2024-2025学年湖北省武汉市武昌区高三（上）期末物理试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省武汉市武昌区高三（上）期末物理试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，第8～10题有多项符合题目要求。每小题全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
1．（4分）下列哪个定律是能量守恒定律的具体体现（　　）
A．库仑定律 B．电阻定律 C．欧姆定律 D．楞次定律
2．（4分）一个α粒子融合到一个O核的核反应方程式为HeO→Ne，“比结合能曲线”如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．O核比Ne核稳定
B．反应式中最稳定的是He核
C．该核反应后的比结合能增加
D．反应式左边的原子核比右边的原子核具有较多的结合能
3．（4分）长征七号运载火箭是我国空间站补给物资的“货运专列”，已知空间站的在轨运行可近似为周期是90分钟的匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）
A．空间站的线速度大于7.9km/s
B．长征七号运载火箭的发射速度大于11.2km/s
C．补给物资在空间站中的动能比静止在地面上时小
D．补给物资在空间站中所受合力比静止在地面上时大
4．（4分）如图所示，某同学用绳拖一木箱在水平地面上匀速直线运动，绳与水平方向的夹角为θ，木箱与地面之间的动摩擦因数为μ（0＜μ＜1）。保持木箱的运动状态不变，夹角θ从0逐渐增大到90°的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．绳的拉力一直减小
B．绳的拉力一直增大
C．绳的拉力先减小后增大
D．绳的拉力先增大后减小
5．（4分）如图所示，虚线是正弦交流电的图像，实线是另一交流电的图像，它们的周期T和电压最大值Um相同，则实线所对应的交流电的电压有效值U满足（　　）
A．U B．U C．U D．无法确定
6．（4分）我国风力资源丰富，随着国家对新能源行业发展的支持，风力发电得到了迅猛发展。某地风力发电机叶片转动时可形成半径为50m的圆面，且会随着风向调整姿态使转动的圆面始终与风向垂直，风力发电机能将此圆内10%的空气动能转化为电能。已知某段时间内的风速为3m/s，扇叶转动，发电机正常发电，空气的密度为1.2kg/m3，则风力发电机发电的功率为（　　）
A．1.27×104W B．2.54×104W C．1.27×105W D．2.54×105W
7．（4分）一振动片以一定频率做简谐振动时，固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上A、B两点，两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。如图所示，C是水面上的一点，A、B、C间的距离均为l，观察到AB连线上的振动加强点恰好分布在连线的八等分点上。则在AC连线上，距C最近的振动加强点到C的距离为（　　）
A． B． C． D．
（多选）8．（4分）在同一点电荷电场中的a、b、c、d四个位置分别引入试探电荷，测得的试探电荷的电荷量与其所受静电力的关系图线如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．a、b的电场方向与c、d的电场方向相反
B．a、b、c、d四个位置一定在同一条电场线上
C．a、b、c、d的电势高低的关系是φc＞φb＞φa＞φd
D．a、b、c、d的电场强度大小的关系是Ed＞Ea＞Eb＞Ec
（多选）9．（4分）如图所示，用粗细均匀、横截面积为S、电阻率为ρ的金属丝制成半径为R的金属圆环，在金属圆环内有半径为r的圆形区域，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t的变化关系为B＝B0+kt，其中B0、k均为大于零的常量，在金属圆环中，下列说法正确的是（　　）
