18.1.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定2
知识点1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.依据各图中所标数据，下列一定为平行四边形的是 ()
A B
C D
2.四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（3，0），C（2，2），若要使四边形OABC为平行四边形，则点B的坐标为 ．
3.(曲靖期末)如图，在?ABCD中，E，F分别为AB，CD上两点，AE＝CF，连接DE，BF．求证：四边形DEBF为平行四边形．
知识点2 平行四边形判定方法的灵活选用
4.如图，在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的()
A．AD∥BC，AD=BC
B．AB=DC，AD=BC
C．OA=OC，OD=OB
D．AB∥DC，AD=BC
第4题图 第5题图
5.如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 ．
6.在四边形ABCD中，分别给出四个条件：①AB∥CD；②AD=BC；③∠A=∠C；④AB=CD．以其中的两个条件判定四边形ABCD为平行四边形，有 种不同的选择．
7.如图，在?ABCD中，过AC中点O的直线分别交CB，AD的延长线于点E，F，连接CF，AE，求证：四边形AECF为平行四边形．
8.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形．其中正确的个数是 ()
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第8题图 第9题图
9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12 cm，BC=15 cm，点P自点A向D以1 cm/s 的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2 cm/s的速度运动，到B点即停止，原四边形被直线PQ截为两个新四边形．则当P，Q同时出发 s后其中一个新四边形为平行四边形．
10.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：四边形ABED是平行四边形．
11.如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，AB∥CD．求证：AC与BD互相平分．
12.如图，E，F是?ABCD对角线AC上两点，且AE=CF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形;
（2）如果把条件“AE=CF”改为“BE⊥AC，DF⊥AC”，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
（3）如果把条件“AE=CF”改为“BE=DF”，还能证明四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？18.1.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定2
知识点1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.依据各图中所标数据，下列一定为平行四边形的是 (D)
A B
C D
2.四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（3，0），C（2，2），若要使四边形OABC为平行四边形，则点B的坐标为(5，2)．
3.(曲靖期末)如图，在?ABCD中，E，F分别为AB，CD上两点，AE＝CF，连接DE，BF．求证：四边形DEBF为平行四边形．
证明：在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF.
又∵BE∥DF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
知识点2 平行四边形判定方法的灵活选用
4.如图，在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的(D)
A．AD∥BC，AD=BC
B．AB=DC，AD=BC
C．OA=OC，OD=OB
D．AB∥DC，AD=BC
第4题图 第5题图
5.如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是AE=CF(答案不唯一)．
6.在四边形ABCD中，分别给出四个条件：①AB∥CD；②AD=BC；③∠A=∠C；④AB=CD．以其中的两个条件判定四边形ABCD为平行四边形，有3种不同的选择．
7.如图，在?ABCD中，过AC中点O的直线分别交CB，AD的延长线于点E，F，连接CF，AE，求证：四边形AECF为平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA,BC∥AD.
∴∠CEO=∠AFO.
在△CEO与△AFO中，
∠CEO=∠AFO，
∠COE=∠AOF，
OC=OA，
∴△CEO≌△AFO(AAS).
∴OE=OF.
∴四边形AECF为平行四边形.
8.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形．其中正确的个数是 (B)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第8题图 第9题图
9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12 cm，BC=15 cm，点P自点A向D以1 cm/s 的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2 cm/s的速度运动，到B点即停止，原四边形被直线PQ截为两个新四边形．则当P，Q同时出发4或5s后其中一个新四边形为平行四边形．
10.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：四边形ABED是平行四边形．
证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC．
∴BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
AB=DE，
AC=DF，
BC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
∴∠B=∠DEF．
∴AB∥DE．
又∵AB=DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
11.如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，AB∥CD．求证：AC与BD互相平分．
证明：如图，连接AD，BC，
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠DCE.
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90 °.
在△ABF和△CDE中，
∠BAF=∠DCE，
AF=CE，
∠AFB=∠CED，
∴△ABF≌△CDE(ASA).∴AB=CD. 答图
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AC与BD互相平分．
12.如图，E，F是?ABCD对角线AC上两点，且AE=CF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形;
（2）如果把条件“AE=CF”改为“BE⊥AC，DF⊥AC”，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
（3）如果把条件“AE=CF”改为“BE=DF”，还能证明四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
(1)证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD且AB∥CD.
∴∠BAE=∠DCF.
又∵AE=CF，
∴△BAE≌△DCF(SAS).
∴BE=DF，∠AEB=∠CFD.
∵∠BEF=180 °-∠AEB,∠DFE=180 °-∠CFD，
∴∠BEF=∠DFE.
∴BE∥DF.
∵BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
(2)解：四边形BFDE是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD且AB∥CD.
∴∠BAE=∠DCF.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA=∠DFC=90 °，BE∥DF.
∴△BAE≌△DCF(AAS).
∴BE=DF.
