认识二元一次方程组
学习目标
1.通过实例了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，并会判断一个数是不是某个二元一次方程组的解。
2.培养学生用数学知识解决实际问题的能力，发展观察、归纳、概括的能力。
学习重点：二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
难点：二元一次方程解的概念。
学习过程
一、预习导航
1.雄伟的长城是中华民族的象征。据有关资料，长城西起嘉峪关，东至辽东虎山，全长约7300千米。其中西段从嘉峪关到山海关，东段从山海关到辽东虎山，西段比东段长约6100千米。长城的东西段各长约多少千米？
（1）已知量是 ；未知量是 ；
（2）等量关系有 、 ；
（3）如果设长城的东段长为x千米，你能用一元一次方程球解吗？
列式为： 。
（4）如果设长城的东段长为x千米，西段长为y千米，那么长城的全长用方程表示为：① ；西段比东段的长用方程表示为： ② 。
（5）观察上面的方程① ②，是一元一次方程吗，为什么？
（6）方程①②有什么共同特点？与以前学过的一元一次方程比有什么区别？你能给它取名字吗？
（7）你能给它下一个定义吗？ 叫做二元一次方程。
（5）、（6）、（7）先独立思考，然后进行小组交流
【注意】二元一次方程必须必须符合以下三个条件：①方程中只含有两个未知数；②所含未知数的项的次数都是1；③方程是整式方程。
二、典型精析：
方程①②中的x所表示的意义相同吗? y呢?为什么？
把上面的方程①②联立，写成 x+y=7300 ①
y-x=6100 ② 就得到一个二元一次方程组。再如：
3x=2y+3 y=1
2x+y=5 ， 3x+y=－2 也都是二元一次方程组，请你再举几个二元一次方程组的例子。
如： x=600
y=6700是否适合方程①也同时适合方程②？它是否是方程①②的公共解。
【总结】二元一次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解。
三、基础练习：
1、下列方程中是二元一次方程的有哪些？
① xy＋3x =5 ② y =3x ③＋4 x =5; ④x＋ =; ⑤x - 2y=2; ⑥ 3x＋4y .
2、把下列各对数代入二元一次方程3x+4y=19。
x=0 x= 1 x=5
y=1 y=4 y=1 哪些能使方程两边的值相等？
【结论】适合二元一次方程的 未知数的值，叫做这个二元一次方程组的 。
小练习：请写出二元一次方程2x+y=10的两个解
x= x=
y= y=
3、【思考】二元一次方程的解是唯一的吗? 是不是任意一对有理数都是它的解?举例说明。
【结论】一元一次方程只有一个解,而二元一次方程有无限解,
4、在下列方程组中,哪一个方程组的解是 x=－
y=2
（1） 3x+y=0 （2） 3x-y=－4
x-2y=－ 3x+10y=14
四、达标测试：
1. x=5y xy=5 x+2y=4 y=3
（1） ； （2） x-y=4 ； （3） 2x-y=28 ；（4） x=4z-1
其中二元一次方程组的个数为（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4
2.方程2x+y=9在正整数范围内的解有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.若关于x、y的二元一次方程组 x+y=5k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为 。 x-y=9k
A.－ B. C. － D.
