2.1 三角函数的图象与性质(学生版+教师版)--2025年高考数学二轮复习学案

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名称 2.1 三角函数的图象与性质(学生版+教师版)--2025年高考数学二轮复习学案
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2025-03-08 08:34:53

文档简介

/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学
专题2 三角函数的图象与性质
2.1 三角函数的图象与性质综合运用
考点分布 考查频率 命题趋势
同角三角函数基本关系式 2024年甲卷第8题,5分 2023年甲卷第7题,5分 2023年乙卷第14题,5分 2025年新高考三角函数考查重点:一是同角三角函数基本关系及诱导公式,需复习三角函数定义,题型为选择或填空,难度适中;二是三角恒等变换,注重公式变形、应用及最值问题,同样以选择或填空形式出现,难度为基础至中档;三是三角函数的图象、性质及恒等变换,组合考查为热点,题型灵活,既可为基础或中档题,也可能成为压轴题。考生需全面掌握三角函数相关知识,灵活运用,以应对高考挑战。
三角恒等变换 2024年I卷第4题,5分 2024年II卷第13题,5分 2024年北京卷第12题,5分 2023年II卷第7题,5分 2023年I卷第8题,5分 2022年II卷第6题,5分
三角函数的图像与性质 2024年I卷第7题,5分 2024年II卷第6、9题,11分 2024年天津卷第7题,5分 2024年北京卷第6题,5分 2023年天津卷第5题,5分 2023年甲卷第10题,5分 2023年乙卷第6题,5分 2023年I卷第15题,5分 2023年II卷第16题,5分
三角函数的图象与性质在高考中占据重要地位,是考查的重点和热点。高考对这部分内容的考查主要集中在三个方面:
1)三角函数的图象方面,这包括图象的变换问题以及根据图象来确定三角函数的解析式。这类问题通常以选择题和填空题的形式出现,考查学生对图象变换和解析式确定的理解和掌握。
2)三角函数的性质应用方面,这涉及利用三角函数的性质来求解三角函数的值、参数、最值、值域以及单调区间等问题。这类问题通常以解答题的形式出现,要求学生能够灵活运用三角函数的性质来解决问题。
3)三角恒等变换的求值和化简也是高考命题的热点之一。这部分内容既可以单独命题,以选择题或填空题的形式呈现,难度相对较低;也可以作为工具,与三角函数及解三角形相结合,求解最值、范围等问题,这时多以解答题的形式出现,难度适中。
1.(2024新高考Ⅰ卷)当时,曲线与的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
2.(2024新高考Ⅰ卷)已知,则( )
A. B. C. D.
3.(2024新高考Ⅱ卷)设函数,,当时,曲线与恰有一个交点,则( )
A. B. C.1 D.2
4.(多选题)(2024新高考Ⅱ卷)对于函数和,下列说法中正确的有( )
A.与有相同的零点 B.与有相同的最大值
C.与有相同的最小正周期 D.与的图象有相同的对称轴
5.(2024新高考Ⅱ卷)已知为第一象限角,为第三象限角,,,则 .
6.(2024全国甲卷(理))已知,则( )
A. B. C. D.
7.(2024全国甲卷(文))函数在上的最大值是 .
8.(2024北京卷)设函数.已知,,且的最小值为,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2024天津卷)已知函数的最小正周期为.则在区间上的最小值是( )
A. B. C.0 D.
10.(2024北京卷)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于原点对称.若,则的最大值为 .
11.(2023新高考Ⅱ卷)已知为锐角,,则  
A. B. C. D.
12.(2023新高考Ⅰ卷)已知,,则  
A. B. C. D.
13.(2023全国乙卷)已知函数在区间,单调递增,直线和为函数的图像的两条对称轴,则  
A. B. C. D.
14.(2022新高考Ⅱ卷)若,则  
A. B. C. D.
15.(2023北京卷)设函数.
(1)若,求的值.(2)已知在区间上单调递增,,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数存在,求的值.
条件①:;条件②:;条件③:在区间上单调递减.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
高频考点一 齐次化模型
核心知识:
齐次分式:分子分母的正余弦次数相同,例如:(一次显型齐次化)
或者(二次隐型齐次化)
这种类型题,分子分母同除以(一次显型)或者(二次隐型),构造成的代数式,这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到。
典例1:(2024·陕西安康·三模)已知,则( )
A.6 B. C. D.2
变式训练
1.(2024·高三·江西宜春·期末)已知,则( )
A.1 B. C.2 D.
2.(2024·陕西宝鸡·校联考模拟预测)若,则( )
A. B. C. D.
3.(2024·陕西汉中·高三校联考阶段练习)若,则( )
A. B. C. D.
高频考点2 辅助角与最值问题
核心知识:
第一类:一次辅助角:=.(其中)
第二类:二次辅助角
典例1:(2024·上海杨浦·高三校考期中)已知函数,当取得最大值时, .
变式训练:
1.(2024·高三·山东临沂·期中)已知关于x的方程有解,则的最小值为 .