∴四边形BFDE是平行四边形；
(3)解：不能，理由如下：
根据条件“AB=CD，BE=DF，∠BAE=∠DCF”
，不能证明△BAE与△DCF全等，且不能证明BE∥DF,故不能证明四边形BFDE是平行四边形．18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定1
知识点1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．要判定四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件 ()
A．∠A+∠C=180°
B．∠B+∠A=180°
C．∠A=∠D
D．∠B=∠D
第1题图 第2题图
2.如图，在?ABCD中，点E，G在边AD上，点F，H在边BC上，若EF∥GH，则EF与GH的长度关系是 .
知识点2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.如图，在四边形ABCD中，AB=5，BC=8，当CD= ，AD= 时，四边形ABCD是平行四边形．
第3题图 第4题图
4.如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是
知识点3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5.要使四边形ABCD是平行四边形，其四个内角度数之比∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是 ()
A.1∶2∶2∶1 B.2∶2∶1∶1
C.1∶2∶3∶4 D.2∶1∶2∶1
6.在四边形ABCD中，已知∠A=∠C=52°，则当∠B= 时，四边形ABCD是平行四边形.
知识点4 对角线互相平分的四边形是平行四边形
7.在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果AC=8，BD=10，那么当AO= ，BO= 时，四边形ABCD为平行四边形.
8.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且E，F分别是OB，OD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形.
9.下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ()
A．AB=CD，AD=BC
B．AB∥CD，AD∥BC
C．∠A=∠C，∠B=∠D
D．AB=AD，CB=CD
10.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的玻璃，她带来的两块碎玻璃的编号应该是 ．
11.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．求证：四边形ABFC为平行四边形．
12.如图，在?ABCD中，∠ABC=60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD,EF⊥BC，CF=3.
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)求AB的长.
13.如图，在?ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交BC，AD于点G，H．
（1）求证：四边形AGCH是平行四边形；
（2）已知BE=4，FH=3，求DH的长．18.1.2 平行四边形的判定
第3课时 三角形的中位线
知识点1 三角形的中位线
定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
1.如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为 ()
A.2 B.4 C.6 D.8
2.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，∠B=60°，则∠ADE的度数为 ()
A.90° B.70° C.60° D.30°
第2题图 第3题图
3.如图，△ABC的周长为20 cm，D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为 ()
A.5 cm B.10 cm
C.15 cm D. cm
4.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，若OE＝10，则AB的长为 ()
A．20 B．22 C．24 D．26
第4题图 第5题图
5.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为()
A．8 B．10 C．12 D．16
6.如图是屋架设计图的一部分，D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=8 m,∠A=30°，则DE的长为 ()
A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m
第6题图 第7题图
7.如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD=20 m，则A，B之间的距离是 m.
8.如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF=1，则BD= .
第8题图 第9题图
9.（保山期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E为CD上一点且DE＝3EC，F，G分别是AE，BE的中点，若FG＝4 cm，则DE的长度为 cm．
10.如图，在△ABC中，DE是中位线，EF∥AB，EF交BC于点F.求证：F是BC的中点.
11.如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，若AB=1，BC=1.6，则EF的长为()
A．0.2
B．0.3
C．0.6
D．0.8
12.如图，D为△ABC的边AB的中点，DG∥BE交AE于点G，若CE=1 3AC，OE=2，则OB的长为 .
第12题图 第13题图
13.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，若AD=BC，∠FPE=140°，则∠PFE的度数是 .
14.如图，在△ABC中，点D在BC上，且DC=AC，CE⊥AD于点E，F是AB的中点，连接EF.
求证：EF∥BC.
15.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，连接MN，如果AB=10，BC=15，MN=3，求△ABC的周长．
16.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD求证：EF=(BC-AD).
易错提醒：对三角形的中位线的位置关系与数量关系理解错误.
17.在等腰直角三角形中，∠C=90°，AB=8，D，E分别是AB，BC边上的中点，则DE的长为 .18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定1
知识点1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．要判定四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件 (D)
A．∠A+∠C=180°
B．∠B+∠A=180°
C．∠A=∠D
D．∠B=∠D
第1题图 第2题图
2.如图，在?ABCD中，点E，G在边AD上，点F，H在边BC上，若EF∥GH，则EF与GH的长度关系是EF=GH.
知识点2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.如图，在四边形ABCD中，AB=5，BC=8，当CD=5，AD=8时，四边形ABCD是平行四边形．
第3题图 第4题图
4.如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
知识点3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5.要使四边形ABCD是平行四边形，其四个内角度数之比∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是 (D)
A.1∶2∶2∶1 B.2∶2∶1∶1
C.1∶2∶3∶4 D.2∶1∶2∶1
6.在四边形ABCD中，已知∠A=∠C=52°，则当∠B=128 °时，四边形ABCD是平行四边形.
知识点4 对角线互相平分的四边形是平行四边形
7.在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果AC=8，BD=10，那么当AO=4，BO=5时，四边形ABCD为平行四边形.
8.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且E，F分别是OB，OD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,
OB=OD.