4.根据下列条件，列出二元一次方程组：
有鸡和兔共有82只，合计脚数共254只，求鸡和兔各有多少只？
五、分层作业
必做题：课本P50 1、2、4、题 选做题：课本 P51 5题
六、个案补充
二元一次方程组的解法
学习目标
1.探索二元一次方程组的解法，体验“消元”方法和转化的数学思想。
2.会用代入消元法解二元一次方程组。
3.尝试用不同方法解二元一次方程组。
4.积极参与数学活动，努力探索二元一次方程组的解法，发展探究问题的能力。
学习重点 会用代入法解二元一次方程组
学习难点 灵活运用代入法的技巧“消元”，把“二元”转化为“一元”。
学习过程
一、预习导航
1.已知方程x-2y=4，先用含x的代数式表示y，则y= ；
再用含y的代数式表示x，则x= ；
比较哪一种形式比较简单。
2.二元一次方程组 3x-2y=4 的解是（ ）
5x-2y=6
A x=1 B. x=－1 C. x=1 D. x=－1
y=1 y=1/2 y=－1/2 y=－1/2
3.阅读课本“情景导航” ，完成以下填空。【小组讨论（1）—（3）题，然后独立完成（4）题，师生共同归纳】
（1）设长城的东西段长x千米，那么长城的西段就是 千米或 千米，根据题意，得一元一次方程： 或 。
（2）设长城的东西段长x千米，长城的西段长y千米，根据题意，得： ①
y-x=6100②
（3）上面的一元一次方程我们会解，能否把二元一次方程转化为一元一次方程呢？
由方程②，得 y= ③，
如果用方程③中的代数式代替方程①中的y，那么方程①就变成了关于x的一元一次方程： 。这样，我们就把二元一次方程组转化成了一元一次方程，由这个方程就可以求出x了。
（4）解：由方程②，得 y= ③
把③代入①，得
解这个方程，得 x=
把 x= 代入方程③，得 y=
所以，原方程组的解是 x=
y=
【试一试】如果由方程①得x=7300-y ③，你能解这个二元一次方程组吗？
【归纳】这种解法是将方程组中的一个方程的某一个未知数，用含有另一个未知数的代数式表示出来，然后将它代入到另一个方程中，化为一元一次方程，这就是代入消元法，简称代入法．
（5）【归纳】代入法解二元一次方程组的基本思路，先独立完成然后小组交流。
①基本思路是：设法消去一个未知数，把二元一次方程组转化为 。
②解二元一次方程组的一般步骤是：
a.变形（y=ax+b） ?； ??????也可变形为（x= my + n） b.代入 ；???代入 ； c.解一元一次方程得（x ）； 解 ； d.把x代入y=ax+b求解；??? 把 ；
【方法技巧】对于一般形式的二元一次方程组，用代入法求解的关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选择恰当往往会使计算简单，而且不易出错，选取的原则是：（1）选择未知数的系数是1或-1的方程；（2）常数项为0的方程；（3）若未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程，将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代入没有变形的方程中去。
二、典例精析
例1.? 解方程组? 3x=1-2y?? ?①
???????? ? 5x-4y=31???②?先思考下面两个问题，再写出解题步骤。
（1）观察上面的方程组，应该如何消元?有几种消元的方法？
（2）如何检验得到的结果是否正确？
方法1解： 方法2解：
三、达标测试，巩固提高
1.由2x+3y=7可变形为y = ，也可变形为 x= 。
2.用代入法解二元一次方程组
（1） m-2n=3 （2） 3x+4y=18
4m+5n=-1 x + y=4
解： 解：
（3） y-2x = -2 （4） x+2y=3
y-4=2x+1 5（x-9）=6（y-2）
解： 解：
四、分层作业，发展个性
1、必做题:P55 复习与巩固 1题 。2、选做题：P56 拓展与延伸 7题。
五、个案补充或反思
第16课时：10.2 二元一次方程组的解法 (2)
学习目标
1、探索二元一次方程组的解法，体验“消元”方法和转化的数学思想。
2、会用加减消元法解二元一次方程组。
3、培养学生自主学习能力及探究问题能力。
学习重点：会用加减消元法解二元一次方程组
学习难点：灵活运用代入消元法及加减消元法解二元一次方程组
学习过程：
一、预习导航：
1、① 解二元一次方程组的基本思想是???????.
②解二元一次方程组的基本步骤:_____________________________________.?
③等式的基本性质一：如果a=b，那么_____________或________________.