2.(2024·高三·江苏苏州·开学考试)设角、均为锐角,则的范围是 .
高频考点3 与三角函数有关的最值问题
核心知识:
三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型,我们将其分为三类,第一类是最简单的,就是,与之间的二次函数关系,第二类则有一点隐藏,就是与之间的关系,第三类则是与之间的关系.
三角函数最值问题,一直是高考中的难点与重点。这类题目常融合三角恒等变换,结合函数、导数与不等式,求解不易。通常,处理三角函数最值问题,可采用以下策略:化一简化法、变量替换法(换元)、主元突出法、图形与数值结合法,以及导数求极值法。
典例1:(2024·河南·高三校联考阶段练习)函数的最小值是( )
A. B. C. D.
典例2:(2025 山东高考模拟预测)已知函数,则的最小值是 .
变式训练:
1.(2024·广东·高三校联考阶段练习)函数的最大值为( )
A. B.3 C. D.4
2.(2024·江苏·高三校联考)已知,求的最大值 .
高频考点4 绝对值与三角函数综合模型
核心知识:
关于和,如图,将图像中轴上方部分保留,轴下方部分沿着轴翻上去后得到,故是最小正周期为的函数,同理是最小正周期为的函数;是将图像中轴右边的部分留下,左边的删除,再将轴右边图像作对称至左边,故不是周期函数.我们可以这样来表示:,
典例1:(2024·安徽·高三校联考阶段练习)已知函数,则下列说法正确的是( )
A.的最小正周期为 B.的最小值为
C. D.在上有解
变式训练:
1.(2024·上海宝山·高三校考开学考试)已知,给出下述四个结论:①是偶函数; ②在上为减函数;③在上为增函数; ④的最大值为.其中所有正确结论的编号是( )
A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①④
2.(2024·云南昆明·高三校考阶段练习)关于函数有下述四个结论:
①是偶函数;②在区间上单调;③函数的最大值为M,最小值为m,则;
④若,则函数在上有4个零点.其中所有正确结论的编号是( )
A.①④ B.①③ C.②④ D.①②③
高频考点5 三角函数的综合性质
核心知识:
三角函数的综合性质解题,关键在于掌握其基本关系、图像变换及周期性。解题时,先识别函数类型,利用诱导公式化简,再结合图像分析性质,如单调性、最值等。最后,灵活运用三角函数公式求解,注意计算准确性。
典例1:(多选题)(2024·重庆·校考一模)函数的图象向左平移个单位长度后与原图象关于轴对称,则下列结论一定正确的是( )
A. B.的一个周期是 C.是偶函数 D.在上单调递减
变式训练:
1.(多选题)已知函数,若,且,则函数的最小正周期可能是( )
A. B. C. D.
2.(多选题)已知函数,若及其导函数的部分图象如图所示,则( )
A. B.函数在上单调递减
C.的图象关于点中心对称 D.的最大值为
高频考点6 w的取值与范围问题
核心知识:已知函数
1、在区间内没有零
同理,在区间内没有零点
2、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
3、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心,由于对称轴和对称中心的水平距离为,则.
5、已知单调区间,则.
典例1:(2024·四川成都·高三校考阶段练习)已知,记().若函数在上单调递减,则实数的取值范围是( )
A.3 B. C. D.
变式训练:
1.(2024·四川泸州·统考一模)已知函数在上存在最值,且在上单调,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.(2024·河南·高三校联考阶段练习)已知函数在上存在最值,且在上单调,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
高频考点7 换元法配凑角
核心知识:三角函数“凑角拆角”问题,常规配凑解法繁琐。采用换元法,可简化步骤,快速求解。
典例1:已知,则 .
变式训练:
1.若,则 .
2.设,若,则的值为 .
高频考点8 三倍角公式
核心知识:
三倍角公式: (1) .
(2) .
(3) .
典例1:若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是 .
变式训练:
1.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”,他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.黄金分割比,现给出三倍角公式和二倍角角公式,则t与的关系式正确的为( )
A. B. C. D.
2.已知为锐角,且.则 .
1.(2024·湖北武汉·模拟预测)设,已知函数在上恰有6个零点,则取值范围为( )
A. B. C. D.
2.(2024·湖北荆州·三模)已知,则的值为( )
A. B. C. D.
3.(2024·江苏南通·模拟预测)已知,,,则( )
A. B. C. D.
4.(2024·福建泉州·二模)若,且与存在且唯一,则( )
A.2 B.4 C. D.
5.(2024·河北衡水·三模)已知,则m,n的关系为( )
A. B. C. D.
6.(2024·广东茂名·一模)已知,则( )
A. B. C. D.
7.(2024·海南·校联考模拟预测)已知,则( )
A.0 B.4 C. D.0或4
8.(2024·北京·高三强基计划)在中,的最大值是( )
A. B. C.2 D.
9.(2024·福建·一模)关于函数有下述四个结论:
①是偶函数;②在区间上是增函数;③的最大值为2;④的周期为.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①② B.①④ C.①③④ D.②③④
10.关于函数,其中有下述四个结论:
①是偶函数; ②在区间上是严格增函数;
③在有3个零点; ④的最小正周期为.其中所有正确结论的编号是( ).
