上海市杨浦区2016届高三上学期期末“3+1”质量调研数学（理科）（解析版）

2016年上海市杨浦区高考数学一模试卷（理科）
　
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知矩阵，，则A+B=　　　　　　．
2．已知全集U=R，集合，则集合?UA=　　　　　　．
3．已知函数，则方程f﹣1（x）=4的解x=　　　　　　．
4．某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布　　　　　　平方米．
5．无穷等比数列{an}（n∈N*）的前n项的和是Sn，且，则首项a1的取值范围是　　　　　　．
6．已知虚数z满足2z﹣=1+6i，则|z|=　　　　　　．
7．执行如图所示的流程图，则输出的S的值为　　　　　　．

8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人不在同一个食堂就餐的概率是　　　　　　．
9．展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x的系数为　　　　　　．
10．若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为　　　　　　．
11．如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=　　　　　　．

12．已知，当x∈[a，a+1]时不等式f（x+a）≥f（2a﹣x）恒成立，则实数a的最大值是　　　　　　．
13．抛物线C的顶点为原点O，焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线l交抛物线于点A，B，若AB中点的横坐标为3，则抛物线C的方程为　　　　　　．
14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为　　　　　　．
　
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15．下列四个命题中，为真命题的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣d
C．若a＞|b|，则a2＞b2 D．若a＞b，则＜
16．设、是两个单位向量，其夹角为θ，则“”是“|﹣|＜1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17．对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中真命题是（　　）
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
C．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
18．下列函数中，既是偶函数，又在（0，π）上递增的函数的个数是（　　）
①y=tan|x|
②y=cos（﹣x）
③
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充．已知金字塔的每一条棱和边都相等
（1）求证：直线AC垂直于直线SD．
（2）若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？

20．某农场规划将果树种在正方形的场地内．为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树． 在如图里，你可以看到规划种植果树的列数（n），果树数量及松树数量的规律：
（1）按此规律，n=5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量an，及松树数量bn关于n的表达式．
（2）定义：f（n+1）﹣f（n）（n∈N*）为f（n）增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由．

21．如图，在一条景观道的一端有一个半径为50米的圆形摩天轮O，逆时针15分钟转一圈，从A处进入摩天轮的座舱，OA垂直于地面AM，在距离A处150米处设置了一个望远镜B．
（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜B中仔细观看．问望远镜B的仰角θ应调整为多少度？（精确到1度）
（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD，发现取景的视角α恰为45°，求绿化带BD的长度（精确到1米）．

22．如图，曲线Γ由两个椭圆T1：和椭圆T2：组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．
（1）若猫眼曲线Γ过点，且a，b，c的公比为，求猫眼曲线Γ的方程；
（2）对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；
（3）若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN面积的最大值．

23．已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T?f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数
（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由．
（2）证明是T倍周期函数，且T的值是唯一的．
（3）若f（n）（n∈N*）是2倍周期函数，f（1）=1，f（2）=﹣4，Sn表示f（n）的前n 项和，Cn=，若Cn＜loga（a+1）+10恒成立，求a的取值范围．
　