解方程组：
【探究】此方程组中未知数的系数有什么特点？这个特点对解方程有什么作用？
用代入法解二元一次方程的基本思想是 ，只有消去一个未知数，才能把???? 转化为熟悉的一元方程求解.? 这个方程中未知数x的系数?????????? ，只要把这两个方程的左边与左边??????? 、右边与右边????? ，就能消去x从而把它转化为一元一次方程。把方程①两边分别加上方程②的两边，相当于把方程①的两边分别加上两个相等的整式,从而达到消元的目的。
【归纳】方程组中的两个方程，未知数的系数 ，把这两个方程两边分别 ，消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫加减消元法，简称加减法。
二、典例精析：
1、解方程组：
【学法指导】怎样解这个方程组呢?系数有什么特点？用什么方法消去一个未知数?先消哪个未知数比较方便？还有其它解法吗？??
【归纳总结】
1．当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用何种方法解较好？
2．当方程组中某一未知数系数的绝对值相等时，用何种方法解较好？
3．当方程组中某一未知数系数绝对值不相等，但成整倍数关系时，用何种方法较好？
基础练习
1、用加减法解方程组，若先求x的值，应先将两个方程 ，若先求y的值，应先将两个方程_____________.
2、解方程组：⑴
3、已知是方程组的解，求（a＋b）(a－b)的值．
四、达标测试
填空：
（1）已知方程组两个方程只要两边 就可以消去未知数 。
（2）已知方程组两个方程只要两边 就可以消去未知数 。
2、用加减法解下列方程组：
(1) (2) (3)
3、是关于、的二元一次方程，求、的值。
4、已知方程组的解x和y互为相反数，求k的值．
五、 布置作业
必做题 课本P55 习题 2题 选做题 课本P56 习题 9题
六、个案补充或反思
三元一次方程组
学习目标：
1、探索三元一次方程组的解法，体验“消元”方法和转化的数学思想。
2、会用代入法和加减法解三元一次方程组。
3、能结合具体问题，尝试用不同解法解三元一次方程组。
学习重点：会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组
学习难点：灵活运用代入消元和加减消元法解三元一次方程组
学习过程：
一、预习导航：
1、小亮与爸爸、爷爷三人年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差。他们三人的年龄分别是多少？
解：设小亮、爸爸、爷爷年龄分别是x岁，y岁，z岁。
根据题意，得:
像这样，含有三个未知数的一次方程组，叫做三元一次方程组。?
怎样解这个三元一次方程组呢？你能从二元一次方程组的解法中得到哪些启示？
归纳总结：解三元一次方程组的基本思路也是消元。通过消元，转化成二元一次方程组或一元一次方程，消元的基本方法有代入法和加减法。
请你自己试着求出这个三元一次方程组的解
二、典例精析：
y+2z=5 ①
例1 解方程组 3x-2y+3z=1 ②
2x+3y-2z=-3 ③
基础练习、
__ （填“是”或“不是”）三元一次方程组的解。
若，则x+y+z=___________
四、达标测试，巩固提高
1 解下列方程组：
（1） (2)
五、 布置作业 必做 课本P58 练习1题 选做 课本P60 复习1题
六、个案补充或反思
第18课时 10.3 三元一次方程组(2)
学习目标：
1、探索三元一次方程组的解法，体验“消元”方法和转化的数学思想。
2、灵活运用代入法和加减法解三元一次方程组。
学习重点：会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组
学习难点：灵活运用代入消元和加减消元法解三元一次方程组
学习过程：
一、预习导航：
2x-3y+2z=2 ①
例2 解方程组 3x+4y-2z=5 ②
4x+5y-4z=2 ③
温馨提示：1、方程①和方程②中，z的系数分别是____和______，方程③中z的系数为_______，可以将①② ________,就可以消去未知数z；
2、方程③中未知数z的系数是____,可以把方程①的两边都乘2，使z的系数和方程 ③中z的系数_____(填“相等”或 “相反”），利用加减法消去方程①③中的z；
3、通过前两步的整理，可以得到一个关于x和y的二元一次方程组，进一步求解即可。
二、典例精析：
x+y=5/2 ①
例3 解方程组 y+z=3 ②
x+z=3/2 ③
（温馨提示：根据方程组系数的特点，可以灵活地进行消元，用两种方法尝试解题。）
解法1：用加减消元法 解法2：三方程相加
三、基础练习：
1 解下列方程组：
3x-2y+2z=3 2x+3y-2z=10
（1） -2x+4y+3z=-3 (2) -3x+2y+2z=-1
5x+2y-3z=-12 -2x+2y+2z=0
达标测试：
四、 布置作业：
必做 课本P60 练习10.3 1题 选做 课本P60 习题10.3 3题
五、个案补充或反思
列方程组解决问题
学习目标：
能根据具体问题的数量关系，列出二元一次方程组，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的应用意识和解决问题的能力
学习难点：找出等量关系。?