A.①② B.②④ C.①④ D.①③
11.(2024·北京·高三校考开学考试)已知函数在上恰有4个不同的零点,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.(2024·湖北·高三校联考)已知在上的最小值为,则的解有( )个
A.1 B.2 C.3 D.4
13.(2024·新疆·三模)已知,若函数在区间上有且只有个零点,则的范围为( )
A. B. C. D.
14.(2024·高三·福建厦门·期中)若直线是曲线的一条对称轴,且函数在区间上不单调,则的最小值为( )
A.7 B.9 C.11 D.15
15.(2022·全国·高考真题)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
16.(多选题)(2024·福建泉州·二模)已知函数,则( )
A.在上的最大值为 B.为偶函数
C.为奇函数 D.在上单调递减
17.(多选题)(2024·湖南衡阳·三模)已知函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.函数的最小正周期为 B.
C.函数在上单调递增 D.方程的解为,
18.(多选题)(2024·湖北襄阳·二模)已知函数,将函数的图像横坐标缩短为原来的倍,再向左平移单位,得到函数.则下列结论中正确的是( )
A.为偶函数 B.不等式的解集为
C.在上单调递增 D.函数在的零点为且,则
19.(多选题)已知函数,则( )
A.是的一个周期 B.是的一条对称轴
C.的值域为 D.在上单调递减
20.(多选题)已知函数的最小正周期为,其图象关于直线对称,且对于恒成立,则( )
A.函数为偶函数 B.当时,的值域为
C.将函数的图象向右平移个单位长度后可得函数的图象
D.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到的函数图象关于点对称
21.(多选题)已知函数(,)图象的两条对称轴间距离的最小值为,且为的一个零点,则( )
A.的最小正周期为 B. C.在上单调递增
D.当时,曲线与直线的所有交点的横坐标之和为
22.(多选题)设函数的最小正零点为,则( )
A.的图象过定点 B.的最小正周期为
C.是等比数列 D.的前项和为
23.(2024·湖北·二模)已知函数(,)的最小正周期为T,,若在内恰有10个零点则的取值范围是 .
24.(2024·江苏徐州·高三校考阶段练习)若,,则 .
25.(2024·天津河西·高三校考期末)已知直线的一个方向向量为,倾斜角为,则 .
26.若函数在处取得最大值,则 .
27.(2024·高三·江西萍乡·期中)设,且,则实数的取值范围是 .
28.已知,则的最大值为 .
29.已知,且,则 .
30.已知,,则 .
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专题2 三角函数的图象与性质
2.1 三角函数的图象与性质综合运用
考点分布 考查频率 命题趋势
同角三角函数基本关系式 2024年甲卷第8题,5分 2023年甲卷第7题,5分 2023年乙卷第14题,5分 2025年新高考三角函数考查重点:一是同角三角函数基本关系及诱导公式,需复习三角函数定义,题型为选择或填空,难度适中;二是三角恒等变换,注重公式变形、应用及最值问题,同样以选择或填空形式出现,难度为基础至中档;三是三角函数的图象、性质及恒等变换,组合考查为热点,题型灵活,既可为基础或中档题,也可能成为压轴题。考生需全面掌握三角函数相关知识,灵活运用,以应对高考挑战。
三角恒等变换 2024年I卷第4题,5分 2024年II卷第13题,5分 2024年北京卷第12题,5分 2023年II卷第7题,5分 2023年I卷第8题,5分 2022年II卷第6题,5分
三角函数的图像与性质 2024年I卷第7题,5分 2024年II卷第6、9题,11分 2024年天津卷第7题,5分 2024年北京卷第6题,5分 2023年天津卷第5题,5分 2023年甲卷第10题,5分 2023年乙卷第6题,5分 2023年I卷第15题,5分 2023年II卷第16题,5分
三角函数的图象与性质在高考中占据重要地位,是考查的重点和热点。高考对这部分内容的考查主要集中在三个方面:
1)三角函数的图象方面,这包括图象的变换问题以及根据图象来确定三角函数的解析式。这类问题通常以选择题和填空题的形式出现,考查学生对图象变换和解析式确定的理解和掌握。
2)三角函数的性质应用方面,这涉及利用三角函数的性质来求解三角函数的值、参数、最值、值域以及单调区间等问题。这类问题通常以解答题的形式出现,要求学生能够灵活运用三角函数的性质来解决问题。
3)三角恒等变换的求值和化简也是高考命题的热点之一。这部分内容既可以单独命题,以选择题或填空题的形式呈现,难度相对较低;也可以作为工具,与三角函数及解三角形相结合,求解最值、范围等问题,这时多以解答题的形式出现,难度适中。
1.(2024新高考Ⅰ卷)当时,曲线与的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
【答案】C
【解析】因为函数的最小正周期为,函数的最小正周期为,
所以在上函数有三个周期的图象, 在坐标系中结合五点法画出两函数图象,
如图所示:
由图可知,两函数图象有6个交点.故选:C
2.(2024新高考Ⅰ卷)已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为,所以,
而,所以,故即,
从而,故,故选:A.