A．感应电流的方向为逆时针
B．感应电动势的大小为πkR2
C．感应电流的大小为
D．感应电流的热功率为
（多选）10．（4分）如图甲所示，物块A和B叠放在水平地面上。敲击B，B立即获得水平向右的初速度v0，A、B都向右运动，A始终没有从B上滑落，最终两物块都运动至停下来。这段过程中，B的v﹣t关系图线如图乙所示，已知A与B、B与地面间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　）
A．物块A和B的质量相等
B．A与B左端的距离至少为
C．摩擦力对A、B的总冲量大小之比为1：3
D．A和B间因摩擦产生的热量与B和地面间产生热量之比是1：3
二、非选择题：本题共5小题，共60分。
11．（7分）某同学在实验室利用如图甲所示的仪器，运用玻意耳定律来测定一颗形状不规则的小物件的体积，实验过程如下：
（1）将小物件装入注射器主管内，通过拉活塞的方式改变封闭气体的体积和压强，操作过程中，下列说法正确的是 　 　。
A.不能用手握住注射器的主管
B.要用手握住注射器主管以保持其稳定
C.若实验过程中不慎将活塞拉出针筒，将活塞塞回针筒后即可继续实验
D.若实验过程中不慎将活塞拉出针筒，必须清除之前获得的数据，重做实验
（2）实验中通过针筒上的刻度读取了多组气体体积V和压强传感器采集的压强p，作出V图线，如图乙所示。若作出的图线为图乙中的直线①，与横、纵轴的交点坐标值分别是a、b，已知传感器和注射器连接处的塑料管容积为V0，则小物件的体积为 　 　。
（3）若作出的图线为图乙中的曲线②，造成该现象的原因可能是 　 　。
12．（10分）某研究小组用如图所示的实验电路来测量待测电源的电动势E1和内阻r1，已知灵敏电流表G的内阻为Rg，贴有刻度标尺的电阻丝AB总长度为L，总阻值为R。
（1）甲同学只闭合开关S1，调节滑片P至不同位置，读出并记录多组AP长度值x及对应的灵敏电流表G的示数I，绘制x的图线，图线的斜率为k，截距为b，则E1＝ 　 　，r1＝ 　 　。
（2）乙同学先闭合开关S2调节滑动变阻器R1至适当位置，读取此时电流表A的示数I0；再闭合S1，调节滑片P至灵敏电流表G的示数为零，读取此时的AP长度值为x0，则C点电势和滑片触点P电势 　 　（填“相等”或“不相等”），E1＝ 　 　。
（3）关于两个同学的实验方案说法正确的是 　 　。
A.甲同学闭合开关S1前应将滑片移至B端
B.乙同学方案中，两个电源的电动势要满足E1＞E2
C.若电阻丝AB粗细不均匀，会影响乙同学实验结果
D.乙同学方案中，选择灵敏度更高的灵敏电流表G可以减小测量误差
13．（10分）如图所示是某种透明材料制成的一块柱形棱镜的截面ABOCD，矩形ABOD的底边BO宽为0.5R，圆弧CD的圆心角∠DOC＝90°，圆半径为R，其上有一点M，∠COM＝30°，棱镜置于空气中，一束光线从M点沿半径方向入射，经O点反射后在AB边上恰好发生全反射，已知光在空气中的传播速度为c，不考虑部分光线在出射点的反射情况，求：
（1）该棱镜的折射率n；
（2）光线在该棱镜中传播的总时间t。
14．（15分）如图所示，一轻质弹簧竖直放置在水平地面上，其下端固定，上端栓接一个质量为2m，厚度可忽略不计的薄板。薄板静止时，弹簧的压缩量为a，现有一个质量为m的物块从距薄板正上方某高度处自由下落，与薄板碰撞后即粘连在一起，碰撞时间极短。之后，物块与薄板一起在竖直方向上做往复运动，在这个过程中，弹簧的最大形变量为2.5a，若弹簧原长和弹性限度满足题设条件，不计空气阻力。
（1）试证明物块与薄板一起在竖直方向上的往复运动是简谐运动。
（2）已知物块从刚与薄板粘连在一起到第一次运动到最高点所用的时间为t，求物块与薄板的简谐运动的周期T？
（3）要使物块与薄板做的简谐运动的振幅为2.5a，物块要从距离薄板多大的高度处自由下落？