学习过程：
一、预习导航：
1、行程问题的基本数量关系是__________________。
2、一艘轮船在水速为3千米/时的河流中航行，若是顺水航行速度是________， 如是逆水航行，速度是________。
3、长江上一艘游船从沙市港出发。船速为17千米/时,经过若干小时达到宜昌港。如果船速增加1千米/时，那么用同样多的时间，游船可达到宜昌上游9千米处的葛洲坝。提速前游船由沙市港航行到宜昌港所用的时间是多少？沙市港到宜昌港的航程是多少？
思考并回答下列问题
（1）已知量有 ；未知量有 。
（2）等量关系是 ； 。
（3）如果设游船航行所用的时间为x时，沙市港到宜昌港的航程是y千米，请你根据问题中的两个等量关系列出方程组________ _ __。
你会解答本题了吗？请规范的解答本题。
典例精析：
例1 小亮和小莹练习赛跑。如果小亮让小莹先跑10米，那么小亮跑5秒就追上小莹；如果小亮让小莹先跑2秒，那么小亮跑4秒就追上小莹。两人每秒各跑多少米？
例2 （中国古代数学问题）有若干只鸡和兔放在同一个笼子里。从上面看，有35个头；从下面看，有94只脚。问笼子里有几只鸡？几只兔？
基础练习
为丰富学生的业余生活，体育委员小亮到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍，如购买一副羽毛球拍和一副乒乓球拍共需50元，小亮一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，求每副羽毛球拍和每副乒乓球拍各多少元？
甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元，若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了多少张？
达标测试，巩固提高
1、某校办工厂有工人60名，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个．应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？
2、某班学生植树，若每人种7棵，则剩5棵；若每人种8棵，则有一人少种1棵，问有多少学生？多少棵树？
五、布置作业 必做 P63练习 1,2题 选做 P69习题10.4 1，2题
六、个案补充或反思
第20课时 10.4 列方程组解应用题 (2)
学习目标：
学生进一步学习经历和体验列二元一次方程组解决实际问题的过程，体验数学是解决实际问题的重要工具。2、体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。
学习重点：列二元一次方程组解应用题；
学习难点：正确的找出问题中的等量关系
一、预习导航：
1、①解二元一次方程组的基本步骤是什么???
? ②列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
例3 2010年4月份中国民航国内和国际航线运送旅客总人数共2160万人，其中，国内和国际航线运送旅客人数比2009年4月份分别增长13.2%和28.8%，2009年4月份国内航线和国际航线运送旅客总人数为1894万人，那么2009年4月份国内和国际航线运送旅客分别有多少万人(结果精确到万人）？
填表后解题
如果设2009年4月份中国民航国内航线运送旅客x万人，国际航线运送旅客y万人，
2009年4月份
2010年4月份
国内航线运送人数/万人
x
国际航线运送人数/万人
y
合计/万人
题目中的等量关系是
①___________________ ②__________________________
典例精析
例4、果园要将一批水果运往某地，打算租用某汽车运输公司的甲、乙两种货车，过去两次租用这两种货车的信息如下表所示：（如表），现打算租用该公司3辆甲种车和5辆乙种车，可一次刚好运完这批水果，如果每顿运费为30元，果园应付运费多少元？
第一次
第二次
甲种货车车辆数/辆
2
5
乙种货车车辆数/辆
3
6
累计运货量/吨
15.5
35
等量关系：
①______________________②_______________________
三、基础练习：
1、一、二两班共有95人，体育锻炼的达标率是60%，如果一班达标率是40%，二班达标率是78%，求一、二班的人数各是多少？
?