3.(2024新高考Ⅱ卷)设函数,,当时,曲线与恰有一个交点,则( )
A. B. C.1 D.2
【答案】D
【解析】解法一:令,即,可得,
令,原题意等价于当时,曲线与恰有一个交点,
注意到均为偶函数,可知该交点只能在y轴上,可得,即,解得,
若,令,可得
因为,则,当且仅当时,等号成立,
可得,当且仅当时,等号成立,
则方程有且仅有一个实根0,即曲线与恰有一个交点,
所以符合题意;综上所述:.
解法二:令,原题意等价于有且仅有一个零点,
因为,则为偶函数,
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0,即,解得,
若,则,又因为当且仅当时,等号成立,
可得,当且仅当时,等号成立,即有且仅有一个零点0,所以符合题意;故选:D.
4.(多选题)(2024新高考Ⅱ卷)对于函数和,下列说法中正确的有( )
A.与有相同的零点 B.与有相同的最大值
C.与有相同的最小正周期 D.与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】A选项,令,解得,即为零点,
令,解得,即为零点,显然零点不同,A选项错误;
B选项,显然,B选项正确;
C选项,根据周期公式,的周期均为,C选项正确;
D选项,根据正弦函数的性质的对称轴满足,
的对称轴满足,
显然图像的对称轴不同,D选项错误. 故选:BC
5.(2024新高考Ⅱ卷)已知为第一象限角,为第三象限角,,,则 .
【答案】
【解析】法一:由题意得,
因为,,则,,又因为,
则,,则,
则,联立 ,解得.
法二: 因为为第一象限角,为第三象限角,则,
,,

故答案为:.
6.(2024全国甲卷(理))已知,则( )
A. B. C. D.
【解析】因为,所以,,
所以,故选:B.
7.(2024全国甲卷(文))函数在上的最大值是 .
【答案】2
【解析】,当时,,
当时,即时,.故答案为:2
8.(2024北京卷)设函数.已知,,且的最小值为,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】由题意可知:为的最小值点,为的最大值点,
则,即,且,所以.故选:B.
9.(2024天津卷)已知函数的最小正周期为.则在区间上的最小值是( )
A. B. C.0 D.
【答案】D
【解析】因为函数的最小正周期为,则,所以,
即,当时,,
所以当,即时,故选:D
10.(2024北京卷)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于原点对称.若,则的最大值为 .
【答案】/
【解析】由题意,从而,
因为,所以的取值范围是,的取值范围是,
当且仅当,即时,取得最大值,且最大值为.故答案为:.
11.(2023新高考Ⅱ卷)已知为锐角,,则  
A. B. C. D.
【答案】
【解析】,则,故,
即,为锐角,,.故选:.
12.(2023新高考Ⅰ卷)已知,,则  
A. B. C. D.
【答案】
【解析】因为,,所以,
所以,则.
故选:.
13.(2023全国乙卷)已知函数在区间,单调递增,直线和为函数的图像的两条对称轴,则  
A. B. C. D.
【答案】
【解析】根据题意可知,,取,,
又根据“五点法“可得,,,,
,.故选:.
14.(2022新高考Ⅱ卷)若,则  
A. B. C. D.
【答案】
【解析】解法一:因为,
所以,即,
所以,所以,
所以,所以,,所以,所以.
解法二:由题意可得,,
即,
所以,故.故选:.
15.(2023北京卷)设函数.
(1)若,求的值.(2)已知在区间上单调递增,,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数存在,求的值.
条件①:;条件②:;条件③:在区间上单调递减.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
【解析】(1)因为
所以,因为,所以.
(2)因为,
所以,所以的最大值为,最小值为.
若选条件①:因为的最大值为,最小值为,所以无解,故条件①不能使函数存在;
若选条件②:因为在上单调递增,且,
所以,所以,,所以,
又因为,所以,所以,
所以,因为,所以.所以,;
若选条件③:因为在上单调递增,在上单调递减,
所以在处取得最小值,即.以下与条件②相同.
高频考点一 齐次化模型
核心知识:
齐次分式:分子分母的正余弦次数相同,例如:(一次显型齐次化)
或者(二次隐型齐次化)
这种类型题,分子分母同除以(一次显型)或者(二次隐型),构造成的代数式,这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到。
典例1:(2024·陕西安康·三模)已知,则( )
A.6 B. C. D.2
【答案】C
【解析】故选:C.
变式训练
1.(2024·高三·江西宜春·期末)已知,则( )
A.1 B. C.2 D.