15．（18分）如图所示，无限长的两水平边界间划分了三个区域，中间的矩形ABCD区域分布有竖直方向的匀强电场（图中未画出），边界AB的左侧分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界CD的右侧分布有垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子从P点竖直向下射入左侧磁场，速度大小为v，经磁场偏转，粒子第一次穿过边界AB进入电场时，速度方向斜向上与边界AB的夹角为θ，之后以垂直边界CD的方向离开电场，并进入右侧磁场运动。最终，粒子从P点正下方的Q点，沿竖直方向射出场区。已知，匀强电场的电场强度大小始终不变，但粒子每次离开电场时，电场的方向会反向，点P和A间距为d，上、下边界间距为2d，sinθ＝0.6，不计粒子的重力，忽略边缘效应。求：
（1）左侧磁场的磁感应强度大小B1为多少？
（2）AD的间距L的最大值为多少？
（3）若边界AB和CD的间距为，则右侧磁场的磁感应强度大小B2的最大值为多少？
2024-2025学年湖北省武汉市武昌区高三（上）期末物理试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D A D C B A B
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，第8～10题有多项符合题目要求。每小题全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
1．（4分）下列哪个定律是能量守恒定律的具体体现（　　）
A．库仑定律 B．电阻定律 C．欧姆定律 D．楞次定律
【解答】解：A、库仑定律描述的是真空中的两个点电荷之间的相互作用力，与能量守恒定律无关，故A错误；
B、电阻定律反应的是电阻的影响因素，与能量守恒定律无关，故B错误；
C、欧姆定律反应的是对于纯电阻元件，通过其中的电流的影响因素，与能量守恒定律无关，故C错误；
D、楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象中的具体体现，它说明了感应电流方向总是使得其产生的磁场抵抗引起感应电流的磁通量变化，从而体现了能量守恒，故D正确。
故选：D。
2．（4分）一个α粒子融合到一个O核的核反应方程式为HeO→Ne，“比结合能曲线”如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．O核比Ne核稳定
B．反应式中最稳定的是He核
C．该核反应后的比结合能增加
D．反应式左边的原子核比右边的原子核具有较多的结合能
【解答】解：A.比结合能越大，原子核越稳定，由图可得核比结合能大，比核更稳定，核反应后的比结合能降低，故A正确，C错误；
B.比结合能最小，反应式中最不稳定，故B错误；
D.比结合能比稍微大一点点，比结合能相对较小，结合能等于比结合能乘以核子数，所以反应式左边的原子核比右边的原子核结合能小，故D错误。
故选：A。
3．（4分）长征七号运载火箭是我国空间站补给物资的“货运专列”，已知空间站的在轨运行可近似为周期是90分钟的匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）
A．空间站的线速度大于7.9km/s
B．长征七号运载火箭的发射速度大于11.2km/s
C．补给物资在空间站中的动能比静止在地面上时小
D．补给物资在空间站中所受合力比静止在地面上时大
【解答】解：A.、根据万有引力提供向心力得
Gm
可得v
因为空间站的轨道半径大于地球半径，则空间站的线速度小于近地卫星的线速度7.9km/s，故A错误；
B、长征七号运载火箭没有脱离地球的束缚，所以长征七号运载火箭的发射速度小于11.2km/s，故B错误；
CD、根据万有引力提供向心力得
Gmr＝ma
可得T＝2π，a
地球同步卫星的运行周期为24h，空间站的运行周期为90min，由上分析可知，空间站的轨道半径比地球同步卫星的小，由v可知空间站的线速度和加速度均大于地球同步卫星的线速度和加速度。地球同步卫星的角速度与地球自转角速度相等，由v＝ωr可知，地球同步卫星的线速度大于静止在地面上时物体随地球自转的线速度，可知，补给物资在空间站中的速度比静止在地面上时大，则补给物资在空间站中的动能比静止在地面上时大。由a＝ω2r可知，地球同步卫星的加速度大于静止在地面上时物体随地球自转的加速度，则知补给物资在空间站中加速度比静止在地面上时大，因而补给物资在空间站中所受合力比静止在地面上时大，故C错误，D正确。
