18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角特征
知识点1 平行四边形的定义
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用符号“?”表示，平行四边形ABCD记作 ABCD.
1.如图，点P在?ABCD内，过点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中共有9个平行四边形.
第1题图 第2题图
2.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是平行四边形．
知识点2 平行四边形的边、角特征
特征：平行四边形对边平行且相等，对角相等，邻角互补.
3.如图，在?ABCD中，如果∠A=50°，则∠C的度数为 (B)
A.40°
B.50°
C.130°
D.150°
4.在?ABCD中，AD=4 cm，AB=2 cm，则?ABCD的周长等于 (A)
A.12 cm B.8 cm C.6 cm D.4 cm
5.(梧州中考)如图，在?ABCD中，E，G，H，F分别是AB，BC，CD，DA上的点，且BE=DH，AF=CG．求证：EF=HG．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠A=∠C.
∵BE=DH，
∴AB-BE=CD-DH，即AE=CH.
在△AEF和△CHG中，
AE=CH,
∠A=∠C,
AF=CG,
∴△AEF≌△CHG(SAS).
∴EF=HG．
知识点3 平行线间的距离
定义：两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
6.已知直线m∥n，如图，下列线段的长可以表示直线m与n之间的距离的是 (C)
A．只有AB B．只有AE
C．AB和CD均可 D．AE和CF均可
第6题图 第7题图
7.如图，已知AB∥CD，S△ACD=6 cm2，则S△BCD=6cm2.
8.如图，已知?ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（2，0），（-4，0），（0，3），则顶点C的坐标是(D)
A．（4，3） B．（-4，3）
C．（6，3） D．（-6，3）
第8题图 第9题图
9.如图，在?ABCD中，CE⊥AB，垂足为E.若∠D=75°，则∠BCE的度数为 (B)
A.105° B.15°
C.30° D.25°
10.如图，在?ABCD中，连接AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是 (C)
A. B.2
C.2 D.4
第10题图 第11题图
11.如图，?ABCD的周长为20，AE平分∠BAD交BC于点E，若CE=2，则AB的长是 (D)
A.10 B.8 C.6 D.4
12.如图，AC是?ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=108°，则∠BAC的度数是24 °．
第12题图 第13题图
13.（玉溪期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝60°，则∠B的度数为60 °.
14.如图，在?ABCD中，AB=AC,若?ABCD的周长为38 cm，△ABC的周长比?ABCD的周长少10 cm，求?ABCD的一组邻边的长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
且?ABCD的周长为38 cm，
∴AB+BC=38÷2=19(cm),AB=CD，AD=BC.
∵AB=AC,∴AB=AC=CD.
∵△ABC的周长比?ABCD的周长少10 cm,
即(AB+BC+CD+AD)-(AB+BC+AC)=10 cm,
又∵CD=AC，
化简，得AD=10 cm,∴BC=10 cm.
∴AB=CD=19-BC=9(cm).
即?ABCD的一组邻边的长分别是9 cm,10 cm.
15.如图，在?ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证：AB=CF；
(2)连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC.
∴∠B=∠ECF.
∵E是BC的中点，∴BE=EC.
在△ABE和△FCE中，
∠B=∠ECF，
BE=CE，
∠AEB=∠CEF，
∴△ABE≌△FCE(ASA).
∴AB=CF；
(2)∵AD=2AB，∴AD=AB+DC.
由△ABE≌△FCE,得AB=CF，AE=EF.
∴AD=DC+CF，即AD=DF.
∴△ADF是等腰三角形.
∵在等腰三角形ADF中，AE=EF，
∴DE⊥AF.
易错提醒：分两种情况讨论，容易漏解.
16.在?ABCD中，∠BAD的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则?ABCD的周长是22或20.18.1.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的特征
知识点1 平行四边形对角线的特征
性质：平行四边形的对角线互相平分.
1.如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=6 cm，则线段CO的长为 ()
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
第1题图 第2题图
2.如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，已知∠ODA=90°，AC=10 cm，BD=6 cm，则AD的长为()
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm
3.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.如果BD=12，AC=10，BC=m，那么m的取值范围是()
A.10＜m＜12
B.2＜m＜22
C.1＜m＜11
D.5＜m＜6
4.如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，若AB=8，BC=6，△AOD的周长是16，则△AOB的周长等于 .
第4题图 第5题图
5.如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=32，CD=12，则△ABO的周长是 .
知识点2 平行四边形的对角线与面积
公式：平行四边形的面积=底×高.
性质：如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则S△AOB=S△BOC=S△COD=S△DOA,S△AOB=S?ABCD.
6.如图，?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，则图中与△OBC面积相等的三角形(不包括自身)的个数是 ()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第6题图 第7题图
7.如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，AC⊥BC，若AD=8，AB=10，则△BOC的面积是 .
8.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若DO=1.5，AB=5，BC=4，求?ABCD的面积.
9.如图，在?ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为 ()
A.3 B.6 C.12 D.24
第9题图 第10题图
10.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为3，若?ABCD的周长为26，且BC＞AB,则BC的长为 ()
A.5 B.6 C.7 D.8
11.如图，过?ABCD对角线的交点O的直线交AD于点E，交BC于点F，若AB=4，BC=6，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长是 ()
A．16 B．15 C．14 D．13
第11题图 第12题图
12.如图，在?ABCD中，E是BC边上的动点，以AE为边构造?AEFG，使点D在边FG上，在点E由点B往点C运动的过程中，?AEFG面积变化情况是 ()
A．保持不变 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
13.如图，在?ABCD中，AE⊥BD于点E，∠EAC=30°，AC=12，则AE的长为 .