【答案】D
【解析】由题意若,则,不符合题意,
所以,
即,解得,故选:D
2.(2024·陕西宝鸡·校联考模拟预测)若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,则.
故选:C.
3.(2024·陕西汉中·高三校联考阶段练习)若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.故选:B
高频考点2 辅助角与最值问题
核心知识:
第一类:一次辅助角:=.(其中)
第二类:二次辅助角
典例1:(2024·上海杨浦·高三校考期中)已知函数,当取得最大值时, .
【答案】
【解析】由函数,其中,
当取得最大值,则,解得,
此时. 故答案为:.
变式训练:
1.(2024·高三·山东临沂·期中)已知关于x的方程有解,则的最小值为 .
【答案】/
【解析】由,其中,
则,可得,即,
两边平方化简可得,因此,
由,则,当且仅当时,等号成立. 故答案为:.
2.(2024·高三·江苏苏州·开学考试)设角、均为锐角,则的范围是 .
【答案】
【解析】因为角、均为锐角,所以的范围均为,
所以,
所以
因为,所以,

当且仅当时取等,令,,,
所以.
则的范围是:.故答案为:
高频考点3 与三角函数有关的最值问题
核心知识:
三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型,我们将其分为三类,第一类是最简单的,就是,与之间的二次函数关系,第二类则有一点隐藏,就是与之间的关系,第三类则是与之间的关系.
三角函数最值问题,一直是高考中的难点与重点。这类题目常融合三角恒等变换,结合函数、导数与不等式,求解不易。通常,处理三角函数最值问题,可采用以下策略:化一简化法、变量替换法(换元)、主元突出法、图形与数值结合法,以及导数求极值法。
典例1:(2024·河南·高三校联考阶段练习)函数的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意,函数,
令,则,当,即时,,
所以函数的最小值是. 故选:D
典例2:(2025 山东高考模拟预测)已知函数,则的最小值是 .
【答案】
【解析】[方法一]: 【通性通法】导数法

令,得,即在区间内单调递增;
令,得,即在区间内单调递减.
则.故答案为:.
[方法二]: 三元基本不等式的应用
因为,
所以

当且仅当,即时,取等号.
根据可知,是奇函数,于是,此时.故答案为:.
[方法三]: 升幂公式+多元基本不等式
,,
当且仅当,即时,.
根据可知,是奇函数,于是.故答案为:.
[方法四]: 化同角+多元基本不等式+放缩

当且仅当时等号成立.故答案为:.
[方法五]:万能公式+换元+导数求最值
设,则可化为,
当时,;当时,,对分母求导后易知,
当时,有最小值.故答案为:.
[方法六]: 配方法

当且仅当即时,取最小值.故答案为:.
[方法七]:【最优解】周期性应用+导数法
因为,所以,
即函数的一个周期为,因此时,的最小值即为函数的最小值.
当时,,
当时, 因为
,令,解得或,由,,,所以的最小值为.故答案为:.
变式训练:
1.(2024·广东·高三校联考阶段练习)函数的最大值为( )
A. B.3 C. D.4
【答案】C
【解析】根据题意,设,则,
则原函数可化为,,所以当时,函数取最大值.故选:C.
2.(2024·江苏·高三校联考)已知,求的最大值 .
【答案】
【解析】∵,且,
∴,即,
所以,设,
由.故的最大值为.故答案为:
高频考点4 绝对值与三角函数综合模型
核心知识:
关于和,如图,将图像中轴上方部分保留,轴下方部分沿着轴翻上去后得到,故是最小正周期为的函数,同理是最小正周期为的函数;是将图像中轴右边的部分留下,左边的删除,再将轴右边图像作对称至左边,故不是周期函数.我们可以这样来表示:,
典例1:(2024·安徽·高三校联考阶段练习)已知函数,则下列说法正确的是( )
A.的最小正周期为 B.的最小值为
C. D.在上有解
【答案】D
【解析】,是以为周期的函数,
当时,,则,
,∴函数的最小正周期为,函数的最小值为1,故AB错误,
由,故C错误;
由,∴在上有解,故D正确.故选:D.
变式训练:
1.(2024·上海宝山·高三校考开学考试)已知,给出下述四个结论:①是偶函数; ②在上为减函数;③在上为增函数; ④的最大值为.其中所有正确结论的编号是( )
A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①④
【答案】D
【解析】对于①,易得的定义域为,关于原点对称,
因为
,所以是偶函数,故正确;
对于②和③,因为,

且,所以在不是减函数,在也不是增函数,故②,③错误;
对于④,当时,,
因为,所以,
所以,所以;
当时,
因为,所以,所以;
当时,;
当时
因为,所以,所以,
所以,综上所述,当时,的最大值为,由于为偶函数,所以当时,的最大值也为,故的最大值为,故④正确;故选:D
2.(2024·云南昆明·高三校考阶段练习)关于函数有下述四个结论:
①是偶函数;②在区间上单调;③函数的最大值为M,最小值为m,则;
④若,则函数在上有4个零点.其中所有正确结论的编号是( )
A.①④ B.①③ C.②④ D.①②③
【答案】A
【解析】由,可知为偶函数,①对.