故选：D。
4．（4分）如图所示，某同学用绳拖一木箱在水平地面上匀速直线运动，绳与水平方向的夹角为θ，木箱与地面之间的动摩擦因数为μ（0＜μ＜1）。保持木箱的运动状态不变，夹角θ从0逐渐增大到90°的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．绳的拉力一直减小
B．绳的拉力一直增大
C．绳的拉力先减小后增大
D．绳的拉力先增大后减小
【解答】解：对木箱受力分析如图所示。
因为木箱匀速运动，水平方向和竖直方向受力均平衡，则有
Fcosθ＝μ（G﹣Fsinθ）
则得
F
其中，tanβ
因0＜μ＜1，则β＞45°
当θ+β＝90°时，sin（θ+β）最大，F最小，根据数学知识可知θ从0逐渐增大到90°的过程中，F先减小后增大，故ABD错误，C正确．
故选：C。
5．（4分）如图所示，虚线是正弦交流电的图像，实线是另一交流电的图像，它们的周期T和电压最大值Um相同，则实线所对应的交流电的电压有效值U满足（　　）
A．U B．U C．U D．无法确定
【解答】解：依据交流电的有效值定义，若是正弦式交流电，即为虚线的图像，那么其有效值为：，由图象可知，实线所对应的交流电在除峰值外的任意时刻其瞬时值总是小于正弦交流电的瞬时值，那么在一周期内，对于相同的电阻，实线所对应的交流电产生热量小于正弦交流电产生的热量，故实线所对应的交流电的有效值小于正弦交流电的有效值，即，故ACD错误，B正确。
故选：B。
6．（4分）我国风力资源丰富，随着国家对新能源行业发展的支持，风力发电得到了迅猛发展。某地风力发电机叶片转动时可形成半径为50m的圆面，且会随着风向调整姿态使转动的圆面始终与风向垂直，风力发电机能将此圆内10%的空气动能转化为电能。已知某段时间内的风速为3m/s，扇叶转动，发电机正常发电，空气的密度为1.2kg/m3，则风力发电机发电的功率为（　　）
A．1.27×104W B．2.54×104W C．1.27×105W D．2.54×105W
【解答】解：由风的运动，可知动能为：，
由动能与电能的关系，可计算在时间t内电能为：W电＝ηW，
结合电功率公式，即可知发电机发电的功率为1.27×104W，故BCD错误，A正确。
故选：A。
7．（4分）一振动片以一定频率做简谐振动时，固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上A、B两点，两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。如图所示，C是水面上的一点，A、B、C间的距离均为l，观察到AB连线上的振动加强点恰好分布在连线的八等分点上。则在AC连线上，距C最近的振动加强点到C的距离为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由AB间的振动加强点位置为八等分点，可知波长与AB间距l的关系满足：；
由距离C最近的加强点与AB的间距如图所示：
结合几何关系，即可知加强点与C的距离满足：r2﹣（l﹣r1）＝λ，，解得：，故ACD错误，B正确。
故选：B。
（多选）8．（4分）在同一点电荷电场中的a、b、c、d四个位置分别引入试探电荷，测得的试探电荷的电荷量与其所受静电力的关系图线如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．a、b的电场方向与c、d的电场方向相反
B．a、b、c、d四个位置一定在同一条电场线上
C．a、b、c、d的电势高低的关系是φc＞φb＞φa＞φd
D．a、b、c、d的电场强度大小的关系是Ed＞Ea＞Eb＞Ec
