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专题2 三角函数的图象与性质
2.2 解三角形问题和最值问题（正余弦定理）
考点分布 考查频率 命题趋势
正弦定理 2024年II卷第15题，13分 2024年北京卷第16题，13分 2023年北京卷第7题，4分 2023年乙卷第4题，5分 2022年II卷第18题，12分 预测2025年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有选择也有填空更多是解答题，若考解答题，主要放在前两题位置，为中档题，若为选题可以为基础题，多为中档题，也可为压轴题。
余弦定理 2024年I卷第15题，13分 2024年甲卷第11题，5分 2022年乙卷第17题，12分
三角形的几何计算 2023年甲卷第16题，5分 2023年II卷第17题，10分 2022年天津卷第16题，15分
范围与最值问题 2022年上海卷第19题，14分 2022年甲卷第16题，5分 2022年I卷第18题，12分
解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．
1．（2024新高考II卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．(2)若，，求的周长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式，，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，又，故
（2）由题设条件和正弦定理，
又，则，进而，得到，
于是，，
由正弦定理可得，，即，
解得，故的周长为
2．（2024新高考I卷）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；(2)若的面积为，求c．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，因为，所以，
从而，
又因为，即，注意到，所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为，
由已知的面积为，可得，所以.
3．（2024天津卷）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求；(2)求；(3)求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；则.
（2）法一：因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，因为，则
（3）法一：因为，且，所以，
由（2）法一知，因为，则，所以，
则，
.
法二：，则，
因为为三角形内角，所以，
所以
4．（2024北京卷）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为.
【详解】（1）由题意得，因为为钝角，
则，则，则，解得，因为为钝角，则.
（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，因为为三角形内角，则，
则代入得，解得，
,
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
因为为三角形内角，则，
则，
则
5．（2023全国甲卷（文））记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；(2)若，求面积．
【解析】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
6．（2023年全国乙卷（理））在中，已知，，.
(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【解析】（1）由余弦定理可得：，
则，，.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
7．（2023新高考Ⅰ卷）已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．
【解析】（1），，即，
又，，
，，即，所以，.
（2）由（1）知，，由，
由正弦定理，，可得，
，.
8．（2022新高考II卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；(2)若，求b．
【解析】（1）由题意，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，
则，.
9．（2022全国乙卷（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：
【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，
，化简得：，故原等式成立．
10．（2022新高考I卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．
【解析】（1）因为，即，而，所以；
（2）由（1）知，，所以，而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
11．（2024全国甲卷（理））在中,内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，即:，
根据正弦定理得，所以，
因为为三角形内角，则，则.故选：C.
12．（2023年北京高考数学真题）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，
又，所以.故选：B.
13．（2023全国乙卷（文））在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，则.故选：C.
14．（2023全国甲卷（理））在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【答案】
【解析】如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由可得，，
解得：．故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．故答案为：．
15．（2022年全国甲卷（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
【答案】/
【解析】[方法一]：余弦定理
设，则在中，，
在中，，
所以，
当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，
，，令，则，
，，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则 在中，，
在中，，
所以，记，则
由方程有解得：即，解得：
所以，此时所以当取最小值时，，即.
高频考点一 倍长定比分线模型
核心知识：
如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接，易知∥，且，．．
典例1：（2024北京高考模拟预测）在① ，② ，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在中，内角的对边分别为，且满足____．(1)求；(2)若的面积为在边上，且 ， ，求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
【解析】（1）方案一：选条件①.
由，可得 ，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，
又 ，于是 ，即 ，因为 ，所以
方案二：选条件②．
，由正弦定理得 ，即 ， ，
由余弦定理得 又 ，所以
（2）由题意知 ，得．① ，即 ②
联立①②解得 而 ，
由余弦定理得
，故 即的值为
变式训练
1．（2024·河南安阳·高三统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且AB边上的中线，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由，得，
如图，作出平行四边形ACBE，则与的面积相等.在中，，，则，∴.
又，∴，∴，
故面积的最大值为.故选：A
2．（2024·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c＝1，，．(1)求AD的长度；(2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度．
【解析】（1）依据题意，由可得
，则，，
，，解得，
，解得AD为
（2）G为的重心，，，
，，，， ，
高频考点2 倍角定理与正弦平方差
核心知识：
，这样的三角形称为“倍角三角形”。
推论1：。
推论2：。
正弦平方差：。
典例1：（2024·四川绵阳·校考一模）在锐角中，角，，所对的边为，，，且．(1)证明：；(2)求的取值范围．
【解析】（1）∵，由正弦定理，得，
即，∴，
∴或（舍），即，
∴，∴．
（2）由锐角△ABC，可得，，．即， ∴．
∵． 令，，
因为在上单调递增，所以当，
当，∴．
变式训练：
1．（2024·湖南·高三校联考期末）记的内角的对边分别为，已知，且.(1)证明：；(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围.
