2.5从力的做功到向量的数量积——高一数学北师大版（2019）必修第二册课时作业（含解析）

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从力的做功到向量的数量积——高一数学北师大版（2019）必修第二册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知，均为单位向量.若，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
2．已知向量，，若，则实数m的值是( )
A. B.2 C. D.
3．已知向量,为单位向量,且满足,若,则( )
A. B. C. D.
4．已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
5．已知非零向量，满足，则与的夹角的余弦值是( )
A. B. C. D.
6．已知单位圆O上有两点A,B,,设向量,,若,则实数n的值为( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
7．已知向量,,若,则实数( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
8．两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．关于平面向量，，，下列说法不正确的是( )
A.
B.
C.若，且，则
D.
10．下列说法中错误的是( )
A.若，，则 B.
C.若，则 D.
11．若,是平面内两个不共线的向量,则下列说法不正确的是( )
A.可以表示平面内的所有向量
B.对于平面中的任一向量a,使的实数,有无数多对
C.若存在实数,,使,则
D.均为实数,且向量与共线,则有且只有一个实数,使
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知正六边形ABCDEF的边长为2，则_________.
13．若，是两个不共线的单位向量，则向量与的夹角是_________
14．在菱形中，，，E，F分别为，的中点，则________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知，，，求证：.
16．已知，，，求.
17．当a，b，c都是向量时，是否成立？为什么？
18．求证：.
19．（例题）求证：
（1）；
（2）.
参考答案
1．答案：D
解析：由，
可得，所以，
则在上的投影向量为.
故选：D
2．答案：B
解析：，，，，.故选B.
3．答案：C
解析：
4．答案：D
解析：因为，所以，
，，
则，
解得.
故选：D.
5．答案：B
解析：由于，
故，
故，
所以，
故，
故选：B
6．答案：B
解析：由题可得,,,
因为,,且,
所以,,解得.
故选：B.
7．答案：C
解析：由题意可知,且,
所以,解得.
故选：C.
8．答案：A
解析：由于,,
由于斜面与地面所成的坡度角为，故，
故，
故
，
因此,
故选：A
9．答案：CD
解析：对于A、B，根据向量的运算法则，及分配律，易知A、B正确；
对于C，当,反向且都与垂直时满足题设，但，故C错误；
对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，故D错误.
故选：CD.
10．答案：ABC
解析：A：当时，与关系不确定，故A错误；B：两个向量之积为常数，，，的方向不一定相同，故B错误；C：向量运算没有除法，故C错误；D：正确.故选ABC.
11．答案：BD
解析：由题意可知:,可以看成一组基底向量,根据平面向量基本定理可知:A,C正确,B不正确;对于D,当时,则,此时任意实数均有,故D不正确.故选BC.
12．答案：
解析：由题意，作图如下：
在正六边形中，易知，，，，
则与的夹角为，即，
在中，，
.
故答案为：.
13．答案：
解析：由于和是不共线的单位向量，因此它们之间的夹角不为0或.
计算.
根据向量数量积的定义，两个向量数量积为0，意味着它们互相垂直.
因此，向量和的夹角为.
14．答案：6
解析：如图：
由题意，得，，
，
故答案为：6.
15．答案：证明见解析
解析：，，
，
.
16．答案：
解析：
.
17．答案：不一定成立，理由见解析
解析：不一定成立.
表示一个与c共线的向量，
而表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.
18．答案：证明见解析
解析：右边左边.
.
19．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：
.
（2）证明：
.
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