【解答】解：ABD.根据电场强度与电场力的关系可知，F﹣q图像的斜率表示电场强度E，由图可知，a、b、c、d对应图线的斜率均大于零，则a、b、c、d的电场强度方向相同，则a、b、c、d四个位置一定在同一条电场线上；由图知，a、b、c、d对应图线的斜率从大到小依次为：d、a、b、c，则a、b、c、d的电场强度大小的关系是Ed＞Ea＞Eb＞Ec；故A错误，BD正确；
C.因为a、b、c、d四个位置在同一条电场线，但并不知道该电场线的方向，所以无法确定a、b、c、d的电势高低；故C错误；
故选：BD。
（多选）9．（4分）如图所示，用粗细均匀、横截面积为S、电阻率为ρ的金属丝制成半径为R的金属圆环，在金属圆环内有半径为r的圆形区域，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t的变化关系为B＝B0+kt，其中B0、k均为大于零的常量，在金属圆环中，下列说法正确的是（　　）
A．感应电流的方向为逆时针
B．感应电动势的大小为πkR2
C．感应电流的大小为
D．感应电流的热功率为
【解答】解：A、穿过圆环的磁通量向里增加，由楞次定律可知，感应电流的方向为逆时针，故A正确；
B、由B＝BQ+kt得：，根据法拉第电磁感应定律得，故B错误；
C、圆环周长 L＝2π R，电阻为，则感应电流的大小为，故C错误；
D、感应电流的热功率为，故D正确。
故选：AD。
（多选）10．（4分）如图甲所示，物块A和B叠放在水平地面上。敲击B，B立即获得水平向右的初速度v0，A、B都向右运动，A始终没有从B上滑落，最终两物块都运动至停下来。这段过程中，B的v﹣t关系图线如图乙所示，已知A与B、B与地面间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　）
A．物块A和B的质量相等
B．A与B左端的距离至少为
C．摩擦力对A、B的总冲量大小之比为1：3
D．A和B间因摩擦产生的热量与B和地面间产生热量之比是1：3
【解答】解：A、设A的质量为mA，B的质量为mB，动摩擦因数大小为μ，根据图像可知B的加速度大小为aB，，对A根据牛顿第二定律有μmAg＝mAaA，对B根据牛顿第二定律有μmAg+μ（mA+mB）g＝mBaB，联立解得mA＝mB，故A正确；
C、A的初速度为零，最后和B静止在地面上，根据动量定理可知摩擦力对A的冲量大小为0，摩擦力对B的冲量大小为mBv0，故C错误；
B、开始时A加速，B减速运动，当A、B速度相等后一起减速运动，所以A与B左端的距离至少为，解得，故B错误；
D、A和B间因摩擦产生的热量为Q＝μmAgΔx，B与地面之间因摩擦产生的热量为Q'，整理得Q'，则Q：Q'＝1：3，故D正确。
故选：AD。
二、非选择题：本题共5小题，共60分。
11．（7分）某同学在实验室利用如图甲所示的仪器，运用玻意耳定律来测定一颗形状不规则的小物件的体积，实验过程如下：
（1）将小物件装入注射器主管内，通过拉活塞的方式改变封闭气体的体积和压强，操作过程中，下列说法正确的是 　AD　。
A.不能用手握住注射器的主管
B.要用手握住注射器主管以保持其稳定
C.若实验过程中不慎将活塞拉出针筒，将活塞塞回针筒后即可继续实验
D.若实验过程中不慎将活塞拉出针筒，必须清除之前获得的数据，重做实验
（2）实验中通过针筒上的刻度读取了多组气体体积V和压强传感器采集的压强p，作出V图线，如图乙所示。若作出的图线为图乙中的直线①，与横、纵轴的交点坐标值分别是a、b，已知传感器和注射器连接处的塑料管容积为V0，则小物件的体积为 　b+V0　。
（3）若作出的图线为图乙中的曲线②，造成该现象的原因可能是 　见解析　。
【解答】解：（1）AB.实验需要控制气体的温度不变，操作中，不可用手握住注射器封闭气体部分，不能用手握住注射器的主管，故A正确，B错误；
CD.实验过程要控制气体的质量不变，若实验过程中不慎将活塞拔出针筒，则必须废除之前获得的数据，重做实验，这是为了保持气体质量不变，故C错误，D正确。
故选：AD。
（2）根据玻意耳定律p（V+V0﹣V物）＝C
变形得
结合图乙可知，图像的纵截距b＝V物﹣V0
因此，小物件的体积V物＝b+V0
（3）图乙中图像的斜率k＝pV＝CT
图象向上弯曲，图像的斜率变大，造成这种情况的原因是气体的温度升高。