【解析】（1）证明：依题意知，
故，即，
由余弦定理得，
代入可得，
因为，所以，即；
（2）由题意为锐角三角形，且，由（1）知，则，
由正弦定理得，
，其中为锐角，所以，
因为，则，解得，
则，则，即，因此.
2．（2024·河南·高三校联考阶段练习）从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题．
在锐角中，角所对的边分别为，且________．
(1)证明：；(2)求的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）选择①：由及余弦定理可得
；即，
又，所以，
即，可得．
又易知，可得，所以或，
即或（舍），故．
选择②：由及，得，则由正弦定理得，
又，，
即，所以．
又，可得，所以，故．
选择③：由可得，
即，所以．
又，可得，所以，故．
（2）令，由（1）可知，可得．
由锐角可得，即，解得，
所以．令，根据对勾函数的性质知在上单调递增，
可得，即的取值范围是．
高频考点3 角平分线模型与张角定理
核心知识：
角平分线张角定理：如图，为平分线，。
斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积一下积。
典例1：（2024·山东德州·校联考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且。(1)求C；(2)若△ABC的三条角平分线相交于点O，AB＝7，OAB的面积为，求OC．
【解析】（1）由及，有，
又由正弦定理，有，
有，有，有，又由，可得；
（2）由，有，可得，
在△OAB中，由△OAB的面积为，有，可得，
又由余弦定理及AB＝7，有，有，
代入，有AO＋BO＝8，
联立解得或由对称性不妨设
在△OAB中，有，可得，
又由OA为角A的角平分线，有，
在△OAC中，由正弦定理有，有，可得．
变式训练：
1．（2024·贵州贵阳·高三校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)边上存在点，使为的角平分线，若，求的周长.
【解析】（1）因为在中，，
所以，所以由正弦定理得，
即，由余弦定理得，因为，所以.
（2）因为，且
所以，由余弦定理得：，
整理得，解得或（舍去），
所以，所以的周长为.
2．（2024·福建福州·高三校联考期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设.(1)求A；(2)若AD为∠BAC的角平分线，且，求的最小值.
【解析】（1），
即：，由正弦定理可得：，
所以，又因为，所以.
（2）为的角平分线，.
由，得，
又，所以，故，所以，
当且仅当，即时，的最小值为9.
高频考点4 隐圆问题
核心知识：若三角形中出现，且为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上．
典例1：（2024·四川眉山·三模）阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹．已知在中，角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可得，设的外接圆半径为，
则，
以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
则、，设点，由，可得，
化简可得，所以，的边上的高的最大值为，因此，.故选：A.
变式训练：
1.在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
【答案】A
【解析】以D为坐标原点，DB,DC分别为x,y轴建立如图所示直角坐标系，则,因为，，所以由平面几何知识得A点轨迹为圆弧（因为为平面四边形，所以取图中第四象限部分的圆弧），设圆心为E,则由正弦定理可得圆半径为，
因此对角线的最大值为
2．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）在中，，则的面积最大值为 ．
【答案】3
【解析】因为，所以由正弦定理得，即，
以线段所在直线为x轴，以的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，则，
由得，因为，所以整理得，
由此可知点C的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
所以当点C在圆上运动时，点C到x轴的最大距离为半径，
所以的面积在上单调递减，所以．
故答案为：.
高频考点5 正切比值与和差问题
核心知识：
定理1：
定理2：
定理3：（正切恒等式）中，．
典例1：（2024·河南安阳·高三统考阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则 ．
【答案】
【解析】中，，，，
由正弦定理有，，由，得，
有，即，，得，
由，可得，
即，代入，
得，∴，由余弦定理，
，得，故答案为：
变式训练：
1.在△ABC中，且，则△ABC面积的最大值为 ．
【答案】6
【解析】因为，故，
又，所以，
，故，所以，故同号，因 ，故．设边上的高为，则，
由基本不等式有，当且仅当时等号成立，所以即面积的最大值为，当且仅当时取最大值，综上，填．
2.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ，的最小值为 .
【答案】 2 /
【解析】∵，∴，∴，.
