17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
知识点1 勾股定理的证明
拼图法证明勾股定理的思路：（1）图形经过切割、拼接后， 不会改变；（2）根据同一图形面积的不同表示方法列出等式，推导出勾股定理.
1.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若用x，y分别表示直角三角形的两直角边（x＞y），用z表示直角三角形的斜边.
要求小正方形的面积，不难发现：
①小正方形的面积可以表示为 ；
②小正方形的面积还可以表示为
由①②得x,y,z的关系式为
知识点2 勾股定理
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 .
2.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边长分别是a，b，c，∠C=90°，且c=13，a=12，则b等()
A.11 B.8 C.5 D.3
3.(昆明西山区期末)斜边长是4的直角三角形，它的两条直角边长可能是 ()
A．3，5 B．2，3 C．3， D．2，2
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，则BC等于 ()
A.1 B. C. D.
第4题图 第5题图
5.(玉溪峨山县期末)如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，在三角形外作三个正方形，若正方形P的边长等于5，正方形Q的边长等于3，则正方形R的面积是 .
6.直角三角形的斜边长为10，一直角边长是另一直角边长的3倍，则直角三角形较短的直角边长为 .
7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC的长.
8.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，则AB2+AC2+BC2的值为 ()
A.18 B.9 C.6 D.无法计算
9.(玉溪一中期末)如图，在△ABC中，AC＝4，∠ACB＝90°，M是AC的中点，CD平分∠ACB交AB于点D，P是CD上一动点，则PM+PA的最小值为 ()
A.2
B.
C.2
D．4
10.如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为 .
第10题图 第11题图
11.如图，在Rt△ABC中，斜边AC=25，BC=2，分别以边AB,AC,BC为直径画半圆，所得阴影图案的面积是 ．
12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E.已知CD＝6，AD＝10，求：
（1）线段AE的长；
（2）△ABC的面积．
13.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理（其中∠DAB=90°）.求证：a2+b2=c2．
易错提醒：在未确定直角三角形的直角边和斜边长度时，应进行分类讨论.
14.已知一个直角三角形的其中两边长分别是1和2，则第三边的长 ．
易错提醒：当题图未给出时，高可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部.
15.(大理祥云县期末)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝2，AB＝AC，则BC的长为 ．17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理的应用
知识点1 勾股定理的应用
应用：（1）在直角三角形中，已知两边，利用勾股定理可求第三边；（2）在直角三角形中，a,b为直角边，c为斜边,勾股定理的变式：①c=;②a=;③b=.
1.如图，现有一长方形公园，如果小鹏要从A景点到C景点，那么他至少要走 ()
A.900 m B.1 000 m
C.1 200 m D.1 400 m
第1题图 第2题图
2.如图，一棵树在离地面4.5 m处断裂，树的顶部落在离底部6 m处，则这棵树折断之前的长为()
A.10.5 m B.7.5 m C.12 m D.8 m
3.某养殖厂有一个长2 m，宽1.5 m的长方形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应为 m.
4.小军发现学校旗杆上端的绳子垂直到地面还多了1 m，他把绳子斜着拉直，使下端刚好触地，此时绳子下端距旗杆底部5 m，那么旗杆的高度为多少？
知识点2 根据勾股定理在数轴上表示无理数
方法：把a写成()2=m2+n2（m，n为正整数）的形式，然后作一个直角三角形，使两直角边长分别为m，n，则斜边长为.
5.(保山隆阳区期中)如图，以原点O为圆心，OB为半径画弧，所作弧与数轴相交于点A，则点A在数轴上表示的数为 ．
第5题图 第6题图
6.(昆明盘龙区期末)小明学习了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，记原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3(如图)，再以点O为圆心，OB为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是 .
知识点3 勾股定理与网格图形
7.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为2，△ABC的三个顶点均在格点上，则BC边的长为 ()
A．6 B．2
C．2 D．3
第7题图 第8题图
8.如图，在4×4的正方形网格中，a,b,c,d四条线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有 条．
9.(玉溪红塔区期末)如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为 ()
A． B．+2
C．-2 D．2
第9题图 第10题图
10.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为 ()
A．2 B． C． D．2
11.如图，一根长5 m的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，这时AO为4 m，若竹竿的顶端A沿墙下滑2 m至C处，则竹竿底端B外移的距离BD ()
A．小于2 m B．等于2 m
C．大于2 m D．以上都不对
第11题图 第12题图
12.一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面直径为5 cm，高为12 cm，吸管放进杯里(如图所示)，杯口外面至少要露出4.6 cm，则吸管的最短长度是 cm.