故答案为：（1）AD；（2）b+V0；（3）见解析。
12．（10分）某研究小组用如图所示的实验电路来测量待测电源的电动势E1和内阻r1，已知灵敏电流表G的内阻为Rg，贴有刻度标尺的电阻丝AB总长度为L，总阻值为R。
（1）甲同学只闭合开关S1，调节滑片P至不同位置，读出并记录多组AP长度值x及对应的灵敏电流表G的示数I，绘制x的图线，图线的斜率为k，截距为b，则E1＝ 　　，r1＝ 　　。
（2）乙同学先闭合开关S2调节滑动变阻器R1至适当位置，读取此时电流表A的示数I0；再闭合S1，调节滑片P至灵敏电流表G的示数为零，读取此时的AP长度值为x0，则C点电势和滑片触点P电势 　相等　（填“相等”或“不相等”），E1＝ 　　。
（3）关于两个同学的实验方案说法正确的是 　CD　。
A.甲同学闭合开关S1前应将滑片移至B端
B.乙同学方案中，两个电源的电动势要满足E1＞E2
C.若电阻丝AB粗细不均匀，会影响乙同学实验结果
D.乙同学方案中，选择灵敏度更高的灵敏电流表G可以减小测量误差
【解答】解：（1）只闭合开关S1，AP之间的接入电阻
根据闭合电路的欧姆定律E1＝I（Rx+Rg+r1）
联立解得
结合图像，图像斜率
解得电动势
图像的纵截距
解得内阻
（2）闭合开关S2，调节滑动变阻器R1至适当位置，此时电流表A的示数I0；
在闭合开关S1，调节滑片P至灵敏电流表G的示数为零，则C点电势和滑片触点P电势相等；
根据欧姆定律
由于灵敏电流表G的示数为零，因此；
（3）A.为了保证电路安全，甲同学闭合开关S1前应将滑片移至B端，故A正确；
B.根据实验原理，乙同学方案中，电动势E1相当于E2外电路中的部分电压，因此两个电源的电动势要满足E1＜E2，故B错误；
C.乙同学方案中，把电阻丝看成粗细均匀的导体，利用了导体的电阻与导体的长度成正比的关系，因此若电阻丝AB粗细不均匀，会影响乙同学实验结果，故C正确；
D.根据实验原理，乙同学方案中，要求灵敏电流计的示数为零，因此选择灵敏度更高的灵敏电流表G可以减小测量误差，故D正确。
故选：CD。
故答案为：（1）；；（2）相等；；（3）CD。
13．（10分）如图所示是某种透明材料制成的一块柱形棱镜的截面ABOCD，矩形ABOD的底边BO宽为0.5R，圆弧CD的圆心角∠DOC＝90°，圆半径为R，其上有一点M，∠COM＝30°，棱镜置于空气中，一束光线从M点沿半径方向入射，经O点反射后在AB边上恰好发生全反射，已知光在空气中的传播速度为c，不考虑部分光线在出射点的反射情况，求：
（1）该棱镜的折射率n；
（2）光线在该棱镜中传播的总时间t。
【解答】解：（1）光线从M点沿半径方向入射，其光路如图所示：
根据反射定律可知：∠BON＝∠COM＝30°
则临界角：C＝θ＝∠BON＝30°
根据临界角计算公式可得：sinC
解得：n＝2；
（2）根据几何关系可得：ON
在△ONP中，根据正弦定理可得：，解得：α＝30°
所以最终光线垂直于BC射出。
根据几何关系可知PO⊥ON，则：PN，解得：PN
PQ＝Rcosα，解得：PQR
光在玻璃砖中通过的路程：s＝ON+PN+PQ，解得：sR
光在玻璃砖中传播速度为：v
光线在该棱镜中传播的总时间：t
解得：t。
答：（1）该棱镜的折射率为2；
（2）光线在该棱镜中传播的总时间为。
14．（15分）如图所示，一轻质弹簧竖直放置在水平地面上，其下端固定，上端栓接一个质量为2m，厚度可忽略不计的薄板。薄板静止时，弹簧的压缩量为a，现有一个质量为m的物块从距薄板正上方某高度处自由下落，与薄板碰撞后即粘连在一起，碰撞时间极短。之后，物块与薄板一起在竖直方向上做往复运动，在这个过程中，弹簧的最大形变量为2.5a，若弹簧原长和弹性限度满足题设条件，不计空气阻力。
（1）试证明物块与薄板一起在竖直方向上的往复运动是简谐运动。
（2）已知物块从刚与薄板粘连在一起到第一次运动到最高点所用的时间为t，求物块与薄板的简谐运动的周期T？
（3）要使物块与薄板做的简谐运动的振幅为2.5a，物块要从距离薄板多大的高度处自由下落？
【解答】解：（1）设弹簧的劲度系数为k，薄板静止时，根据平衡条件2mg＝ka，可得