又，∴
∴
又∵在锐角ΔABC中，∴，
当且仅当时取等号，检验可取，∴，故答案为：2，
3.（2024·湖北·统考一模）锐角中，角A所对的边为，的面积，给出以下结论：①；②；③；
④有最小值8.其中结论正确的是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】分析：由三角形的面积公式得，结合正弦定理证得①正确；把①中的用表示，化弦为切证得②正确；由，展开两角和的正切证得③正确；由，结合②转化为关于的代数式，换元即可求得最值，证得④正确.
由，得，又，得，故①正确；
由，得，
两边同时除以，可得，故②正确；
由且，
所以，整理移项得，故③正确；
由，，且都是正数，
得，
设，则，，
当且仅当，即时取“=”，此时，，
所以的最小值是，故④正确，故选D.
高频考点6 四边形定值和最值与托勒密定理
核心知识：
正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理．
托勒密定理：在四边形中，有，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立．
典例1：（2024·广东广州·高三校考阶段练习）广州市从化区政府拟在云岭湖建一个旅游观光项目，设计方案如下：如图所示的圆O是圆形湖的边界，沿线段AB，BC，CD，DA建一个观景长廊，其中A，B，C，D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米，AB=8百米，在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭，且它们关于直线AC对称，在湖面建一条观景桥APC．观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设．
(1)当时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；(2)若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时的值；若没有，请说明理由．
【解析】（1）∵，∴在中，
令AD=x，CD=y， 在中，∴，
∵，∴（当且仅当x=y时，取等号）
∵，∴（平方百米）
所以三角形区域ADC内的湖面面积最大值平方百米．
（2）∵点P和点D关于直线AC对称，∴，PC=CD=8
由（1）知，∴
∵，∴∵点P在区域内 ∴，∴，
∵在中， 在中，
∴ 解得或（舍去），
∵，∴四边形ABCP内的湖面面积有最大值，
所以当时，四边形ABCP内的湖面面积取到最大值，最大值为32平方百米
变式训练：
1.如图．在平面四边形中，．设，证明：为定值．
【解析】证明：设，则．
在中，因为，，所以．
在中，由余弦定理，即，
则，即，故为定值．
2．克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接AC，BD．由，及正弦定理，得，
解得，．在中，，，，所以．
因为四边形ABCD内接于半径为的圆，它的对角互补，所以，
所以,所以，所以四边形ABCD的周长为．故选：A．
3．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知中，角，，所对的边分别为，，，满足.(1)求的大小；(2)如图，，在直线的右侧取点，使得，求为何值时，四边形面积的最大，并求出该最大值．
【解析】（1）由题意，，
由正弦定理得
即
又因为中，，所以，
又因为，所以，即．又，故.
（2）由（1）知，，因为，所以为等边三角形，
在中，由余弦定理得，，
而，
，所以四边形的面积为
，
因为，，当，即时，取得最大值，为，
故四边形面积的最大值为．
高频考点7 边角特殊，构建坐标系
核心知识：利用坐标法求出轨迹方程
典例1：（2024·山东聊城·校考三模）在中，，点在边上，且，若，则长度的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】如图，以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
设，因为，则 ，所以，即，
所以点轨迹是一个圆，圆心，半径，，，，
求长度的最大值即为求长度的最大值, 在中，由正弦定理，
则，当时，即与圆相切时，，
则长度的最大值为4，长度的最大值为5.故选：C.
变式训练：
1.已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】在中，在中，
故，，因为，故，
又角的平分线交于点，则，故.故.
以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，，
故，，设，则，
即，故，
化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）.故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.故选：C
2．（2024·江苏南京·统考一模）在△ABC中，角所对的边分别为．若，则△ABC的面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】方法1：在△ABC中，以线段所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，，设，因为，所以.
得，整理得，即是如图1所示的圆上的动点.
如图2，当点C在y轴上时，即时，△ABC面积最大，
故，当时，即时，△ABC面积取得最大值为.
方法2：如图3，CD是△ABC边AB上的高，设，，，由，得，即，又，得当且仅当时取等号)，所以，
又，
当且仅当时，等号成立，即，
将与代入中，得. 所以△ABC面积的最大值为.
方法3:由三角形面积公式，得，即，
由，得，由余弦定理，得，
所以
(当且仅当时取等号)，
当时，即时，取得最大值，即，所以△ABC面积的最大值为.
(也可以用基本不等式求的最大值，即，
当时，即时取等号，所以△ABC面积的最大值为.)
方法4：在△ABC中，由余弦定理，得，由，得，即，又，所以，即，故，又，所以，令，，得，令，得，
0
极大值
即当时，，，所以△ABC面积的最大值为.