13.如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处.若∠AOC=90°，点A与点B的高度差AD=1 m，水平距离BD=4 m，则点C与点B的高度差CE为 m.
14.超速行驶是交通事故的主要原因.上周末,小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在距离公路l 100 m的P处.这时，一辆轿车由西向东匀速驶来,测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3 s,并测得∠APO=60°,∠BPO=45°，试判断此车是否超过了80 km/h 的限制速度
【教材P39T12变式】
变式1 利用勾股定理求立方体中的最短路径
15.(昆明五华区期末)如图，正方体的棱长为2 cm，B为一条棱的中点．则蚂蚁在正方体表面从点A爬到点B的最短路程是 ()
A． cm B．4 cm
C． cm D．5 cm
第15题图 第16题图
变式2 利用勾股定理求阶梯中的最短路径
16.在一个长为2 m，宽为1 m的矩形草地ABCD上，如图堆放着一根长方体木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蜗牛从点A处爬到点C处的最短路程是 m．17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理的应用
知识点1 勾股定理的应用
应用：（1）在直角三角形中，已知两边，利用勾股定理可求第三边；（2）在直角三角形中，a,b为直角边，c为斜边,勾股定理的变式：①c=;②a=;③b=.
1.如图，现有一长方形公园，如果小鹏要从A景点到C景点，那么他至少要走 (B)
A.900 m B.1 000 m
C.1 200 m D.1 400 m
第1题图 第2题图
2.如图，一棵树在离地面4.5 m处断裂，树的顶部落在离底部6 m处，则这棵树折断之前的长为(C)
A.10.5 m B.7.5 m C.12 m D.8 m
3.某养殖厂有一个长2 m，宽1.5 m的长方形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应为2.5m.
4.小军发现学校旗杆上端的绳子垂直到地面还多了1 m，他把绳子斜着拉直，使下端刚好触地，此时绳子下端距旗杆底部5 m，那么旗杆的高度为多少？
解：如图，AB即为绳子的长度，AC为旗杆的高度，
且∠ACB=90 °，AC=AB-1，BC=5 m.
设AC=x m，则AB=(x+1) m，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2,
即(x+1)2=x2+25，解得x=12，
即AC=12 m.
答：旗杆的高度为12 m. 答图
知识点2 根据勾股定理在数轴上表示无理数
方法：把a写成()2=m2+n2（m，n为正整数）的形式，然后作一个直角三角形，使两直角边长分别为m，n，则斜边长为.
5.(保山隆阳区期中)如图，以原点O为圆心，OB为半径画弧，所作弧与数轴相交于点A，则点A在数轴上表示的数为-．
第5题图 第6题图
6.(昆明盘龙区期末)小明学习了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，记原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3(如图)，再以点O为圆心，OB为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是.
知识点3 勾股定理与网格图形
7.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为2，△ABC的三个顶点均在格点上，则BC边的长为 (A)
A．6 B．2
C．2 D．3
第7题图 第8题图
8.如图，在4×4的正方形网格中，a,b,c,d四条线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有2条．
9.(玉溪红塔区期末)如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为 (C)
A． B．+2
C．-2 D．2
第9题图 第10题图
10.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为 (A)
A．2 B． C． D．2
11.如图，一根长5 m的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，这时AO为4 m，若竹竿的顶端A沿墙下滑2 m至C处，则竹竿底端B外移的距离BD (A)
A．小于2 m B．等于2 m
C．大于2 m D．以上都不对
第11题图 第12题图
12.一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面直径为5 cm，高为12 cm，吸管放进杯里(如图所示)，杯口外面至少要露出4.6 cm，则吸管的最短长度是17.6cm.
13.如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处.若∠AOC=90°，点A与点B的高度差AD=1 m，水平距离BD=4 m，则点C与点B的高度差CE为4.5m.
