6.5垂直关系——高一数学北师大版（2019）必修第二册课时作业（含解析）

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垂直关系——高一数学北师大版（2019）必修第二册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．在正六棱柱中，，为棱的中点，则以O为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为( )
A. B. C. D.
2．如图，已知正四棱台中，，，，点M，N分别为，的中点，则下列平面中与垂直的平面是( )
A.平面 B.平面DMN C.平面ACNM D.平面
3．已知平面，满足，且，不垂直，直线，那么下列命题中错误的是( )
A.对任意直线，都有 B.存在直线，使得
C.存在直线，使得 D.m与平面一定不垂直
4．如图，在四面体中，若，，E是AC的中点，则下列结论正确的是( )
A.平面平面ABD
B.平面平面BDC
C.平面平面BDE，且平面平面BDE
D.平面平面ADC，且平面平面BDE
5．已知，，为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则下列条件中一定能得到的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
6．如图，圆柱中，是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则( )
A.平面 B.平面
C.平面 D.平面
7．若l为一条直线，，，为三个互不重合的平面，给出下面三个结论：①，；②，；③，.其中正确的结论有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8．如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是( )
①平面平面PAD；
②平面平面PBC；
③平面平面PCD；
④平面平面PAC.
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,下列说法正确的是( )
A.平面EFH B.平面EFH C.平面AEH D.平面AEF
10．已知m,n是两条异面直线,,,是三个不同的平面,,,,,,则下列说法正确的是( )
A. B. C., D.
11．以下四个正方体中，满足平面CDE的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容,用“曲率”刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制）.例如,正四面体的每个顶点有3个面角,每个面角为,所以正四面体在各顶点的曲率为.在底面为矩形的四棱锥中,底面ABCD,,PC与底面ABCD所成的角为,在四棱锥中,顶点B的曲率为______.
13．如图，点P在正方体的面对角线上运动，有下面四个结论：①三棱锥的体积不变；②平面；③；④平面平面.
其中正确结论的序号是__________.（写出所有你认为正确结论的序号）
14．如图，正方体的棱长为1，过点A作平面的垂线，垂足为H，有下面三个结论：
①H是的中心；
②平面；
③直线与直线所成的角是.
其中正确结论的序号是___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在长方体的各面中，分别写出与下列直线垂直的平面.
（1）；
（2）AB；
（3）.
16．已知空间四边形ABCD中，，，且E是CD的中点，求证：平面平面ACD.
17．如图，已知AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C为圆上不同于A，B的任意一点.求证：平面PAC.
18．（例题）如图（1）所示，已知中，，是斜边BC上的高.如图（2）所示，以AD为折痕将折起，使为直角.在图（2）中，求证：
（1）平面平面BDC，平面平面BDC；
（2）.
19．求证：若3条直线OX，OY，OZ两两互相垂直，则3个平面XOY，YOZ，ZOX也两两互相垂直.
参考答案
1．答案：D
解析：因为球O的半径为2，所以球O不与侧面及侧面相交，连接，，，.由题得，.所以，所以球O与侧面交于点，C，与侧面交于点，E.由题易得，因为平面，平面.
所以，又，平面，
所以平面，即平面，且，又，.
所以球O与侧面的交线为以为直径的半圆，同理可得球O与侧面的交线为以为直径的半圆.由题易得，则球O与上底面及下底面的交线均为个半径为的圆.所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为.
故选：D.
2．答案：C
解析：延长，，，交于一点P，取PB中点Q，连接AQ，CQ，AC，如图所示，
因为棱台是正四棱台，所以为正四棱锥.
因为，，，且，
所以，即，解得，
所以，即为等边三角形.
因为Q为PB中点，所以，且，同理可得.
因为，所以，即.
因为M，N分别为，的中点，所以，
故，.
因为，，所以，，所以，.
因为，，所以M在AQ上，N在CQ上.
因为，，所以，，即，.
因为平面，平面，，所以平面ACNM.故选C.
3．答案：C
解析：由可知m与内任意一条直线都垂直，故A正确；由，，可知且，所以当且时，，故B正确；由，相交且不垂直，，可得m与相交，故不存在直线，使，故C错误；若m与垂直，则，这与矛盾，所以m与一定不垂直，故D正确.故选C.
4．答案：C
解析：因为，且E是AC的中点，所以，同理有，于是平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面平面BDE.又由于平面ACD，所以平面平面BDE.故选C.