高频考点8 利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
核心知识：
与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．
典例1：（2024·高三·河北沧州·期中）记的内角，，所对的边分别为，，，已知．(1)求A；(2)若的面积为，，求的周长．
【解析】（1）由正弦定理及，可得
，因，则，
则，结合，则；
（2）因的面积为，则，
则，由正弦定理及，
则，则.
由余弦定理，，
则，则三角形周长为.
变式训练：
1．（2024·四川·高三校联考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角的大小；(2)若，，求的周长.
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
又，所以，所以，
即，所以，
又，所以，所以，又，所以.
（2）由，又，所以，所以，
由余弦定理得，所以，所以，
所以，所以，所以，
即的周长为.
2.（2024·眉山·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且.(1)求；(2)若的外接圆半径为，周长为，且，求.
【解析】（1）因为，
故，所以.
因为，所以，又，所以.
（2）由正弦定理可知，，，
因为，所以，所以.
所以.
又，所以，所以，故.
高频考点9 三角形中的几何计算
核心知识：解决三角形中几何计算的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化。
典例1：（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，四边形中，已知，．
(1)若的面积为，求的周长；(2)若，，，求的值．
【解析】（1）在中，，
因为，所以，由，得，
∴，即，
∴，即的周长为；
（2）设，则，又，所以，，
在中，由，得，
在中，由，得，∴，即，
即，，
即，即，∴，
∵，∴，∴，解得，即的值为.
变式训练：
1.（2024·高三·安徽·期中）如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，．(1)证明：；(2)若，求．
【解析】（1）如图，由题意知，则，
由余弦定理得，
即，整理得，因为，所以．
（2）因为，所以，因为，所以，所以．
又因为，，所以四边形是等腰梯形，所以．
设，则，解得．．
在中，由正弦定理可得，
又因为，所以．
2．在中，.(1)求角B的大小；(2)若E为的中点，F是边上的点，且满足，，求的值.
【解析】（1）由，得，即，
所以，又，所以，所以，所以；
（2）由及正弦定理可得：，
又，所以，如图以点为原点建立平面直角坐标系，
设，则，则，所以，设，则，
因为，所以，解得，所以.
高频考点10 中线长定理与余弦和为0
核心知识：
中线长定理：若分别为的中线，则有：
余弦和为0：在中，点为线段上一点，则有：
即．
典例1：（2024·山东潍坊·模拟预测）在中，内角的对边分别为，．
(1)求角；(2)是边上的点，若，，求的值．
【解析】（1）由得：，
由正弦定理得：，
，又，，；
有意义，，，即，又，.
（2），，设，则，
在中，由正弦定理得：，即；
在中，由余弦定理得：；
，解得：，
即，又，.
变式训练：
1.（2024·高三·江苏扬州·期中）在中，，且边上的中线长为1.
(1)若，求的面积；(2)若，求的长.
【解析】（1）由题可知，由勾股定理得，，所以是直角三角形，
又，所以，又边上中线，所以，，，
所以.
（2）方法一：由题可知，
设，则，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
所以，则，①
在和中，由余弦定理得
所以，②
在中，由余弦定理得，
即，即，③将代入得，④
由①④得，即，即，
即，即，
因为，所以，则，所以.故的长为2.
方法二：作的角平分线，交与，设，则，
在和中，由正弦定理可得，
又，所以，所以.
由题可知，所以，
在和中，，所以，所以，
则，即，即，所以（舍）或.
在和中，由余弦定理得
所以，则，解得.故的长为2.
方法三：延长到，使，连接，由题可知，
设，则，在和中，，
所以，所以，则，所以，
即，即，所以（舍）或.
在和中，由余弦定理得
所以，则，解得.故的长为2.
2.（2024·广东·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围.
【解析】（1）由余弦定理得，即，
由正弦定理得，
，即，.
（2）由余弦定理得：，则.
由正弦定理得所以，
因为是锐角三角形，所以，即，
则.中线长的取值范围是.
高频考点11 利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围
核心知识：
对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．
典例1：（2024·浙江·模拟预测）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)若，求c的值以及的面积；
(2)若，求的值以及的取值范围．
【解析】（1）由，可得，
因为，所以，所以，可得，
由余弦定理得，
所以的面积．
（2）因为，所以，
解得，
在中，由正弦定理得，则，
因为，故，所以，
即的取值范围为.
变式训练：
1．（2024·重庆·高三重庆市万州沙河中学校联考阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，已知.(1)求A;(2)求的取值范围.