以平衡位置为原点，向下为正方向建立坐标系。设物块与薄板在平衡位置下方x处，此时弹簧弹力F弹＝k（x+a）
系统所受合力F＝（m+2m）g﹣F弹
联立得：
可见，系统所受合力F与位移x成正比，且方向与位移方向相反，满足简谐运动的条件，所以物块与薄板一起在竖直方向上的往复运动是简谐运动。
（2）由题意，质量为2m的薄板静止时，弹簧的压缩量为a，由胡克定律F＝kx可知，当物块与薄板碰撞后即粘连在一起，此时平衡位置为1.5a，之后，物块与薄板一起在竖直方向上做往复运动，在这个过程中，弹簧的最大形变量为2.5a，所以简谐运动的振幅为a，所以结合题意可知物块与薄板从粘在一起到第一次运动到最高点，此过程经过了（）个周期，已知此过程所用时间为t，所以周期T＝1.2t。
（3）设物块从距离薄板h处自由下落，与薄板碰撞前瞬间速度为v0，根据自由落体运动公式有：。
物块与薄板碰撞过程动量守恒，设碰撞后共同速度为v，规定初速度方向为正方向，则有：mv0＝（m+2m）v
已知简谐运动的振幅为2.5a，根据机械能守恒定律得：（m+2m）g（0.5a+2.5a）
由（1）知：
联立得：h＝18a
答（1）证明过程如上述；
（2）已知物块从刚与薄板粘连在一起到第一次运动到最高点所用的时间为t，则物块与薄板的简谐运动的周期为1.2t；
（3）要使物块与薄板做简谐运动的振幅为2.5a，物块要从距离薄板18a的高度处自由下落。
15．（18分）如图所示，无限长的两水平边界间划分了三个区域，中间的矩形ABCD区域分布有竖直方向的匀强电场（图中未画出），边界AB的左侧分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界CD的右侧分布有垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子从P点竖直向下射入左侧磁场，速度大小为v，经磁场偏转，粒子第一次穿过边界AB进入电场时，速度方向斜向上与边界AB的夹角为θ，之后以垂直边界CD的方向离开电场，并进入右侧磁场运动。最终，粒子从P点正下方的Q点，沿竖直方向射出场区。已知，匀强电场的电场强度大小始终不变，但粒子每次离开电场时，电场的方向会反向，点P和A间距为d，上、下边界间距为2d，sinθ＝0.6，不计粒子的重力，忽略边缘效应。求：
（1）左侧磁场的磁感应强度大小B1为多少？
（2）AD的间距L的最大值为多少？
（3）若边界AB和CD的间距为，则右侧磁场的磁感应强度大小B2的最大值为多少？
【解答】解：（1）粒子在左侧磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为R1，如下图所示：
已知：sinθ＝0.6，则cosθ＝0.8
根据几何关系得：R1+R1cosθ＝d
解得：
根据洛伦兹力提供向心力得：
解得：
（2）粒子在电场中做类斜抛运动，水平方向分速度大小为vx＝vsinθ，竖直方向分速度大小为vy＝vcosθ。要使AD的间距L最大，粒子恰好在D点垂直CD边界进入右边磁场。设粒子在电场中运动时间为t，则有：
在竖直方向上有：，解得：
在水平方向上有：
即AD的间距L的最大值为；
（3）粒子在右侧磁场中做匀速圆周运动，设其轨道半径为R2，要使B2最大，则R2最小。
粒子做周期性运动的运动轨迹如下图所示，由P点到M点为一个运动周期。
当边界AB和CD的间距为时，设粒子在电场中运动时间为t1，则有：
在水平方向上有：vxt1，解得：t1
在竖直方向上有：Δy
粒子运动一个周期在竖直方向上下移的距离（即图中的PM的长度）为：
h＝2R1sinθ﹣2Δy+2R2
最终粒子从P点正下方的Q点沿竖直方向射出场区，需满足：
h≥R1
nh＝2d，n＝1、2、3……
联立可得：R2
解得：n＝3时，R2取最小值，且最小值为：Rmin
由洛伦兹力提供向心力得：
解得磁感应强度大小B2的最大值为：
答：（1）左侧磁场的磁感应强度大小B1为；
（2）AD的间距L的最大值为；
（3）右侧磁场的磁感应强度大小B2的最大值为。
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