∵点E，F分别是OB，
OD的中点，
∴OE=OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
9.下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 (D)
A．AB=CD，AD=BC
B．AB∥CD，AD∥BC
C．∠A=∠C，∠B=∠D
D．AB=AD，CB=CD
10.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的玻璃，她带来的两块碎玻璃的编号应该是②③．
11.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．求证：四边形ABFC为平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠CFE．
∵E是BC的中点，
∴BE=CE．
在△ABE和△FCE中，
∠BAE=∠CFE,
∠AEB=∠FEC,
BE=CE，
∴△ABE≌△FCE(AAS)．
∴AE=FE．
又∵BE=CE，
∴四边形ABFC是平行四边形．
12.如图，在?ABCD中，∠ABC=60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD,EF⊥BC，CF=3.
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)求AB的长.
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC,AB=CD.
∵AE∥BD,
∴四边形ABDE是平行四边形;
(2)解：由(1)知,AB=DE=CD,
即D为CE中点.
∵EF⊥BC,∴∠EFC=90 °.
∵AB∥CD,∴∠DCF=∠ABC=60 °.
∴∠CEF=30 °.∴CE=2CF=2.
∴AB=CD=CE=.
13.如图，在?ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交BC，AD于点G，H．
（1）求证：四边形AGCH是平行四边形；
（2）已知BE=4，FH=3，求DH的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AG∥CH.
∴四边形AGCH是平行四边形；
(2)解：∵四边形AGCH是平行四边形，
∴CG=AH.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC.
∴∠HDF=∠GBE，DH=BG.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠DFH=∠BEG=90 °.
在△DFH和△BEG中，
∠DFH=∠BEG，
∠HDF=∠GBE，
DH=BG，
∴△DFH≌△BEG(AAS).
∴DF=BE=4.
∴DH===5,
即DH的长为5.18.1.2 平行四边形的判定
第3课时 三角形的中位线
知识点1 三角形的中位线
定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
1.如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为 (A)
A.2 B.4 C.6 D.8
2.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，∠B=60°，则∠ADE的度数为 (C)
A.90° B.70° C.60° D.30°
第2题图 第3题图
3.如图，△ABC的周长为20 cm，D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为 (B)
A.5 cm B.10 cm
C.15 cm D. cm
4.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，若OE＝10，则AB的长为 (A)
A．20 B．22 C．24 D．26
第4题图 第5题图
5.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为(D)
A．8 B．10 C．12 D．16
6.如图是屋架设计图的一部分，D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=8 m,∠A=30°，则DE的长为 (B)
A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m
第6题图 第7题图
7.如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD=20 m，则A，B之间的距离是40m.
8.如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF=1，则BD=2.
第8题图 第9题图
9.（保山期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E为CD上一点且DE＝3EC，F，G分别是AE，BE的中点，若FG＝4 cm，则DE的长度为6cm．
10.如图，在△ABC中，DE是中位线，EF∥AB，EF交BC于点F.求证：F是BC的中点.
证明：∵DE是中位线，
∴DE∥BF，DE=BC.
又∵EF∥AB，
∴四边形BFED是平行四边形.
∴DE=BF，即BF=BC.
∴F是BC的中点.
11.如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，若AB=1，BC=1.6，则EF的长为(B)
A．0.2
B．0.3
C．0.6
D．0.8
12.如图，D为△ABC的边AB的中点，DG∥BE交AE于点G，若CE=1 3AC，OE=2，则OB的长为6.
第12题图 第13题图
13.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，若AD=BC，∠FPE=140°，则∠PFE的度数是20 °.
14.如图，在△ABC中，点D在BC上，且DC=AC，CE⊥AD于点E，F是AB的中点，连接EF.
求证：EF∥BC.
证明：∵DC=AC，且CE⊥AD于点E，
∴AE=ED.
即E为AD的中点.
又∵F是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线.
∴EF∥BC.
15.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，连接MN，如果AB=10，BC=15，MN=3，求△ABC的周长．
解：如图，延长BN交AC于点D，
∵AN⊥BN,
∴∠ANB=∠AND=90 °.
又∵AN平分∠BAC,∴∠BAN=∠DAN.
在△ANB和△AND中，
∠BAN=∠DAN，
AN=AN，
∠ANB=∠AND，
∴△ANB≌△AND(ASA).
∴AD=AB=10，BN=ND.
∵M是BC的中点，∴MN是△BCD的中位线.
∴DC=2MN=6. 答图
∴AC=AD+DC=16.
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=10+15+16=41，
即△ABC的周长是41．
16.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD求证：EF=(BC-AD).
证明：如图所示，连接AE并延长，交BC于点G,则∠AED=∠GEB.
∵AD∥BC,
∴∠ADE=∠GBE.
又∵E为BD的中点，
∴DE=BE.
∴△AED≌△GEB(ASA).
∴BG=AD,AE=EG.
∵在△AGC中，F,E分别是AC，AG的中点,
∴EF是△AGC的中位线.
∴EF=GC=(BC-BG)=(BC-AD). 答图
即EF=(BC-AD).
易错提醒：对三角形的中位线的位置关系与数量关系理解错误.
17.在等腰直角三角形中，∠C=90°，AB=8，D，E分别是AB，BC边上的中点，则DE的长为2.