第13题图 第14题图
14.如图，?ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O，若OE⊥AC，连接AE，则△ABE的周长为 ．
15.（云南师范大学实验中学期中）如图所示，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N在对角线AC上，且AM=CN，求BM与DN的位置关系．
16.如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，AB=2，且AO∶BO=2∶3．
（1）求AC的长；
（2）求?ABCD的面积．18.1.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的特征
知识点1 平行四边形对角线的特征
性质：平行四边形的对角线互相平分.
1.如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=6 cm，则线段CO的长为 (C)
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
第1题图 第2题图
2.如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，已知∠ODA=90°，AC=10 cm，BD=6 cm，则AD的长为(A)
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm
3.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.如果BD=12，AC=10，BC=m，那么m的取值范围是(C)
A.10＜m＜12
B.2＜m＜22
C.1＜m＜11
D.5＜m＜6
4.如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，若AB=8，BC=6，△AOD的周长是16，则△AOB的周长等于18.
第4题图 第5题图
5.如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=32，CD=12，则△ABO的周长是28.
知识点2 平行四边形的对角线与面积
公式：平行四边形的面积=底×高.
性质：如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则S△AOB=S△BOC=S△COD=S△DOA,S△AOB=S?ABCD.
6.如图，?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，则图中与△OBC面积相等的三角形(不包括自身)的个数是 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第6题图 第7题图
7.如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，AC⊥BC，若AD=8，AB=10，则△BOC的面积是12.
8.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若DO=1.5，AB=5，BC=4，求?ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2DO=2×1.5=3(cm)，
CD=AB=5 cm.
∵BC=4 cm，
∴BC2＋BD2=CD2.
∴∠CBD=90 °，即DB⊥BC.
∴S?ABCD=BC·BD=4×3=12(cm2)．
9.如图，在?ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为 (C)
A.3 B.6 C.12 D.24
第9题图 第10题图
10.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为3，若?ABCD的周长为26，且BC＞AB,则BC的长为 (D)
A.5 B.6 C.7 D.8
11.如图，过?ABCD对角线的交点O的直线交AD于点E，交BC于点F，若AB=4，BC=6，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长是 (D)
A．16 B．15 C．14 D．13
第11题图 第12题图
12.如图，在?ABCD中，E是BC边上的动点，以AE为边构造?AEFG，使点D在边FG上，在点E由点B往点C运动的过程中，?AEFG面积变化情况是 (A)
A．保持不变 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
13.如图，在?ABCD中，AE⊥BD于点E，∠EAC=30°，AC=12，则AE的长为3.
第13题图 第14题图
14.如图，?ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O，若OE⊥AC，连接AE，则△ABE的周长为10．
15.（云南师范大学实验中学期中）如图所示，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N在对角线AC上，且AM=CN，求BM与DN的位置关系．
解：BM∥DN,
证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵AM=CN，
∴OM=ON.
在△BOM和△DON中，
OB=OD,
∠BOM=∠DON,
OM=ON,
∴△BOM≌△DON(SAS).
∴∠OBM=∠ODN.
∴BM∥DN．
16.如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，AB=2，且AO∶BO=2∶3．
（1）求AC的长；
（2）求?ABCD的面积．
解：(1)∵AC⊥AB，
∴∠BAO=90 °.
∵AO∶BO=2∶3，
∴设AO=2a，BO=3a.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO=4a.
在Rt△BAO中，由勾股定理，得
22+(2a)2=(3a)2，
解得a=，
∴AC=4a=；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥AB，
∴S?ABCD=AB·AC=2×=．18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角特征
知识点1 平行四边形的定义
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用符号“?”表示，平行四边形ABCD记作 ABCD.
1.如图，点P在?ABCD内，过点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中共有 个平行四边形.
第1题图 第2题图
2.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是 ．
知识点2 平行四边形的边、角特征
特征：平行四边形对边平行且相等，对角相等，邻角互补.
3.如图，在?ABCD中，如果∠A=50°，则∠C的度数为 ()
A.40°
B.50°
C.130°
D.150°
4.在?ABCD中，AD=4 cm，AB=2 cm，则?ABCD的周长等于 ()
A.12 cm B.8 cm C.6 cm D.4 cm
5.(梧州中考)如图，在?ABCD中，E，G，H，F分别是AB，BC，CD，DA上的点，且BE=DH，AF=CG．求证：EF=HG．
知识点3 平行线间的距离
定义：两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
6.已知直线m∥n，如图，下列线段的长可以表示直线m与n之间的距离的是 ()
A．只有AB B．只有AE
C．AB和CD均可 D．AE和CF均可
第6题图 第7题图
7.如图，已知AB∥CD，S△ACD=6 cm2，则S△BCD= cm2.
8.如图，已知?ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（2，0），（-4，0），（0，3），则顶点C的坐标是()
A．（4，3） B．（-4，3）
C．（6，3） D．（-6，3）
第8题图 第9题图
9.如图，在?ABCD中，CE⊥AB，垂足为E.若∠D=75°，则∠BCE的度数为 ()
A.105° B.15°
C.30° D.25°
10.如图，在?ABCD中，连接AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是 ()
A. B.2
C.2 D.4
第10题图 第11题图
11.如图，?ABCD的周长为20，AE平分∠BAD交BC于点E，若CE=2，则AB的长是 ()
A.10 B.8 C.6 D.4
12.如图，AC是?ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=108°，则∠BAC的度数是 ．
第12题图 第13题图
13.（玉溪期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝60°，则∠B的度数为 .
14.如图，在?ABCD中，AB=AC,若?ABCD的周长为38 cm，△ABC的周长比?ABCD的周长少10 cm，求?ABCD的一组邻边的长.
15.如图，在?ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证：AB=CF；
(2)连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF.
易错提醒：分两种情况讨论，容易漏解.
16.在?ABCD中，∠BAD的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则?ABCD的周长是 .