某校办工厂去年总收入比总支出多50万，今年的总收入比去年增加10%，总支出节约20%，因而总收入比总支出多100万元，求去年总收入和总支出？
甲乙两种商品的原价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%后，甲乙两种商品的单价和比原来单价和提高了2%，求甲乙两种商品的原价各是多少元？
4、某公司用30000元购进两种货物，货物卖出后，一种货物的利润是10%，另一种是11%，共得到利润3150元，问两种货物各进货多少元？
四、达标测试：列方程组解下列应用题:
1、某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店是赚了还是赔了？若是赚，赚了多少元？若是赔，赔了多少元？
?2、购买甲种图书10本和乙种图书16本共付款410元，甲种图书比乙种图书每本贵15元，问甲、乙两种图书每本各卖多少元？
3、某工厂甲乙两车间原定计划生产足球共163个，结果甲车间完成自己计划的120%，乙车间完成自己计划的150%，实际生产足球219个，问甲乙两车间实际各生产足球多少个？?
4、某工厂生产一批零件，若15人手工做，2台机器做，一天可生产435个零件；若9人手工做，5台机器做，一天共生产717个零件．问一人手工做和一台机器做每天各生产多少个零件？
五、布置作业
必做 课本65页练习1、2题
选做 课本 69页习题10.4 3、5题。
六、个案补充或反思
第21课时 10.4 列方程组解应用题 (3)
学习目标：
1、学生进一步学习经历和体验列三元一次方程组解决实际问题的过程，体验数学是解决实际问题的重要工具。
2、体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。
学习重点：列三元一次方程组解应用题
学习难点：正确的找出问题中的等量关系
一、预习导航：
①解三元一次方程组的基本步骤是_________________________________??
??????②列方程组解决实际问题的一般步骤是_____________________________
二、典例分析：
例5、一个三位数，三位数字之和是12，个位数字是百位数字与十位数字之和的2倍，百位数字是十位数字的3倍，求这个三位数。
例6、（中国古代数学问题）今有上等黍3捆，中等黍2捆，下等黍1捆，共打出黍米39斗；又有上等黍2捆，中等黍3捆，下等黍1捆，共打出黍米34斗；再有上等黍1捆，中等黍2捆，下等黍3捆，共打出黍米26斗。问每捆上、中、下黍各能打出黍米多少斗
三、基础练习
1、有一个三位数，它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，个位数字与十位数字的和等于8，百位数字与个位数字互相调换后所得的三位数比原数大99，求这个三位数．
2. 甲、乙两人骑自行车从同一地点向相同的方向行驶，乙走30分钟后，甲才出发，经过3小时追上乙．如果甲的速度每小时增加1千米，那么可以提前1小时追上乙．问甲、乙两人原来的速度各是多少？
四、达标测试：
1、甲、乙、丙三种商品，若购甲4件，乙7件，丙1件，共需36元；若购甲5件，乙9件，丙1件，共需45元；若购甲、乙、丙各1件，共需______元．
2、某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电冰箱，已知该厂家生产三种不同型号的电冰箱，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.
(1)某商场同时购进其中两种不同型号电冰箱共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)该商场销售一台甲种电冰箱可获得150元，销售一台乙种电冰箱可获利200元，销售一台丙种冰箱可获利250元，在同时购进两种不同型号的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？
五、布置作业
课本70页习题10.4 6、8题。
六、个案补充或反思
