2.3从速度的倍数到向量的数乘——高一数学北师大版（2019）必修第二册课时作业（含解析）

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从速度的倍数到向量的数乘——高一数学北师大版（2019）必修第二册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．直线的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
2．如图，在中，D是延长线上一点，且，则( )
A. B.
C. D.
3．在四面体中，E为棱的中点，则( )
A. B. C. D.
4．若直线l的方向向量为,且过点,则直线l的方程为( )
A. B.
C. D.
5．如图，矩形中，点E是线段上靠近A的三等分点，点F是线段的中点，则( )
A. B.
C. D.
6．如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是，的中点，若，则( )
A. B. C. D.
7．如图，在中，满足条件，，若，则( )
A.8 B.4 C.2 D.
8．已知点O是的重心，过点O的直线与边，分别交于M，N两点，D为边的中点.若，则( )
A. B. C.2 D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在平行六面体中，若所在直线的方向向量为，则所在直线的方向向量可能为( )
A. B. C. D.
10．下列命题中，不正确的是( )
A.有相同起点的两个非零向量不共线
B.“”的充要条件是且
C.若与共线，与共线，则与共线
D.向量与不共线，则与都是非零向量
11．下列结论中正确的有( )
A.对于实数m和向量,,恒有
B.对于实数m,n和向量,恒有
C.对于实数m和向量,,若,则
D.对于实数m,n和向量,若,则
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．如图，四边形是边长为1的正方形，延长至E，使得.动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为________.
13．已知直线l的一个方向向量为,则直线l的斜率为______________.
14．已知点M在平面内，O为空间内任意一点，若，则__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知，.求证：M，P，Q三点共线.
16．（例题）如图所示，已知，，求证：.
17．（例题）化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
18．（例题）已知M为线段AB的中点，且O为任意一点，求证：.
19．（例题）化简：.
参考答案
1．答案：B
解析：直线的斜率为,因此l的一个方向向量为,
而向量,则是直线l的一个方向向量,B是;
其余选项所给向量与向量都不共线,ACD不是.
故选:B
2．答案：B
解析：.
故选：B.
3．答案：A
解析：，
故选:A
4．答案：A
解析：因直线l的方向向量为,则直线l的斜率
于是直线l的方程为,即.
故选：A.
5．答案：A
解析：依题意①，
②，③，
由②③式解得，，
代入①式得.
故选：A.
6．答案：A
解析：由图可知，，
所以，
解得，则.
故选：A.
7．答案：A
解析：因为，，，
所以，
即，又，
所以，，故.
故选：A.
8．答案：A
解析：如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以，
所以，即，
因为M，O，N三点共线，可得，所以.
故选：A.
9．答案：BC
解析：由已知可得，故它们的方向向量共线，
对于B选项，，满足题意；
对于C选项，，满足题意；
由于A、D选项不满足题意.
故选：BC.
10．答案：ABC
解析：A.有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线，因此A错；
B.充要条件是且方向相同，因此B错；
C.当时，不成立，因此C错；
D.向量与不共线，则与都是非零向量，D对.
故选ABC.
11．答案：AB
解析：由数乘向量运算律,得A,B均正确;
对于C,若,则,未必一定有,错误;
对于D,若,由,未必一定有,错误.
故选:AB.
12．答案：
解析：建立如图所示的平面直角坐标系：
则，，所以，
当时，有，即，，
此时的取值范围为，
当时，有，即，
此时的取值范围为，
当时，有，即，
此时的取值范围为，
当时，有，即，
此时的取值范围为，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
13．答案：-5
解析：由题意可知,直线l的斜率为.
故答案为：-5.
14．答案：
解析：由，
得，
即．
因为点M在平面内，
所以，得．
故答案为：.
15．答案：证明见解析
解析：因为，，则有，
因此，而与有公共点P，
所以M，P，Q三点共线.
16．答案：证明见解析
解析：证明：由已知得
.
17．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
（4）原式
.
18．答案：证明见解析
解析：证明：由M为线段AB的中点可知，
因此，
从而有，即.
19．答案：
解析：原式
.
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