14.超速行驶是交通事故的主要原因.上周末,小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在距离公路l 100 m的P处.这时，一辆轿车由西向东匀速驶来,测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3 s,并测得∠APO=60°,∠BPO=45°，试判断此车是否超过了80 km/h 的限制速度
解：在Rt△APO中，
∠APO=60 °，
则∠PAO=30 °.
∴AP=2OP=200 m.
∴AO===100(m).
在Rt△BOP中，∠BPO=45 °，
则BO=OP=100 m.
∴AB=AO-BO=100-100≈73(m).
∴从A到B小车行驶的速度为73÷3≈24.3(m/s)=87.48 km/h>80 km/h.
∴此车超过了80 km/h的限制速度.
【教材P39T12变式】
变式1 利用勾股定理求立方体中的最短路径
15.(昆明五华区期末)如图，正方体的棱长为2 cm，B为一条棱的中点．则蚂蚁在正方体表面从点A爬到点B的最短路程是 (C)
A． cm B．4 cm
C． cm D．5 cm
第15题图 第16题图
变式2 利用勾股定理求阶梯中的最短路径
16.在一个长为2 m，宽为1 m的矩形草地ABCD上，如图堆放着一根长方体木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蜗牛从点A处爬到点C处的最短路程是2.6m．17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
知识点1 勾股定理的证明
拼图法证明勾股定理的思路：（1）图形经过切割、拼接后，面积不会改变；（2）根据同一图形面积的不同表示方法列出等式，推导出勾股定理.
1.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若用x，y分别表示直角三角形的两直角边（x＞y），用z表示直角三角形的斜边.
要求小正方形的面积，不难发现：
①小正方形的面积可以表示为(x-y)2；
②小正方形的面积还可以表示为.
由①②得x,y,z的关系式为x2+y2=z2.
知识点2 勾股定理
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
2.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边长分别是a，b，c，∠C=90°，且c=13，a=12，则b等(C)
A.11 B.8 C.5 D.3
3.(昆明西山区期末)斜边长是4的直角三角形，它的两条直角边长可能是 (C)
A．3，5 B．2，3 C．3， D．2，2
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，则BC等于 (B)
A.1 B. C. D.
第4题图 第5题图
5.(玉溪峨山县期末)如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，在三角形外作三个正方形，若正方形P的边长等于5，正方形Q的边长等于3，则正方形R的面积是16.
6.直角三角形的斜边长为10，一直角边长是另一直角边长的3倍，则直角三角形较短的直角边长为.
7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC的长.
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90 °.
在Rt△ABD中，
AD2=AB2-BD2=32-22=5.
在Rt△ADC中，
AC==.
∴AC的长为.
8.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，则AB2+AC2+BC2的值为 (A)
A.18 B.9 C.6 D.无法计算
9.(玉溪一中期末)如图，在△ABC中，AC＝4，∠ACB＝90°，M是AC的中点，CD平分∠ACB交AB于点D，P是CD上一动点，则PM+PA的最小值为 (C)
A.2
B.
C.2
D．4
10.如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为17.
第10题图 第11题图
11.如图，在Rt△ABC中，斜边AC=25，BC=2，分别以边AB,AC,BC为直径画半圆，所得阴影图案的面积是4．
12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E.已知CD＝6，AD＝10，求：
（1）线段AE的长；
（2）△ABC的面积．
解：(1)∵∠C=90 °，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E，
∴DE=CD=6.
∴在Rt△ADE中，
AE===8；
(2)设BC=x，则BE=x，AB=8+x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即162+x2=(8+x)2.
解得x=12，即BC=12.
∴S△ABC=×AC×BC=×16×12=96．
13.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理（其中∠DAB=90°）.求证：a2+b2=c2．
答图
证明：如图，连接BD，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a.
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC
=b2+ab，
S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB
=c2+a(b-a)，
∴b2+ab=c2+a(b-a).
∴a2+b2=c2．
易错提醒：在未确定直角三角形的直角边和斜边长度时，应进行分类讨论.
14.已知一个直角三角形的其中两边长分别是1和2，则第三边的长为或．
易错提醒：当题图未给出时，高可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部.
15.(大理祥云县期末)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝2，AB＝AC，则BC的长为或．