由,得关于对称;
由,得的周期为;当时,
其中且;作出在上的图象,并根据的对称性及周期性作出的大致图象.
由图可知,在上单调递增,在上单调递减,所以在上不单调,②错;
的最大值,最小值,故,③错;
若,则在上有4个零点,④对,故选:A.
高频考点5 三角函数的综合性质
核心知识:
三角函数的综合性质解题,关键在于掌握其基本关系、图像变换及周期性。解题时,先识别函数类型,利用诱导公式化简,再结合图像分析性质,如单调性、最值等。最后,灵活运用三角函数公式求解,注意计算准确性。
典例1:(多选题)(2024·重庆·校考一模)函数的图象向左平移个单位长度后与原图象关于轴对称,则下列结论一定正确的是( )
A. B.的一个周期是 C.是偶函数 D.在上单调递减
【答案】ABD
【解析】函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象,
由题意可得,即,
故,故,由于,故,故,
对于A,,A正确;
对于B,,即的一个周期是,B正确;
对于C,,
不妨取,此时,此时函数不是偶函数,即不是偶函数,C错误;
对于D,当时,,,
由于在上单调递减,故在上单调递减,D正确,故选:ABD
变式训练:
1.(多选题)已知函数,若,且,则函数的最小正周期可能是( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】的解析式经过辅助角公式变换可转化为正弦型,因为,
所以当时函数取得最小值,即直线是函数图象的一条对称轴,
又,所以,根据图象的对称性得到,
即,所以,
所以.
所以,解得,
则的最小正周期,,
当时,;当时,.验证得AD不符合题意,故选:BC.
2.(多选题)已知函数,若及其导函数的部分图象如图所示,则( )
A. B.函数在上单调递减
C.的图象关于点中心对称 D.的最大值为
【答案】AB
【解析】因为,所以,根据图象可知,当时,,所以单调递增,故,从而.又,所以,由得,
故,.
选项A:的最小正周期为,故,A正确.
选项B:令,解得,
故函数在上单调递减,B正确.
选项C:由于,,
故的图象不关于点中心对称,故C错误.
选项D:,
其中为锐角,且,(辅助角公式的应用),所以的最大值为,D错误.故选:AB
高频考点6 w的取值与范围问题
核心知识:已知函数
1、在区间内没有零
同理,在区间内没有零点
2、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
3、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心,由于对称轴和对称中心的水平距离为,则.
5、已知单调区间,则.
典例1:(2024·四川成都·高三校考阶段练习)已知,记().若函数在上单调递减,则实数的取值范围是( )
A.3 B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知,
函数的单调递减区间为,
则或,
由,解得,
而,故需满足,即,此时不存在;
由,解得,
则需满足,即,即,故,即,故选:C
变式训练:
1.(2024·四川泸州·统考一模)已知函数在上存在最值,且在上单调,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时,因为,则,
因为函数在上存在最值,则,解得,
当时,,
因为函数在上单调,则,
所以 其中,解得,所以,解得,
又因为,则.所以,.因此的取值范围是.故选:D.
2.(2024·河南·高三校联考阶段练习)已知函数在上存在最值,且在上单调,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,当时,因为,则,
因为函数在上存在最值,则,解得,
当时,,
因为函数在上单调,则,
所以 其中,解得,所以,解得,
又因为,则.当时,;当时,;
当时,.又因为2,因此的取值范围是.故选:B.
高频考点7 换元法配凑角
核心知识:三角函数“凑角拆角”问题,常规配凑解法繁琐。采用换元法,可简化步骤,快速求解。
典例1:已知,则 .
【答案】
【解析】所以.故答案为:.
变式训练:
1.若,则 .
【答案】/0.5
【解析】由得:,
所以
化简得到:,
所以;所以.故答案为:.
2.设,若,则的值为 .
【答案】
【解析】,若,,,
,,

故答案为:.
高频考点8 三倍角公式
核心知识:
三倍角公式: (1) .
(2) .
(3) .
典例1:若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为,所以原不等式可变形为
令,则,
.当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以.又,所以. 故答案为:.
变式训练:
1.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”,他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.黄金分割比,现给出三倍角公式和二倍角角公式,则t与的关系式正确的为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,即,令,
则,,,即,
因为,所以,即,整理得,
解得,因为,所以,故.故选:B
2.已知为锐角,且.则 .
【答案】
【解析】由题设及三倍角的余弦公式,得,即.
故.故答案为:
1.(2024·湖北武汉·模拟预测)设,已知函数在上恰有6个零点,则取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由题意可知,令,
即或,即或,
当时,零点从小到大依次为,
因此有,即.故选:B.
2.(2024·湖北荆州·三模)已知,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由,可得,可得
则,
因为,所以与异号,可得为第二或第四象限,
当为第二象限角时,可得;当为第四象限角时,可得.故选:C.
