17.2 勾股定理的逆定理
知识点1 逆命题与逆定理
1.下列定理中，没有逆定理的是 (B)
A.等腰三角形的两个底角相等
B.对顶角相等
C.三边对应相等的两个三角形全等
D.直角三角形中两个锐角的和等于90°
2.下列命题的逆命题是真命题的是 (D)
A.若a=b，则|a|=|b|
B.同旁内角互补
C.如果两个实数相等，那么它们的平方也相等
D.两直线平行，同位角相等
3.请写出命题“直角都相等”的逆命题，并判断所写逆命题的真假.
解：逆命题是相等的角都是直角，为假命题.
知识点2 勾股定理的逆定理
内容：如果△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形.
4.下列各组数中，能构成直角三角形的三边长度的是 (C)
A.3,5,7 B.,,
C.0.3,0.5,0.4 D.5,22,23
5.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式+|a-b|=0，则△ABC是 (B)
A.等腰三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.无法确定
6.(昭通期中)下列选项中不能判定△ABC是直角三角形的是 (B)
A．∠A∶∠B∶∠C=2∶5∶7
B．AB=，BC=，AC=
C．AB=，BC=，AC=
D．AB∶BC∶AC=1∶1∶
7.在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，三边分别为下列长度.判断该三角形是不是直角三角形，若是直角三角形，指出哪一个角是直角.
(1)a=5，b=7，c=9；
(2)a=2，b=，c=；
(3)a=5，b=2，c=1；
(4)a=1.5，b=2.5，c=2.
解：(1)a2=25,b2=49,c2=81,
∵a2+b2=74≠81，即a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形；
(2)a2=4,b2=3,c2=7,
∴a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角；
(3)a2=25,b2=24,c2=1,
∴a2=b2+c2.
∴△ABC是直角三角形，且∠A是直角；
(4)a2=2.25,b2=6.25,c2=4,
∴a2+c2=b2.
∴△ABC是直角三角形，且∠B是直角.
知识点3 勾股数
概念：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.
8.在下列长度的各组线段中，是勾股数的是 (B)
A.2.5，6，6.5
B.6，8，10
C.4，5，6
D.3，，2
9.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列命题中是假命题的是 (B)
A.若∠C-∠B=∠A，则△ABC是直角三角形
B.若c2=b2-a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C.若(c+a)(c-a)=b2，则△ABC是直角三角形
D.若∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶3，则△ABC是直角三角形
10.如图，网格中正方形的边长均为1，则△ABC是 (A)
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.无法判断
11.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数学九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500 m，则该沙田的面积为 (A)
A.7.5 km2 B.15 km2
C.75 km2 D.750 km2
12.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线为68 cm，则这个桌面合格（填“合格”或“不合格”）.
13.观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37.则第⑥组勾股数为16，63，65．
14.(德宏州期末)在△ABC中，已知AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则DE的长度是．
15.如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向南偏东40°的方向航行，乙船以12海里/时的速度向另一方向航行.3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距60海里，则乙船航行的方向是北偏东多少度？
解：如图，设BC与正东方向交于点D，
由题意，得∠1=40 °，
AC=16×3=48(海里)，
AB=12×3=36(海里)，
BC=60海里.
∵AC2=482=2 304，
AB2=362=1 296， 答图
BC2=602=3 600，
∴AC2+AB2=BC2.
∴△ABC是直角三角形，
且∠BAC=90 °.
∴∠2=90 °-∠1=50 °,
即乙船航行的方向是北偏东50 °.
【教材P34T5变式】
变式1 运用勾股定理的逆定理求角度
16.如图是一个零件的示意图，测得AB=4 cm，BC=3 cm，CD=12 cm，AD=13 cm，∠ABC=90°，根据这些条件，则∠ACD=90 °.
第16题图 第17题图
变式2 运用勾股定理的逆定理求面积
17.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=AD=1，CD=3，且∠B=90°，则四边形ABCD的面积为.17.2 勾股定理的逆定理
知识点1 逆命题与逆定理
1.下列定理中，没有逆定理的是 ()
A.等腰三角形的两个底角相等
B.对顶角相等
C.三边对应相等的两个三角形全等
D.直角三角形中两个锐角的和等于90°
2.下列命题的逆命题是真命题的是 ()
A.若a=b，则|a|=|b|
B.同旁内角互补
C.如果两个实数相等，那么它们的平方也相等
D.两直线平行，同位角相等
3.请写出命题“直角都相等”的逆命题，并判断所写逆命题的真假.
知识点2 勾股定理的逆定理
内容：如果△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形.
4.下列各组数中，能构成直角三角形的三边长度的是 ()
A.3,5,7 B.,,
C.0.3,0.5,0.4 D.5,22,23
5.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式+|a-b|=0，则△ABC是 ()
A.等腰三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.无法确定
6.(昭通期中)下列选项中不能判定△ABC是直角三角形的是 ()
A．∠A∶∠B∶∠C=2∶5∶7
B．AB=，BC=，AC=
C．AB=，BC=，AC=
D．AB∶BC∶AC=1∶1∶
7.在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，三边分别为下列长度.判断该三角形是不是直角三角形，若是直角三角形，指出哪一个角是直角.
(1)a=5，b=7，c=9；
(2)a=2，b=，c=；
(3)a=5，b=2，c=1；
(4)a=1.5，b=2.5，c=2.
知识点3 勾股数
概念：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.
8.在下列长度的各组线段中，是勾股数的是 ()
A.2.5，6，6.5
B.6，8，10
C.4，5，6
D.3，，2
9.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列命题中是假命题的是 ()
A.若∠C-∠B=∠A，则△ABC是直角三角形
B.若c2=b2-a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C.若(c+a)(c-a)=b2，则△ABC是直角三角形
D.若∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶3，则△ABC是直角三角形
10.如图，网格中正方形的边长均为1，则△ABC是 ()
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.无法判断
11.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数学九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500 m，则该沙田的面积为 ()
A.7.5 km2 B.15 km2
C.75 km2 D.750 km2
12.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线为68 cm，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）.
13.观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37.则第⑥组勾股数为 ．
14.(德宏州期末)在△ABC中，已知AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则DE的长度是 ．
15.如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向南偏东40°的方向航行，乙船以12海里/时的速度向另一方向航行.3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距60海里，则乙船航行的方向是北偏东多少度？
【教材P34T5变式】
变式1 运用勾股定理的逆定理求角度
16.如图是一个零件的示意图，测得AB=4 cm，BC=3 cm，CD=12 cm，AD=13 cm，∠ABC=90°，根据这些条件，则∠ACD= .
第16题图 第17题图
变式2 运用勾股定理的逆定理求面积
17.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=AD=1，CD=3，且∠B=90°，则四边形ABCD的面积为 .