2016年上海市杨浦区高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知矩阵，，则A+B=　　．
【考点】几种特殊的矩阵变换．
【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．
【分析】直接利用矩阵的和分运算法则求解即可．
【解答】解：矩阵，，
∴=．
故答案为：．
【点评】本题考查矩阵的和的求法，是基础题．
　
2．已知全集U=R，集合，则集合?UA=　{x|x＜1或x≥2}　．
【考点】补集及其运算．
【专题】计算题；集合．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R，求出A的补集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）≤0，且x﹣2≠0，
解得：﹣1≤x＜2，即A={x|﹣1≤x＜2}，
∵全集U=R，
∴?UA={x|x＜1或x≥2}，
故答案为：{x|x＜1或x≥2}
【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．
　
3．已知函数，则方程f﹣1（x）=4的解x=　1　．
【考点】反函数；对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足f﹣1（x）=4的x值，即求f（4）的值．
【解答】解：由题意得，即求f（4）的值
∵，，
∴f（4）=log3（1+2）=1，
∴f（4）=1．
即所求的解x=1．
故答案为1．
【点评】本题主要考查了反函数的概念，互为反函数的两个函数的函数值和关系，属于基础题．
　
4．某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布　16π　平方米．
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】求出球的半径，可得球的表面积，即可得出结论．
【解答】解：∵球的直径为4米，
∴半径为2米，
∴球的表面积为4π?22=16π平方米．
故答案为：16π平方米．
【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．
　
5．无穷等比数列{an}（n∈N*）的前n项的和是Sn，且，则首项a1的取值范围是　（0，）∪（，1）　．
【考点】数列的极限．
【专题】计算题；极限思想；分析法；等差数列与等比数列．
【分析】根据所给的前n项和的极限的值，做出首项和公比之间的关系，根据公比的范围，得到首项的范围，解不等式即可．
【解答】解：设无穷等比数列{an}的公比为q，|q|＜1且q≠0，
由，
又无穷等比数列的求和公式Sn=，
即q=1﹣2a1，
即有|1﹣2a1|＜1且|1﹣2a1|≠0，
解得a1∈（0，）∪（，1）．
故答案为：（0，）∪（，1）．
【点评】本题考查了无穷等比数列的前n项和公式，极限的运算法则及其不等式的解法问题，本题解题的关键是运用无穷等比数列的求和公式来解题．
　
6．已知虚数z满足2z﹣=1+6i，则|z|=　　．
【考点】复数求模．
【专题】计算题．
【分析】设出复数，写出复数对应的共轭复数的式子，把设出的结果代入等式中，合并同类项，写成复数的标准形式，利用复数的相等的充要条件，写出a和b的值，得到结果．
【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi，
∵虚数z满足2z﹣=1+6i，
∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）=1+6i，
∴a+3bi=1+6i，
∴a=1，3b=6，
∴a=1，b=2，
∴|z|=，
故答案为：
【点评】本题需要先对所给的复数式子整理，展开运算，得到a+bi的形式，主要依据复数相等的条件，本题可以作为一个选择或填空出现在高考卷的前几个题目中．
　
7．执行如图所示的流程图，则输出的S的值为　　．

【考点】程序框图．
【专题】操作型；等差数列与等比数列；算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，
其中S=+++…+= [（1）+（﹣）+（﹣）+…+（）]=×（1）=，
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是程序框图，裂项相消法求和，分析出循环的功能是解答的关键．．
　
8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人不在同一个食堂就餐的概率是　　．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计．
【分析】先求出在同一个食堂就餐的概率，从而求出不在同一个食堂就餐的概率即可．
【解答】解：三名学生选择每一个食堂的概率均为，
则他们同时选中A食堂的概率为：××=；
他们同时选中B食堂的概率也为：××=；
故们在同一个食堂用餐的概率P=+=，
故三个人不在同一个食堂就餐的概率是：，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率问题，作差即可，是一道基础题．
　
9．展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x的系数为　﹣56　．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理．
【分析】由条件利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得展开式中x的系数．
【解答】解：由于展开式的二项式系数之和为2n=256，n=8，
故它的展开式的通项公式为 Tr+1=?（﹣1）r?，令=1求得r=3，可得展开式中x的系数为﹣=﹣56，
故答案为：﹣56．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题
　
10．若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为　36　．
【考点】极差、方差与标准差．
【专题】计算题；转化思想；概率与统计．
【分析】根据方差是标准差的平方，数据增加a，方差不变，数据扩大a，方差扩大a2倍，可得答案．
【解答】解：数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，
则数a1，a2，a3，a4，a5的方差为4，
∴数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为4×32=36，
故答案为：36
【点评】本题考查的知识点是极差、方差与标准差，熟练掌握方差与标准差之间的关系，及数据增加a，方差不变，数据扩大a，方差扩大a2倍，是解答的关键．
　
11．如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=　　．

【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【专题】平面向量及应用．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．通过向量的坐标运算及共面向量定理即可得出．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
设A（a，0），C（0，b），则B（a，b）．
∵AB=3AE，BC=3CF，
∴E，F．
∵=+，
∴（a，b）=+，
∴，解得λ+μ=．
故答案为：．