3.(2024·江苏南通·模拟预测)已知,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为,所以,因为,所以,
因为,所以,
因为,则.故选:B.
4.(2024·福建泉州·二模)若,且与存在且唯一,则( )
A.2 B.4 C. D.
【答案】B
【详解】,由,得,即,
所以,有,
所以,,
所以,
因为,所以,因为满足条件的与存在且唯一,所以唯一,
若,有两解,其中一解中有钝角,此情况不存在.
所以,解得,经检验符合题意,所以,
因为,所以,所以,
则,解得,
所以.故选:B.
5.(2024·河北衡水·三模)已知,则m,n的关系为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】依题意,,,
则,
即,即.故选:D
6.(2024·广东茂名·一模)已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由,得,则,
所以.故选:D
7.(2024·海南·校联考模拟预测)已知,则( )
A.0 B.4 C. D.0或4
【答案】D
【解析】由,可得,
整理得或.故选:D.
8.(2024·北京·高三强基计划)在中,的最大值是( )
A. B. C.2 D.
【答案】C
【解析】根据题意,令所求代数式为M,则,
等号当,且,即时取得.因此所求代数式的最大值为2.故选:C
9.(2024·福建·一模)关于函数有下述四个结论:
①是偶函数;②在区间上是增函数;③的最大值为2;④的周期为.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①② B.①④ C.①③④ D.②③④
【答案】B
【解析】对①,根据偶函数的定义可判断;对②,去绝对值并利用导数判断;对③,直接根据同角三角函数的基本关系判断;对④,利用排除法可排除选项.对①,函数的定义域为关于原点对称,且,为偶函数,故①正确;
对②,当时,,则,在不恒成立,在区间上是增函数错误,故②错误;
对③,若的最大值为2,则,显然不可能同时取到,故③错误;
利用排除法,可选排除选项ACD.故选:B.
10.关于函数,其中有下述四个结论:
①是偶函数; ②在区间上是严格增函数;
③在有3个零点; ④的最小正周期为.其中所有正确结论的编号是( ).
A.①② B.②④ C.①④ D.①③
【答案】A
【解析】的定义域为,
,所以是偶函数,①正确.
当时,是严格增函数,②正确.
当时,,所以在有无数个零点,则③错误.

所以不是的最小正周期,④错误. 综上所述,正确的为①②.故选:A
11.(2024·北京·高三校考开学考试)已知函数在上恰有4个不同的零点,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数在上恰有4个不同的零点,
则方程在上恰有4个不同的解,即方程在上恰有4个不同的解,
所以函数与函数在上恰有4个不同的交点,
因为函数,且在上单调递减,
所以函数函数在上单调递减,且,,
函数是由函数图象纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,
作出两个函数图象,如图:
要使函数与函数在上恰有4个不同的交点,
由图知:的周期满足,所以,
所以,即实数的取值范围为.故选:B
12.(2024·湖北·高三校联考)已知在上的最小值为,则的解有( )个
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】当时,,而,显然不满足题意;
当时,因为,所以,
要使在上的最小值为,则有,所以,
此时在处取得最小值,即,
令,
因为,所以在上单调递减,
又在上单调递减,所以函数在上单调递减,
又因为,由函数零点存在性定理可知,此时函数有唯一的零点,
也即当,函数在上的最小值为时,则的解只有一个;
当时,因为,所以,
要使在上的最小值为,则有,解得,
当时,则,结合余弦函数的图象可知,
函数在上的最小值为,解得,满足题意;
当时,则,此时在处取得最小值,即,从而将问题转化为与的图像有多少个交点,
因为,所以在上单调递增,
又,,
则与的大致图像如下,
所以与的图像有唯一交点,
即当,函数在上的最小值为时,则的解只有一个;
综上可知,的解有3个,故选:C.
13.(2024·新疆·三模)已知,若函数在区间上有且只有个零点,则的范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵在区间上有且只有个零点,
∴令,当时,,
∴在区间上有且只有个零点,即在区间上有且只有个零点,
又∵的零点(即对称中心的横坐标)为,,
∴当时,,当时,,
当时,,当时,,
当时,,∴,解得.故选:D.
14.(2024·高三·福建厦门·期中)若直线是曲线的一条对称轴,且函数在区间上不单调,则的最小值为( )
A.7 B.9 C.11 D.15
【答案】C
【解析】因直线是一条对称轴,所以,.
整理可得:,即,. 由,得.
则函数在上单调递增.
因为函数在区间上不单调,所以.
解得.因为,且,所以的最小值为11.故选:C.
15.(2022·全国·高考真题)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:依题意可得,因为,所以,
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点,又,的图象如下所示:

则,解得,即.故选:C.
