2.6平面向量的应用——高一数学北师大版（2019）必修第二册课时作业

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平面向量的应用——高一数学北师大版（2019）必修第二册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．在中，，，，则的面积为( )
A.6 B.8 C.24 D.48
2．在中,若,则的形状为( ).
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
3．已知在四边形中，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
4．已知O为坐标原点，点M的坐标为，点N的坐标满足，则的最大值为( )
A. B.11 C.6 D.13
5．已知一个三角形的三边分别为a，b和，则最大角的大小为( )
A. B. C. D.
6．如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在C点测得B点的仰角为，在B点测得A点的仰角为，则该建筑物的高约为（参考数据，，）( )
A.268米 B.265米 C.266米 D.267米
7．在中，，，，则( )
A. B. C. D.
8．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则( )
A. B. C.1 D.2
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在中，，，，则的面积可以是( )
A. B.1 C. D.
10．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且，，，则下列结论正确的是( )
A.是锐角三角形 B.
C.的面积为 D.的中线长为
11．八一广场位置处于解放碑繁华地段，紧挨着得意世界、大融城、八一好吃街等.重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.现某兴趣小组准备在八一广场上对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为解放碑的最顶端，B为解放碑的基座（即B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C，D两点，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度的是( )
A.，，，
B.，，，
C.，，，
D.，，
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在中,,,D是上一点,为的平分线,若,则________.
13．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________.
14．已知的外接圆O的半径为1，.从圆O内随机取一点M，若点M在内的概率恰为，则的周长为_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，.
(1)求的面积；
(2)求中的角平分线的长.
16．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.
（1）求C;
（2）若,求的面积的最大值.
17．设向量a，b，c满足，，，求的最大值.
18．长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向.回答下面的问题.
（1）当时，判断游船航行到达北岸的位置在的左侧还是右侧，并说明理由.
（2）当为多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？
19．如图,在中,点D在边BC上,.
（1）若,,,求AB;
（2）若是锐角三角形,,求的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：解法—：设，由余弦定理知，，即，整理得，即，解得.又，且，所以，则.故选C.
解法二：设，由余弦定理知，，即，整理得，即，所以.又，所以，则.故选C.
解法三：因为，且，所以，由正弦定理得，，即，所以.因为，所以.则，所以（另解：，则）.故选C.
2．答案：D
解析：由正弦定理和余弦定理可得:
即为
,
化简可得:,
故或即,故为等腰三角形或直角三角形.
故选:D.
3．答案：D
解析：在中，由，
且，可得，
由正弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以.
故选：D.
4．答案：B
解析：由题意可得，，
令，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示：
三条直线的交点分别为，，，
因为z表示直线的纵截距的2倍，
所以当直线经过点时，取得最大值，
即.
故选：B.
5．答案：B
解析：∵一个三角形的三边分别是a，b和，
又，，
∴为最大边，
由余弦定理可得，
，故此三角形中的最大角为，
故选：B.
6．答案：C
解析：
如图，分别过B，C作，，垂足分别为F，D，
过D作，垂足为E.
根据题意易得，.
在中，由正弦定理得
，
在中，，则，
在中，，则，
所以米.
故选：C.
7．答案：A
解析：因为，
所以，
由余弦定理可得，
因为，
所以，
所以.
故选：A.
8．答案：A
解析：由正弦定理，得，
所以，
又，所以，所以.
故选：A.
9．答案：AD
解析：，，，
由余弦定理得，
，
，或，
由的面积公式得或，
故选：AD．
10．答案：BC
解析：对于A，由题意可知a边最大，所以角A为的最大内角，
易知，因此角A为钝角，可得A错误；
对于B，易知，又，可得，即B正确；
对于C，由，可得的面积为，即C正确；
对于D，设的中线为，可知，可得，即D错误.
故选：BC
11．答案：ABD
解析：由题意可知平面，由此进行下列判断：
A选项，在中，根据，，，
可利用正弦定理求得，再根据求得，故A正确；
B选项，由，借助直角三角形和余弦定理，用和表示出，，，，
然后结合在中利用余弦定理列方程，解方程求得，故B正确；
C选项，，，，四个条件，无法通过解三角形求得，故C错误；
D选项，根据，
可得与相似，根据相似比可解方程求得，故D正确，
故选：ABD
12．答案：12
解析：由,
得,
即,解得.
故答案为:12.
13．答案：
解析：由题意，，
所以，，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
14．答案：
解析：在中，设A，B，C对应的边为a，b，c，如图，
在圆O中，由，得，
在等腰中，，由余弦定理，
得，得.
因为点M在内的概率恰为，
所以，
得.
在中，由余弦定理，得，
即，得，
有，
由得，
所以的周长为.
故答案为：.
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为，，，
所以的面积为.
（2）设角平分线为，
因为
则，
即，解得，
所以的角平分线的长为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由正弦定理可得,则,
且,所以.
（2）由余弦定理可得,即,
可得,即,
当且仅当时,等号成立,
所以的面积的最大值为.
17．答案：2
解析：如图，当点C在内部时，
令，，，
易知，，，
于是四边形内接于圆，此时，的最大值是该圆的直径长度.
当点C在外部时，B，C，D在以A为圆心，1为半径的圆上，
此时，
在圆中利用平面几何计算得该圆的半径为1，因此的最大值为2.
18．答案：（1）F在距离左侧约千米处
（2）当时，游船能垂直到达对岸.即需要航行小时
解析：（1）如图，建立平面直角坐标系，并确定和的位置.
，.
，则直线AF的方程为，
令，得到F点的坐标为，
所以F在距离左侧约千米处.
（2）要使游船能垂直到达对岸，即与垂直，也即，
所以，即，
所以，解得，
所以，当时，游船能垂直到达对岸.
，
即需要航行小时.
19．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）在中,由余弦定理得,
即,而,解得,则,
在中,,由余弦定理得.
（2）在锐角中,,,且,则,
由正弦定理得,
显然,即有,因此,即,
所以的取值范围是.
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