【点评】本题考查了向量的坐标运算及共面向量定理，属于基础题．
　
12．已知，当x∈[a，a+1]时不等式f（x+a）≥f（2a﹣x）恒成立，则实数a的最大值是　﹣2　．
【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．
【专题】综合题；函数思想；分类法；函数的性质及应用．
【分析】根据分段函数，讨论其单调性，根据单调性得出a≥2x在x∈[a，a+1]时恒成立，只需求出右式的最大值即可．
【解答】解：二次函数x2﹣4x+3的对称轴是x=2；
∴该函数在（﹣∞，0]上单调递减；
∴x2﹣4x+3≥3；
同样可知函数﹣x2﹣2x+3在（0，+∞）上单调递减；
∴﹣x2﹣2x+3＜3；
∴f（x）在R上单调递减；
∴x+a≤2a﹣x恒成立，
∴a≥2x在x∈[a，a+1]时恒成立，
∴a≤﹣2，
故答案为﹣2．
【点评】考查了分段函数的单调性判断和恒成立问题的转换．
　
13．抛物线C的顶点为原点O，焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线l交抛物线于点A，B，若AB中点的横坐标为3，则抛物线C的方程为　y2=4x　．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】通过设抛物线C方程为y2=2px（p＞0），则直线l方程为y=x﹣，两者联立并结合韦达定理即中点坐标公式计算即得结论．
【解答】解：由题可设抛物线C方程为：y2=2px（p＞0），则F（，0），
∵直线l过焦点且倾斜角为，
∴直线l方程为：y=x﹣，
联立直线l与椭圆方程，消去y整理得：x﹣3px+=0，
∵AB中点的横坐标为3，
∴3×2=3p，即p=2，
∴抛物线方程为：y2=4x，
故答案为：y2=4x．

【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
　
14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为　（，）　．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】作出f（x）的图象，根据交点个数判断直线的临界位置．根据导数与切线的关系列出方程解出．
【解答】解：当2≤x≤3时，f（x）=（x﹣2）2+2，当3≤x≤4时，f（x）=（x﹣3）2+3，作出f（x）在[0，4]上的函数图象如图，
设y=k1x与f（x）在[2，3]上的图象相切于（x1，y1），y=k2x与f（x）在[3，4]上的图象相切于（x2，y2），
则，，解得k1=2﹣4，k2=4﹣6．
由函数的对称性可知，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，
则k1＜k＜k2．
故答案为（，）．

【点评】本题考查了函数的图象变换，导数与切线的关系，图象的交点个数与零点的关系，属于中档题．作出函数图象是关键．
　
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15．下列四个命题中，为真命题的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣d
C．若a＞|b|，则a2＞b2 D．若a＞b，则＜
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】A，若a＞b，当c=0时，ac2=bc2，可判断A；
B，令a=3，b=2，c=2，d=0，可判断B；
C，利用不等式的性质可判断C；
D，令a=2＞﹣1=b，可判断D．
【解答】解：A，若a＞b，当c=0时，ac2=bc2，A错误；
B，若a=3，b=2，c=2，d=0，满足a＞b，c＞d，但a﹣c=1＜b﹣d=2，故B错误；
C，若a＞|b|，则a2＞|b|2=b2，正确；
D，若a=2＞﹣1=b，则＞﹣1，故＜错误．
故选：C．
【点评】本题考查不等式的基本性质及应用，特值法是解决选择题的良好方法，属于中档题．
　
16．设、是两个单位向量，其夹角为θ，则“”是“|﹣|＜1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据充分条件和必要条件和向量的应用进行判断即可．
【解答】解：若，则?=||||cosθ=cosθ∈（，），
|﹣|===，
∵cosθ∈（，），
∴2cosθ∈（1，），
则2﹣2cosθ∈（2﹣，1），则＜1，
即|﹣|＜1成立，即充分性成立；
∵|﹣|===，
∴由|﹣|＜1得＜1得2﹣2cosθ＜1，
则cosθ＞，则0≤θ＜，k∈Z，即必要性不成立；
即“”是“|﹣|＜1”的充分不必要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的数量积的应用是解决本题的关键．
　
17．对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中真命题是（　　）
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
C．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】在A中：n∥α或n?α；在B中，m与β相交、平行或l?β；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由线面垂直和面面垂直的性质得m⊥n．
【解答】解：在A中：若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，故A错误；
在B中：若m∥α，α⊥β，则m与β相交、平行或l?β，故B错误；
在C中：若m∥α，n∥β，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；
在D中：若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直和面面垂直的性质得m⊥n，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面的位置关系的合理运用．
　
18．下列函数中，既是偶函数，又在（0，π）上递增的函数的个数是（　　）
①y=tan|x|
②y=cos（﹣x）
③
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件，利用三角函数的奇偶性和单调性，得出结论．
【解答】解：由于下列函数中，对于函数①y=tan|x|，当x=时，函数无意义，故①不满足条件．
对于②y=cos（﹣x）=cosx为偶函数，且在（0，π）上递减，故②不满足条件．
对于③=﹣cosx 为偶函数，且在（0，π）上递增，故③满足条件．
当x∈（0，π）时，∈（0，），tan单调递增，
故=是偶函数，且在（0，π）上递减，故④不满足条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
　
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充．已知金字塔的每一条棱和边都相等
（1）求证：直线AC垂直于直线SD．
（2）若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）连结AC，BD，由正方形的性质得出AC⊥BD，由等腰三角形三线合一得出AC⊥SO，故而AC⊥平面SBD，于是AC⊥SD；
（2）正四棱锥的棱长为3，计算棱锥的高和底面积，代入体积公式计算四棱锥的体积．
【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，则O为线段BD中点，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
在△SBD中，∵SA=SC，∴SO⊥AC，
∵SO∩BD=O，SO?平面SBD，BD?平面SBD，
∴AC⊥平面SBD，∵SD?平面SBD，
∴AC⊥SD
（2）由题意得正四棱锥边长为3米．
∴BO==．
棱锥的高SO===．
∴立方米．
答：需要立方米填充材料．