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
因为为锐角三角形，可知，则，所以，且，所以.
（2）因为，可知，即，且为锐角三角形，则，解得，
又因为
，
由，可知，则，
所以.
2．（2024·重庆·模拟预测）已知为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为，，，.
(1)求的取值范围；(2)若，求周长的取值范围.
【解析】（1）因为为锐角三角形，所以，，.
又因为，所以，
由正弦定理得，
因为为锐角三角形，所以，即，解得，
所以，即，所以的取值范围为.
（2）因为，由（1）知，，由正弦定理，得
，
故的周长，令，由（1）知，则，
因为函数在上单调递增，
所以周长的取值范围为.
1．（2024·四川眉山·校考三模）阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹．已知在中，角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可得，设的外接圆半径为，
则，
以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
则、，设点，由，可得，
化简可得，所以，的边上的高的最大值为，因此，.选：A.
2．（2024·山东日照·高三校联考期末）已知的三个内角A，B，C满足，则（ ）
A．是锐角三角形 B．角的最大值为
C．角的最大值为 D．
【答案】D
【解析】由得，则，所以是钝角三角形，故A不正确；
由得，则，整理得，
所以，当且仅当等号成立，∴，故B不正确；
由得，化简可得，则，因为为钝角，所以为锐角，取，得，，
符合题意，即可以取大于的值，故C错误；
由得，，，所以，即，结合正弦定理可得，故D正确.故选：D.
3．（多选题）（2024·湖北咸宁·高三统考期末）的内角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A． B． C．的面积为 D．的周长为
【答案】BC
【解析】因为 ，，所以 ，由正弦定理知 ，
化简得，所以 A，
因为，所以 ，所以 又因为，所以，故B正确；
由 ，得 ，即 ，
所以 ，由正弦定理可得，即故A错误；
故的面积为： ，故C正确；
由余弦定理知 ，
所以，，故的周长为，故D错误；故选：BC.
4．（2024·福建·高三统考阶段练习）波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有，，则当的面积最大时，AC边上的高为 .
【答案】
【解析】，,即．根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹为圆, 以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系,求出B的轨迹方程，进而得出结论．为非零常数，根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹是圆.
以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，则，设，∵
∴，，整理得
因此，当面积最大时，BC边上的高为圆的半径.
5．（2024·安徽马鞍山·高三校考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值（）的动点的轨迹.已知在中，角的对边分别为，则面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】由已知条件结合余弦定理，可求出，，建立坐标系求出点所在的圆的方程，求出点到距离的最大值，即可求出结论.依题意，，得，
即，以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴 建立直角坐标系，则，设，
由，则的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为，边高的最大值为，
∴. 故答案为：
6．（2024·湖南长沙·校考模拟预测）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有，，，则当的面积最大时，它的内切圆的半径为 .
【答案】
【解析】∵，∴为非零常数，故点B的轨迹是圆.
以线段中点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，则，，设，
∵，，，整理得，
因此，当面积最大时，边上的高为圆的半径4.此时，，
设内切圆的半径为r，则，解得.
故答案为：
7.（2024·浙江·模拟预测）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】由余弦定理，得，则由，得，所以，
由正弦定理，得，所以，
所以，，．
因为，所以，
则．
令，而 则，
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为．故答案为：
8．（2025·重庆·高三专题练习）为等边内一动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图所示，不妨设等边的边长为2，为的中点，
延长至，使得，以点为圆心，为半径作圆弧，
为内一动点，，点在弦所对的弧上，
由图可知：当点取与轴的交点时，，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，
可得：，，，．点所在圆的方程为：．
设参数方程为：，
，
令，化为：，设，，则，
解得，，故的最小值为．故答案为：.
9．（2024·辽宁·校联考二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，(1)求角B的大小；(2)若，D为边AB上一点，且，求的值．
【解析】（1），，
所以，即，故，因为，所以；
（2）因为，所以，
，
在中，由正弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，故，所以或，
当时，，，当时，，.所以的值为或1.
10．（2024·辽宁·高三校联考期末）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求C；(2)若△ABC的面积为，D在边AC上，且CD=CA，求BD的最小值．
【解析】（1）方案一：选条件①．由，可得，
由正弦定理得，
因为，所以，所以，
故，又，于是，即，
因为，所以．
方案二：选条件②．
因为，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式得，即，
因为，所以，
又所以，因为，所以．
方案三：选条件③．
，由正弦定理得，
即，∴，∴由余弦下定得．又，所以．
（2）由题意知，得．
由余弦定理得，
当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为．
11.（2024·河北沧州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求证：；(2)若的角平分线交AC于点D，且，，求BD的长．
【解析】（1）在中，由余弦定理及，
得，即，由正弦定理，得，
即，
由，得，则，
因此，即，则，所以．
（2）由，得，由，得．
在，中，由正弦定理，得，
则，解得，从而，又，
由余弦定理，得，解得，所以BD的长为.