5．答案：C
解析：在选项A中，，，，则和m可能平行或相交，故A错误；在选项B中，，，，则m与相交或或，故B错误；在选项C中，因为，，所以，又，所以，故C正确；在选项D中，由，，不能推出，所以由不能推出，故D错误.故选C.
6．答案：A
解析：对于A，依题意得平面，平面ABC，所以.
因为AB是底面圆的直径，所以，
又，平面，所以平面，故A正确；
对于B，显然BC与AB不垂直，则BC不可能垂直于平面，故B错误；
对于C，显然AC与不垂直，则AC不可能垂直于平面，故C错误；
对于D，显然AC与AB不垂直，则AC不可能垂直于平面，故D错误.故选A.
7．答案：C
解析：结论②③正确，①中，可能平行，也可能相交.
8．答案：A
解析：平面，平面，.又正方形ABCD中，，，平面PAB，平面，平面平面PBC，②正确.
同理平面，平面PAD，
平面平面PAB，①正确.
设平面平面，，平面，平面，平面，.又易得平面PAD，平面PAD，P为垂足，为二面角的平面角，若平面平面PCD，则，在中不可能存在，③错误.
，，为二面角的平面角，若平面平面PAC，则，在中不可能存在，④错误.故选A.
9．答案：BC
解析：由题意可得：,.
⊥平面EFH,而AG与平面EFH不垂直.B正确,A不正确.
又,平面AHE,C正确
HG与AG不垂直,因此平面AEF不正确.D不正确.
故选：BC.
10．答案：CD
解析：A,B选项无法确定.因为,,,,
所以,,C选项正确.由题可知,,且m,n是两条异面直线,则,D选项正确.
11．答案：BD
解析：对A，，，与CE所成角为，故AB与平面CDE不垂直，故A错误；
对B，在正方体中，平面ABD，平面ABD，所以，又，，DE，平面CDE，所以平面CDE，故B正确；
对C，连接AF，BF，如图，
在正方体中，由正方体面上的对角线相等可知，为正三角形，所以，又，AB与CE所成的角为，所以AB与平面CDE不垂直，故C不正确；
对D，连接MB，BN，如图，
因为平面CMEB，平面CMEB，所以，又，
，BM，平面AMB，所以平面AMB，又平面AMB，所以，同理可得，再由，EC，平面ECD，所以平面CDE，故D正确.
故选：BD
12．答案：
解析：如图,连接AC,因为底面ABCD,
所以为PC与底面ABCD所成的角,则,所以.又,在矩形ABCD中,,则,所以.因为底面ABCD,所以,又,,所以平面PAB,所以,所以顶点B的曲率为.
13．答案：①②④
解析：连接，（图略）.因为，，所以四边形是平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面.同理可证平面.又因为平面，平面，且，所以平面平面.因为平面，所以平面，故②正确.
因为，所以平面，所以点P到平面的距离不变.又因为，所以三棱锥的体积不变，故①正确.
连接，（图略）.因为，所以当P为的中点时才有，故③错误.
因为平面，平面ABCD，所以.又因为，，所以平面.因为平面，所以.同理可证.又因为平面，平面，，所以平面.又因为平面，所以平面平面，故④正确.
14．答案：①②③
解析：连接，，（图略）.因为，平面，所以，所以.又因为是等边三角形，所以H是的中心，所以①正确.
因为，，，，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面.同理可证平面.又因为，所以平面平面.又因为平面，所以平面，所以②正确.
连接，（图略）.因为四边形是正方形，所以.因为平面，平面，所以.又因为，所以平面.又因为平面，所以，所以直线与所成的角是，所以③正确.
15．答案：（1）平面，平面ABCD
（2）平面，平面
（3）平面，平面
解析：
16．答案：证明见解析
解析：证明：因为，E为CD的中点，
所以.同理，.
又，所以平面ABE.
又平面ACD，
所以平面平面ACD.
17．答案：证明见解析
解析：证明：因为平面，平面ABC，所以.
因为AB是圆的直径，所以.
因为，
所以平面PAC.
18．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：由已知有，，
因此在图（2）中，有平面BDC.
又因为平面ABD，所以平面平面BDC.
同理，平面平面BDC.
（2）因为，所以在图（1）中，有.
从而.
因此图（2）中是等腰直角三角形，
所以
从而，所以.
19．答案：证明见解析
解析：证明：因为，，且，
所以平面YOZ.
又因为平面XOY，所以平面平面YOZ.
同理，平面平面ZOX，平面平面ZOX.
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