【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于基础题．
　
20．某农场规划将果树种在正方形的场地内．为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树． 在如图里，你可以看到规划种植果树的列数（n），果树数量及松树数量的规律：
（1）按此规律，n=5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量an，及松树数量bn关于n的表达式．
（2）定义：f（n+1）﹣f（n）（n∈N*）为f（n）增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由．

【考点】数列的应用．
【专题】计算题；应用题；等差数列与等比数列．
【分析】（1）由题意知，n=1时，果树1棵，松树9﹣1=8棵，n=2时，果树4棵，松树25﹣9=16棵，从而类比可得n=5时，果树25棵，松树121﹣81=40棵；从而可得，bn=8n；
（2）化简，bn+1﹣bn=8（n+1）﹣8n=8，从而判断．
【解答】解：（1）由题意知，
n=1时，果树1棵，松树9﹣1=8棵，
n=2时，果树4棵，松树25﹣9=16棵，
n=3时，果树9棵，松树49﹣25=24棵，
n=4时，果树16棵，松树81﹣49=32棵，
n=5时，果树25棵，松树121﹣81=40棵；
故，bn=8n；
（2），
bn+1﹣bn=8（n+1）﹣8n=8，
当n≤3时，2n+1＜8，松树增加的速度快；
当n≥4时，2n+1＞8，果树增加的速度快．
【点评】本题考查了数列的应用及数列的增长速度的判断，属于中档题．
　
21．如图，在一条景观道的一端有一个半径为50米的圆形摩天轮O，逆时针15分钟转一圈，从A处进入摩天轮的座舱，OA垂直于地面AM，在距离A处150米处设置了一个望远镜B．
（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜B中仔细观看．问望远镜B的仰角θ应调整为多少度？（精确到1度）
（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD，发现取景的视角α恰为45°，求绿化带BD的长度（精确到1米）．
【考点】正弦定理．
【专题】应用题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】（1）因为摩天轮做匀速转动，逆时针15分钟转一圈，可得5分钟转过120°，过点C作CH⊥AB于点H，利用解三角形可得望远镜B的仰角θ；
（2）由题意可求CD，利用正弦定理即可解得BD的长度．
【解答】（本题，第1小题，第2小题6分）
解：（1）∵逆时针15分钟转一圈，
∴5分钟转过120°
过点C作CH⊥AB于点H，
则CH=50+50?sin（120°﹣90°）=75

