，为高的柱体，
因为水面过的中点，则，
则弓形的面积为，
当底面圆O水平放置时，底面圆的面积为，设水面高为h，
则由水的体积不变可得：，
即，解得：.
故选：B.
6．答案：B
解析：设内接圆柱的底面半径为，母线长为h，
则，即，
则该圆柱的全面积为，
因为，
所以当时，内接圆柱的全面积的最大值为；故选B.
7．答案：A
解析：设圆半径为r，球的半径为R，依题意，
得，，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球O的表面积.
故选：A
8．答案：A
解析：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，母线长为l，
则，
由题意得，，
∴该圆台的侧面积.
故选：A.
9．答案：AC
解析：对于A：因为，
可知在平面内存在直线l，使得，如图所示，
又因为，且，则，所以，因此A正确；
对于B：如图所示：，，但，故B错误；
对于C：若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确
对于D：，，如图所示，，故D错误
故选：AC.
10．答案：BCD
解析：A：因为的面积为,Q到平面的距离不是定值,
所以四面体的体积不是定值,故A错误;
B：因为的面积为,P到矩形的距离为定值,
所以P到平面的距离为,则四面体的体积为,故B正确;
C：当Q与重合时,取得最大值,为,
当P与重合时,P到平面的距离d取得最大值,
在正中,其外接圆的半径为,则,
故四面体的体积最大值为,故C正确;
D：过点Q作,,,
设,,则t,,
,,,,
故四面体的体积为,其最大值为,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：CD
解析：当圆柱底面半径为4cm,高为3cm时,表面积;
当圆柱底面半径为3cm,高为4cm时,表面积.
故选:CD
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：圆锥的母线长为,底面半径长为r,又,解得,
故高,可得圆锥的体积为.
故答案为：.
14．答案：24
解析：如图，过作，垂足为M，
所以为正四棱台的侧面的高，
因为，，
则，
，
，
所以正四棱台的侧面积为.
故答案为：24.
15．答案：16
解析：如图.正四棱台两底面和ABCD的边长分别为3和5，
中截面为正方形，且其边长，
.
正四棱台的中截面的面积为16.
16．答案：棱台中任意两个侧面一定相交.
解析：根据棱台性质知：棱台各棱的反向延长线交于一点，故任意两个侧面相交.
17．答案：
解析：设正三棱柱的底面边长为a，高为h，底面内切圆半径为r，外接圆半径为R，则由平面几何知识知.
.
18．答案：
解析：由长方体的性质得，，
在中，由，，
得，
在中，由，，
得，
由，得.
19．答案：（1）假命题
（2）真命题
（3）假命题
（4）假命题
（5）假命题
解析：（1），，，则或a，b异面，故（1）是假命题；
（2），，，，（2）是真命题；
（3），，，则或或l，m异面或l，m相交，（3）是假命题；
（4），或，（4）是假命题；
（5）如图所示：，，，.则b与不垂直，（5）是假命题.
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