12.（2024·江苏·模拟预测）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分线.（i）证明：；（ii）若，求的最大值.
【解析】（1）因为中，，
故，
因为，故；
（2）（i）证明：中，由正弦定理得①，
又②，同理在中，③，
④，
BD是的角平分线，则，则，
又，故，
故①÷③得⑤，即，
由②④得，
，则
，即；
（ii）因为，故，则由⑤得，则，
由以及（i）知，即，则，
当且仅当，结合，即时等号成立，
故，即的最大值为.
13．（2025·江苏南京·高三校考期中）已知△ABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．R为△ABC外接圆半径．（1）若R＝1，且满足，求的取值范围；（2）若，求的最小值．
【解析】（1）因为，所以由正弦定理，得，
又由余弦定理，得，所以，
即，所以，又因为△ABC为锐角三角形，所以，
所以
，
因为△ABC为锐角三角形，所以 ，即，所以，
所以，即，所以，
所以，即的取值范围为.
（2）因为，所以，即，
又因为△ABC为锐角三角形，所以，所以，所以由正弦定理，得，
又因为，所以，
所以，即,
两边同时除以，得，
因为且△ABC为锐角三角形，所以，所以 所以，
所以，
令，则，所以
，
当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.
14．（2024·四川绵阳·校考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c．已知，．(1)求边b的长；(2)延长BC至D，使得，连接AD．已知为锐角，且它的角平分线与AB交于点E，若外接圆半径为．求长．
【解析】（1）因为，
所以由正弦定理可得，所以
又因为，所以，∴，即，∴
（2）由（1）可知， 在中，由正弦定理：，
可得：，所以，∵为锐角，∴ 由
可得：
即①
因为，所以，在中，由余弦定理可求得，求得，
代入①可解得：
15．（2025·辽宁·高三统考期中）如图，已知三个内角，，的对边分别为，，，且，，．(1)求；(2)是外一点，连接，构成平面四边形，若，求的最大值．
【解析】（1）由已知，则，
所以，化简可得，
又在中，，所以，则，即，
又，，所以，，所以；
（2）由（1）得，设，则，
在中，由正弦定理得，即，且，即，
在中，由余弦定理得，
即，
由，所以，所以当，即时，取得最大值为，
所以的最大值为.
16.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是△ABC的重心，且.
(1)若，求tan∠GAC的值；(2)求cos∠ACB的取值范围.
【解析】（1）以为原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设的中点为，则共线且，
设，则，，，，
故，故，故，
所以.
（2）设，则，
故，，
故，
故，所以，
故，而，，
故，
而，故，故，所以，.
17．（2024·湖北宜昌·高三统考期中）在中，内角的对边分别为，且，．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求的周长和面积．
【解析】（1）证明：因为，所以，
则，因为，所以，
又因为，因为，所以，
所以，所以，所以是等腰三角形．
（2）因为，所以，
所以的周长为，的面积．
18.记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；(2)若，求．
【解析】（1）方法1：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
19．（2024·江西·高三临川一中校联考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求B；(2)若，，从下面两个条件中选一个，求的最小值．①点M，N分别是边，上的动点（不包含端点），且；②点M，N是边上的动点（不包含端点且），且．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）由正弦边角关系得，
所以，由余弦定理得，即，
所以，又，则．
（2）由（1）及题设，则，
选①，此时，设，，
由余弦定理得，即，
因为，
所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为．
选②，此时，，
设，因为，则，
在中由余弦定理得，
在中由余弦定理得，
所以，
所以当时，取得最小值．
20．（2024·广东·校考模拟预测）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若是上的一点，且，求最小值．
【解析】（1），
又，则或，
若，则；
若，则，又，不符合题意，舍去，综上所述.