∴，
∴
答：望远镜的仰角θ设置为35°
（2）在△BCD中，θ=35°，α=45°，
∴∠CDH=80°
∴
由正弦定理得：
∴
答：绿化带的长度为94米．
【点评】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是作出正确的示意图，然后再由三角形中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件，求解三角形的边与角，是中档题．
　
22．如图，曲线Γ由两个椭圆T1：和椭圆T2：组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．
（1）若猫眼曲线Γ过点，且a，b，c的公比为，求猫眼曲线Γ的方程；
（2）对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；
（3）若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN面积的最大值．

【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；证明题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意知， ==，从而求猫眼曲线Γ的方程；
（2）设交点C（x1，y1），D（x2，y2），从而可得，联立方程化简可得，k?kON=﹣2；从而解得；
（3）设直线l的方程为，联立方程化简，从而可得，同理可得，从而利用两平行线间距离表示三角形的高，再求；从而求最大面积．
【解答】解：（1）由题意知，， ==，
∴a=2，c=1，
∴，∴；
（2）证明：设斜率为k的直线交椭圆T1于点C（x1，y1），D（x2，y2），线段CD中点M（x0，y0），
∴，
由得，
∵k存在且k≠0，
∴x1≠x2，且x0≠0，
∴，
即；
同理，k?kON=﹣2；
∴；
（3）设直线l的方程为，
联立方程得，
化简得，，
由△=0化简得m2=b2+2c2，
，
联立方程得，
化简得，
由△=0得m2=b2+2a2，
，
两平行线间距离：，
∴；
∴△ABN的面积最大值为．
【点评】本题考查了学生的化简运算的能力及椭圆与直线的位置关系的判断与应用．
　
23．已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T?f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数
（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由．
（2）证明是T倍周期函数，且T的值是唯一的．
（3）若f（n）（n∈N*）是2倍周期函数，f（1）=1，f（2）=﹣4，Sn表示f（n）的前n 项和，Cn=，若Cn＜loga（a+1）+10恒成立，求a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；抽象函数及其应用；函数的周期性．
【专题】新定义；函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据定义设：h（x+T）=T?h（x），得出x+T=T?x对任意x恒成立，显然不成立；
（2）根据定义设：h（x+T）=T?h（x），得出对任意x恒成立，可得 ，求解T，并判断唯一性即可；
（3）若f（n）是2倍周期函数，f（3）=f（1+2）=2f（1）=2，f（4）=f（2+2）=2f（2）=﹣8，同理可求出f（2n﹣1）=f（2n﹣3+2）=2f（2n﹣3）=2n﹣1，进而求出，，通过比值判断Cn的单调性，进而求出Cn的最大值，最后得出loga（a+1）＞﹣1，分别讨论a的不同情况，求出a的取值范围．
【解答】（1）设：h（x+T）=T?h（x）
则 x+T=T?x对任意x恒成立
∵T无解
∴h（x）=x不是T倍周期函数
（2）设：g（x+T）=T?g（x）
则对任意x恒成立
，

下证唯一性：
若，矛盾
若，矛盾
∴是唯一的
（3）f（3）=f（1+2）=2f（1）=2，
f（5）=f（3+2）=2f（3）=22
f（7）=f（5+2）=2f（5）=23…
f（2n﹣1）=f（2n﹣3+2）=2f（2n﹣3）=2n﹣1
f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n﹣1）=1+2+22+…+2n﹣1=2n﹣1
同理：f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）=﹣4（1+2+22+…+2n﹣1）=﹣4（2n﹣1）
∴
同理：，

C1=﹣3C2=9
显然：n≥2Cn＞0且 
∵2（2n）2﹣7?（2n）+3＜2（2n）2﹣5?（2n）+3
∴即单调递减
∴（Cn）max=C1=9
∵Cn＜loga（a+1）+10恒成立，
∴loga（a+1）+10＞（Cn）max=9
∴loga（a+1）＞﹣1
①a＞1时 解得：a＞1
②0＜a＜1时 解得：，
∴或 a＞1
【点评】本题综合性强，考查了对新定义的理解，利用新定义，结合数列解决恒成立问题．属于难度较大的题型．