6.2直观图——高一数学北师大版（2019）必修第二册课时作业

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直观图——高一数学北师大版（2019）必修第二册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．十三棱锥的顶点的个数为( )
A.13 B.14 C.20 D.26
2．若球的体积为，平面截球O的球面所得圆的半径为1，则球心O到平面的距离为( )
A.1 B. C. D.
3．如图,正三柱的底面是边长为3的正三角形,侧棱,一小虫从点A途经三个侧面爬到点,则小虫爬行的最短距离为( )
A.4 B.5 C. D.
4．已知球O是正三棱锥（底面是正三角形,顶点在底面的射影为底面中心）的外接球,,,点E是线段BC的中点,过点E作球O的截面,则所得截面面积的最小值是( )
A. B. C. D.
5．如图,四边形的斜二测直观图为平行四边形,已知,则该图形的面积为( )
A. B. C. D.
6．如图所示，在下列选项中，边长为1的正三角形利用斜二测画法得到的直观图后不是全等三角形的一组是( )
A. B.
C. D.
7．如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是( )
A. B. C. D.
8．把按斜二测画法得到（如图所示），其中，，那么是一个( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.三边互不相等的三角形
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法中不正确的是( )
A.棱柱的侧面可以是三角形 B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C.所有几何体的表面都能展开成平面图形 D.棱柱的各条棱都相等
10．在正方体的8个顶点中任意取4个不同的顶点，则这4个顶点可能构成( )
A.矩形
B.每个面都是等边三角形的四面体
C.每个面都是直角三角形的四面体
D.有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形的四面体
11．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．如图所示,在直三棱柱中,,,P是线段上一动点,则的最小值为________.
13．胡夫金字塔是埃及人智慧的结晶，其形状近似一个正四棱锥，古希腊历史学家希罗多德记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积等于金字塔高的平方，则正四棱锥侧面底边上的高与底面边长一半的比值为________.
14．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容,在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制）,多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角,每个面角是,所以正四面体在每个顶点的曲率为,故其总曲率为.我们把平面四边形外的点P连接顶点A、B、C、D构成的几何体称为四棱锥,根据曲率的定义,四棱锥的总曲率为_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1）已知一个圆台的轴截面是下底为2且其余边长为1的等腰梯形，求圆台的高.
（2）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是，截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长.
16．写出圆锥中任意两条母线的位置关系，以及任意一条母线与底面的位置关系.
17．写出圆柱中任意两条母线的位置关系，任意一条母线与底面的位置关系，以及两个底面的位置关系.
18．（例题）写出圆台中任意两条母线的位置关系，任意一条母线与底面的位置关系，以及两个底面的位置关系.
19．一个圆台的母线长为5，两底面直径分别为2和8，求圆台的高.
参考答案
1．答案：B
解析：十三棱锥的顶点的个数为.
2．答案：B
解析：依题意，设该球的半径为R，则有，由此解得，
因此球心O到平面的距离.
故选：B.
3．答案：C
解析：三柱的侧面展开图为一个矩形,如图所示,因为正的边长为3,侧棱,
所以,,所以,
即小虫爬行的最短距离为.
故选：C
4．答案：A
解析：如图：
是A在底面的射影,由正弦定理得,的外接圆半径.
由勾股定理得棱锥的高设球O的半径为R,
则,解得,
所以,即与O重合,
所以当过点E作球O的截面垂直于时,截面面积最小,
此时截面半径为,截面面积为.
故选：A.
5．答案：A
解析：平行四边形,由斜二测画法得,在原图矩形中,,为正方形,故该图形的面积为.
故选：A.
6．答案：C
解析：根据斜二测画法的规则，A，B，D中正三角形的底边都没有改变，
而三角形的高都平行于y轴或与y轴重合，因此它们的高相等，
故A，B，D中三组三角形的直观图是全等的.
而对于C，画成直观图之后，第一个三角形中，C到的距离变成原来的，
第二个三角形中，C到的距离保持不变，因此两个三角形的直观图不全等.
故选:C.
7．答案：D
解析：易知为直角三角形，且，，由勾股定理可得，
设角A的角平分线交BC于D，如下图所示：
根据角平分线性质知，
又因为，所以，，
所以，
故选：D.
8．答案：A
解析：根据斜二侧画法还原在直角坐标系的图形，如下图所示：
由图易得，故为等边三角形，故选A.
9．答案：ACD
解析：棱柱的侧面都是四边形，A不正确；正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B正确；不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，球不能展开成平面图形，C不正确；棱柱的各条棱并不是都相等，应该为棱柱的侧棱都相等，D不正确.故选ACD.
10．答案：ABCD
解析：对于A，如图四边形为矩形，所以A正确，
对于B，四面体的每个面都是等边三角形，所以B正确，
对于C，如图四面体的每个面都是直角三角形，所以C正确，
对于D，如图四面体的三个面是直角三角形、一个面是等边三角形，所以D正确，
故选：ABCD.
11．答案：ABC
解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得C选项中图形；当截面过正方体的体对角线时得B选项中图形；当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得A选项中图形；截面过球心时无法截出D选项中图形.故选ABC.
12．答案：7
解析：连接,以所在直线为旋转轴,将所在平面旋转到与平面重合,
设点的新位置为,连接,则有,如图所示.
当A,P,三点共线时,的长为的最小值,
因为,,所以.
又,所以是边长为的正三角形,.
又,所以,所以,
由勾股定理可得.
故为:7
13．答案：
解析：如图所示：
正四棱锥中，O为S在底面上的投影，设的中点为E，正四棱锥的底面边长为，，，则由题意①，在中，由勾股定理得②；由①，②消去h联立得，同除，得，设，则，解得，(舍去)，所以正四棱锥侧面底边上的高与底面边长的一半的比值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和,
因为四棱锥有5个顶点,5个面,分别为4个三角形和1个四边形,
所以任意四棱锥的总曲率为.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）9
解析：（2）设圆台的母线长为y，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x，4x，
根据相似三角形的性质得，，解得.
因此，圆台的母线长为9.
16．答案：相交；相交
解析：
17．答案：平行；垂直；平行
解析：
18．答案：见解析
解析：圆台中任意两条母线都相交，任意一条母线与底面都相交，两个底面相互平行.
19．答案：4
解析：圆台的轴截面如图所示，
其中，，，为高，
过作于H，则.
在中，，，
.
故圆台的高为4.
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