（2）①，又②，
①÷②得：令，又，
，令
令，令，
当时，当时，
由对勾函数性质可得当时，为减函数，故，
同理当时，
所以当三角形为等边三角形时最小，最小值为
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专题2 三角函数的图象与性质
2.2 解三角形问题和最值问题（正余弦定理）
考点分布 考查频率 命题趋势
正弦定理 2024年II卷第15题，13分 2024年北京卷第16题，13分 2023年北京卷第7题，4分 2023年乙卷第4题，5分 2022年II卷第18题，12分 预测2025年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有选择也有填空更多是解答题，若考解答题，主要放在前两题位置，为中档题，若为选题可以为基础题，多为中档题，也可为压轴题。
余弦定理 2024年I卷第15题，13分 2024年甲卷第11题，5分 2022年乙卷第17题，12分
三角形的几何计算 2023年甲卷第16题，5分 2023年II卷第17题，10分 2022年天津卷第16题，15分
范围与最值问题 2022年上海卷第19题，14分 2022年甲卷第16题，5分 2022年I卷第18题，12分
解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．
1．（2024新高考II卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．(2)若，，求的周长．
2．（2024新高考I卷）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；(2)若的面积为，求c．
3．（2024天津卷）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求；(2)求；(3)求的值．
4．（2024北京卷）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
5．（2023全国甲卷（文））记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；(2)若，求面积．
6．（2023年全国乙卷（理））在中，已知，，.
(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
7．（2023新高考Ⅰ卷）已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．
8．（2022新高考II卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；(2)若，求b．
9．（2022全国乙卷（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：
10．（2022新高考I卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．
11．（2024全国甲卷（理））在中,内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023年北京高考数学真题）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2023全国乙卷（文））在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2023全国甲卷（理））在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
15．（2022年全国甲卷（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
高频考点一 倍长定比分线模型
核心知识：
如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接，易知∥，且，．．
典例1：（2024北京高考模拟预测）在① ，② ，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在中，内角的对边分别为，且满足____．(1)求；(2)若的面积为在边上，且 ， ，求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
变式训练
1．（2024·河南安阳·高三统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且AB边上的中线，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
2．（2024·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c＝1，，．(1)求AD的长度；(2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度．
高频考点2 倍角定理与正弦平方差
核心知识：
，这样的三角形称为“倍角三角形”。
推论1：。
推论2：。
正弦平方差：。
典例1：（2024·四川绵阳·校考一模）在锐角中，角，，所对的边为，，，且．(1)证明：；(2)求的取值范围．
变式训练：
1．（2024·湖南·高三校联考期末）记的内角的对边分别为，已知，且.(1)证明：；(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围.
2．（2024·河南·高三校联考阶段练习）从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题．
在锐角中，角所对的边分别为，且________．
(1)证明：；(2)求的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
高频考点3 角平分线模型与张角定理
核心知识：
角平分线张角定理：如图，为平分线，。
斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积一下积。
典例1：（2024·山东德州·校联考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且。(1)求C；(2)若△ABC的三条角平分线相交于点O，AB＝7，OAB的面积为，求OC．
变式训练：
1．（2024·贵州贵阳·高三校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)边上存在点，使为的角平分线，若，求的周长.
2．（2024·福建福州·高三校联考期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设.(1)求A；(2)若AD为∠BAC的角平分线，且，求的最小值.
高频考点4 隐圆问题
核心知识：若三角形中出现，且为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上．
典例1：（2024·四川眉山·三模）阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹．已知在中，角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1.在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
2．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）在中，，则的面积最大值为 ．
高频考点5 正切比值与和差问题
核心知识：
定理1：
定理2：
定理3：（正切恒等式）中，．
典例1：（2024·河南安阳·高三统考阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则 ．
变式训练：
1.在△ABC中，且，则△ABC面积的最大值为 ．
2.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ，的最小值为 .
3.（2024·湖北·统考一模）锐角中，角A所对的边为，的面积，给出以下结论：①；②；③；
④有最小值8.其中结论正确的是
A．1 B．2 C．3 D．4
高频考点6 四边形定值和最值与托勒密定理
核心知识：
正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理．
托勒密定理：在四边形中，有，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立．
典例1：（2024·广东广州·高三校考阶段练习）广州市从化区政府拟在云岭湖建一个旅游观光项目，设计方案如下：如图所示的圆O是圆形湖的边界，沿线段AB，BC，CD，DA建一个观景长廊，其中A，B，C，D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米，AB=8百米，在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭，且它们关于直线AC对称，在湖面建一条观景桥APC．观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设．(1)当时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；(2)若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时的值；若没有，请说明理由．
变式训练：
1.如图．在平面四边形中，．设，证明：为定值．
2．克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知中，角，，所对的边分别为，，，满足.(1)求的大小；(2)如图，，在直线的右侧取点，使得，求为何值时，四边形面积的最大，并求出该最大值．
高频考点7 边角特殊，构建坐标系
核心知识：利用坐标法求出轨迹方程
典例1：（2024·山东聊城·校考三模）在中，，点在边上，且，若，则长度的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
变式训练：
1.已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·江苏南京·统考一模）在△ABC中，角所对的边分别为．若，则△ABC的面积的最大值为 ．
高频考点8 利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
核心知识：
与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．
典例1：（2024·高三·河北沧州·期中）记的内角，，所对的边分别为，，，已知．(1)求A；(2)若的面积为，，求的周长．
变式训练：
1．（2024·四川·高三校联考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角的大小；(2)若，，求的周长.