16.(多选题)(2024·福建泉州·二模)已知函数,则( )
A.在上的最大值为 B.为偶函数
C.为奇函数 D.在上单调递减
【答案】BD
【详解】
,
对于A,,所以,所以,则在上的值域为,函数的最大值为,故A错误;
对于B,设,则,所以为偶函数,故B正确;
对于C,设,则,所以不是奇函数,故C错误;
对于D,,,令,设,则时,单调递减,所以原函数在上单调递减,故D正确;故选:BD
17.(多选题)(2024·湖南衡阳·三模)已知函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.函数的最小正周期为 B.
C.函数在上单调递增 D.方程的解为,
【答案】ABD
【详解】对于A,由图可知,函数的最小正周期为,故A正确;
对于B,由,所以,
因为,则,则,
因为,则,所以,故B正确;
对于C,,由,得,
而,即时,没有意义,故C错误;
对于D,,则,方程,得,
即,即,
所以或,因为,,
所以或,解得或,故D正确.故选:ABD.
18.(多选题)(2024·湖北襄阳·二模)已知函数,将函数的图像横坐标缩短为原来的倍,再向左平移单位,得到函数.则下列结论中正确的是( )
A.为偶函数 B.不等式的解集为
C.在上单调递增 D.函数在的零点为且,则
【答案】BD
【详解】,
,为奇函数,A选项错误;
函数的图像横坐标缩短为原来的倍,得函数的图像,
再向左平移单位,得到函数的图像,
若,即,
则有,解得,B选项正确;
时,,不是正弦函数的单调递增区间,C选项错误;
时,有,函数在的零点为,
则有,,,所以,D选项正确.故选:BD
19.(多选题)已知函数,则( )
A.是的一个周期 B.是的一条对称轴
C.的值域为 D.在上单调递减
【答案】BCD
【解析】,
图像如图所示:
由图像可得,函数的最小正周期为,故选项A错误,不符合题意;
是的一条对称轴,故选项B正确,符合题意;的值域为,故选项C正确,符合题意;
在上单调递减,选项D正确,符合题意;故选:BCD.
20.(多选题)已知函数的最小正周期为,其图象关于直线对称,且对于恒成立,则( )
A.函数为偶函数 B.当时,的值域为
C.将函数的图象向右平移个单位长度后可得函数的图象
D.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到的函数图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】由题意的最小正周期为,得:,
对于恒成立,则,
图象关于直线对称,代入,得到,
由于,取,则,
所以为偶函数,
当时,,所以,所以的值域为,故B错误;将函数的图象向右平移个单位长度,得到的图象,故C正确;将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象.
因为当时,,所以得到的函数图象关于点对称,故D正确.
故选:ACD.
21.(多选题)已知函数(,)图象的两条对称轴间距离的最小值为,且为的一个零点,则( )
A.的最小正周期为 B. C.在上单调递增
D.当时,曲线与直线的所有交点的横坐标之和为
【答案】AB
【解析】对于A,因图象的两条对称轴间距离的最小值为,则的最小正周期为,故A正确;对于B,由A分析可得,,因为的一个零点,
则,因,取,则.
得,故B正确;
对于C,,因在上不单调,故C错误;
对于D,由AB分析可画出在上的图象如图所示,则与有4个交点,设其横坐标从左到右依次为,,,,令,,得,,
所以函数的对称轴方程为,,当时,,当时,,
数形结合可知,故D错误.故选:AB.
22.(多选题)设函数的最小正零点为,则( )
A.的图象过定点 B.的最小正周期为
C.是等比数列 D.的前项和为
【答案】AC
【解析】对于A,因为,所以,故A正确;对于B,的最小正周期为,故B错误;
对于C,令,得,所以,
整理得,即的零点为,
而是的最小正零点,则,,显然,,,
所以是,的等比数列,故C正确;对于D,的前项和为,故D错误.故选:AC.
23.(2024·湖北·二模)已知函数(,)的最小正周期为T,,若在内恰有10个零点则的取值范围是 .
【答案】
【详解】函数(,)的周期为,又,所以,
所以,即,
因为,所以,解得,所以,因为,所以,
要使在内恰有10个零点,则.所以的取值范围是.故答案为:.
24.(2024·江苏徐州·高三校考阶段练习)若,,则 .
【答案】
【解析】因为,所以
因为,所以,即,
因为,所以,
所以,解得,故答案为:.
25.(2024·天津河西·高三校考期末)已知直线的一个方向向量为,倾斜角为,则 .
【答案】-1
【解析】因为直线的一个方向向量为,所以,所以,
所以
.故答案为:.
26.若函数在处取得最大值,则 .
【答案】
【解析】因为,设,,
则,,当,时,
即当,函数取最大值,最大值为,所以,
所以.故答案为:.
27.(2024·高三·江西萍乡·期中)设,且,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】,
令,则,且,
所以,
因为是上的减函数,所以,
即.故答案为:
28.已知,则的最大值为
【答案】
【解析】,设,,
,其中,
可知当时,.故答案为:
29.已知,且,则 .
【答案】
【解析】由于,,故.
而,故.
所以. 故答案为:
30.已知,,则 .
【答案】/
【解析】由可得,则,
因为,所以,
则.
故答案为:
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