人教A版高中数学选择性必修三-6.2.1排列-导学案（含答案）

人教A版高中数学选择性必修三-6.2.1排列-导学案
学习目标　1.理解并掌握排列的概念.2.能应用排列知识解决简单的实际问题．
一、排列概念的理解
问题　从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
知识梳理
1．排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．根据排列的定义，两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素___________；(2)元素的排列________也相同．
例1　判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信．
反思感悟　判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑
(1)“取”，检验取出的m个元素是否重复；
(2)“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
跟踪训练1　下列问题是排列问题的是(　　)
A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？
二、画树状图写排列
例2　四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？并写出所有坐法．
反思感悟　利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．
跟踪训练2　写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
三、简单的排列问题
例3　用具体数字表示下列问题．
(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；
(2)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；
(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数．
反思感悟　要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么．
跟踪训练3　(1)沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为(　　)
A．15 B．30 C．12 D．36
(2)12名选手参加校园歌手大赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有______种不同的获奖情况．
1．知识清单：
(1)排列的定义：顺序性．
(2)“树状图”法列举排列．
(3)排列的简单应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：排列的定义不明确．
1．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　)
A．甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B．甲乙丙、乙丙甲
C．甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D．甲乙、甲丙、乙丙
2．3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法种数为(　　)
A．3 B．24 C．34 D．43
3．(多选)下列问题中是排列问题的是(　　)
A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组
B．从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动
C．从a，b，c，d中选出3个字母
D．从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数
4．从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有________个．
参考答案与详细解析
问题　
知识梳理
1．一定的顺序
2．(1)完全相同　(2)顺序
例1　解　(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述问题中，(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．
跟踪训练1　B　[对于A,8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误；
对于B,10个人互相通信，涉及到顺序问题，是排列问题，B正确；
对于C,5个点中任取3点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误；
对于D,4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序，不是排列问题，D错误．]
例2　解　按照A→B→C→D的顺序安排位置，A有4种坐法，B有3种坐法，C有2种坐法，D有1种坐法，由分步乘法计数原理得，有4×3×2×1＝24(种)坐法．画出树状图．
由“树状图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.
跟踪训练2　解　由题意作树状图，如图．
故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．
例3　解　(1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99＝9 900(个)．
(2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1＝6(个)．
(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，
分别把4名大学生安排到4家单位，
共有5×4×3×2＝120(个)分配方案．
跟踪训练3　(1)B　[对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30(种)．]
(2)1 320
解析　共有12×11×10＝1 320(种)不同的获奖情况．
随堂演练
1．C　[从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙．]
2．B　[3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，其选法种数为4×3×2＝24.]
3．AD　[由排列的定义知AD是排列问题．]
4．24