2.（2024·眉山·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且.(1)求；(2)若的外接圆半径为，周长为，且，求.
高频考点9 三角形中的几何计算
核心知识：解决三角形中几何计算的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化。
典例1：（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，四边形中，已知，．
(1)若的面积为，求的周长；(2)若，，，求的值．
变式训练：
1.（2024·高三·安徽·期中）如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，．(1)证明：；(2)若，求．
2．在中，.(1)求角B的大小；(2)若E为的中点，F是边上的点，且满足，，求的值.
高频考点10 中线长定理与余弦和为0
核心知识：
中线长定理：若分别为的中线，则有：
余弦和为0：在中，点为线段上一点，则有：
即．
典例1：（2024·山东潍坊·模拟预测）在中，内角的对边分别为，．
(1)求角；(2)是边上的点，若，，求的值．
变式训练：
1.（2024·高三·江苏扬州·期中）在中，，且边上的中线长为1.
(1)若，求的面积；(2)若，求的长.
2.（2024·广东·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围.
高频考点11 利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围
核心知识：
对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．
典例1：（2024·浙江·模拟预测）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)若，求c的值以及的面积；
(2)若，求的值以及的取值范围．
变式训练：
1．（2024·重庆·高三重庆市万州沙河中学校联考阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，已知.(1)求A;(2)求的取值范围.
2．（2024·重庆·模拟预测）已知为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为，，，.
(1)求的取值范围；(2)若，求周长的取值范围.
1．（2024·四川眉山·校考三模）阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹．已知在中，角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东日照·高三校联考期末）已知的三个内角A，B，C满足，则（ ）
A．是锐角三角形 B．角的最大值为
C．角的最大值为 D．
3．（多选题）（2024·湖北咸宁·高三统考期末）的内角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A． B． C．的面积为 D．的周长为
4．（2024·福建·高三统考阶段练习）波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有，，则当的面积最大时，AC边上的高为 .
5．（2024·安徽马鞍山·高三校考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值（）的动点的轨迹.已知在中，角的对边分别为，则面积的最大值为 ．
6．（2024·湖南长沙·校考模拟预测）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有，，，则当的面积最大时，它的内切圆的半径为 .
7.（2024·浙江·模拟预测）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是 ．
8．（2025·重庆·高三专题练习）为等边内一动点，且，则的最小值为 ．
9．（2024·辽宁·校联考二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，(1)求角B的大小；(2)若，D为边AB上一点，且，求的值．
10．（2024·辽宁·高三校联考期末）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求C；(2)若△ABC的面积为，D在边AC上，且CD=CA，求BD的最小值．
11.（2024·河北沧州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求证：；(2)若的角平分线交AC于点D，且，，求BD的长．
12.（2024·江苏·模拟预测）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分线.（i）证明：；（ii）若，求的最大值.
13．（2025·江苏南京·高三校考期中）已知△ABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．R为△ABC外接圆半径．（1）若R＝1，且满足，求的取值范围；（2）若，求的最小值．
14．（2024·四川绵阳·校考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c．已知，．(1)求边b的长；(2)延长BC至D，使得，连接AD．已知为锐角，且它的角平分线与AB交于点E，若外接圆半径为．求长．
15．（2025·辽宁·高三统考期中）如图，已知三个内角，，的对边分别为，，，且，，．(1)求；(2)是外一点，连接，构成平面四边形，若，求的最大值．
16.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是△ABC的重心，且.
(1)若，求tan∠GAC的值；(2)求cos∠ACB的取值范围.
17．（2024·湖北宜昌·高三统考期中）在中，内角的对边分别为，且，．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求的周长和面积．
18.记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；(2)若，求．
19．（2024·江西·高三临川一中校联考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求B；(2)若，，从下面两个条件中选一个，求的最小值．①点M，N分别是边，上的动点（不包含端点），且；②点M，N是边上的动点（不包含端点且），且．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（2024·广东·校考模拟预测）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若是上的一点，且，求最小值．
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