18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
知识点1 菱形的性质
定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
性质:（1）菱形的四边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是 (D)
A.对边分别平行 B.对角分别相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
2.（保山隆阳区期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，则∠BDA的度数为 (A)
A．40° B．50° C．80° D．100°
第2题图 第3题图
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为 (D)
A.2 B.3 C. D.2
4.(昆明西山区期末)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若菱形的周长为16，OE的长为 (A)
A．2 B．1 C．4 D．3
第4题图 第5题图
5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=.
6.如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F．求证：DE=DF．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC=AD=DC，∠A=∠C.
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA=∠BFC=90 °.
在△ABE与△CBF中，
∠BEA=∠BFC,
∠A=∠C,
BA=BC,
∴△ABE≌△CBF(AAS).
∴AE=CF.
∴AD-AE=DC-CF，即DE=DF．
知识点2 菱形的面积
公式：菱形的面积=底×高=两对角线乘积的一半.
7.(昆明五华区期末)如图，菱形ABCD中，若DB＝10，AB＝13，则菱形ABCD的面积为120．
第7题图 第8题图
8.如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，∠BAD=60°，BD长为4,则菱形ABCD的面积是8.
9.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若DF=2-，则菱形ABCD的面积为 (D)
A．1 B． C．2 D．2
第9题图 第10题图
10.如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=50°,对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，则∠DHO的度数是 (B)
A.20° B.25° C.30° D.35°
11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC=8，BD=6，求△ADE的周长.
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
AB∥CD.
∵DE⊥BD，
∴AC∥DE.
∴四边形ACDE是平行四边形；
(2)解：由菱形的性质，得AO=AC=4,
BO=BD=3，
在Rt△AOB中，AB==5.
∵四边形ACDE是平行四边形，四边形ABCD是菱形，
∴DC=EA=AD=AB=5，ED=AC=8.
∴△ADE的周长为ED+EA+AD=8+5+5=18.
12.如图，已知四边形ABCD是菱形，DF⊥AB于点F，BE⊥CD于点E.
(1)求证：四边形DFBE是矩形;
(2)若DE=2，BE=4，求AD的长.
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD.
∴∠DFB+∠FDC=180 °.
∵DF⊥AB,
∴∠DFB=∠FDC=90 °.
同理，∠DEB=∠EBF=90 °.
∴四边形DFBE是矩形；
(2)解：∵四边形DFBE是矩形，DE=2,BE=4,
∴BF=DE=2,DF=BE=4.
在菱形ABCD中，设AD=AB=x,
则AF=AB-BF=x-2.
在Rt△DAF中，
AD2=DF2+AF2,即x2=42+(x-2)2,
解得x=5,∴AD=5.
13.如图，已知四边形ABCD是菱形，E，F分别是边AB，BC的中点，连接DE，EF，DF．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）若AD=10，EF=8，求菱形ABCD的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形.
∴∠A=∠C，AD=CD=AB=BC，
∵E,F分别是边AB,BC的中点.
∴AE=AB，CF=BC.
∴AE=CF.
∴△ADE≌△CDF(SAS).
∴DE=DF.
∴△DEF是等腰三角形；
(2)解：如图，连接AC，BD相交于点O，
∵E,F分别是边AB,BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线.
∵EF=8，
∴AC=16.
∵四边形ABCD是菱形， 答图
∴AO=AC=8，AC⊥BD.
∴OB==6.
∴BD=12.
∴菱形ABCD的面积等于AC·BD=×16×12=96．18.2.2 菱形
第2课时 菱形的判定
知识点1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.如图，要使?ABCD成为菱形，则可添加的条件是 ()
A.AB=CD
B.BC=AD
C.AB=BC
D.AC＝BD
2.如图，用完全相同的两个矩形纸片交叉叠合得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是 .
第2题图 第3题图
3.如图，在?ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3，则?ABCD的周长为 .
4.如图，已知点E，F分别在?ABCD的边BC，CD上，BE=DF，∠BAF=∠DAE．求证：?ABCD是菱形．
知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD垂直平分对角线AC，垂足为O．求证：四边形ABCD是菱形．
知识点3 四边都相等的四边形是菱形
6.(2017曲靖沾益区期末)顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是 ()
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.平行四边形
7.（郴州中考）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BF，FD，DE，EB．求证：四边形DEBF是菱形．
8．（昆明官渡区期末）张师傅应客户要求加工4个菱形零件．在交付客户之前，张师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是 ()
A B
C D
9.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE⊥AB于点E，点F，G分别是AD，BC的中点，连接CF，EF，FG，下列四种说法：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③BC=2EG；④∠DFC=∠EFG．其中正确的是 ．（填序号）
10.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使EF=BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE=6，∠BEF=120°，求菱形BCFE的面积.
11.（凉山州中考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB=8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．
12.如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB=BC，对角线AC，BD相交于点O，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作 DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE，若OE=3，AC=4，求菱形ABCD的边长．18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
知识点1 菱形的性质
定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
性质:（1）菱形的四边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是 ()
A.对边分别平行 B.对角分别相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
2.（保山隆阳区期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，则∠BDA的度数为 ()
A．40° B．50° C．80° D．100°
第2题图 第3题图
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为 ()
A.2 B.3 C. D.2
4.(昆明西山区期末)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若菱形的周长为16，OE的长为 ()
A．2 B．1 C．4 D．3
第4题图 第5题图
5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= .
6.如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F．求证：DE=DF．
知识点2 菱形的面积
公式：菱形的面积=底×高=两对角线乘积的一半.
7.(昆明五华区期末)如图，菱形ABCD中，若DB＝10，AB＝13，则菱形ABCD的面积为 ．
第7题图 第8题图
8.如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，∠BAD=60°，BD长为4,则菱形ABCD的面积是 .
9.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若DF=2-，则菱形ABCD的面积为 ()
A．1 B． C．2 D．2
第9题图 第10题图
10.如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=50°,对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，则∠DHO的度数是 ()
A.20° B.25° C.30° D.35°
11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC=8，BD=6，求△ADE的周长.
12.如图，已知四边形ABCD是菱形，DF⊥AB于点F，BE⊥CD于点E.
(1)求证：四边形DFBE是矩形;
(2)若DE=2，BE=4，求AD的长.
13.如图，已知四边形ABCD是菱形，E，F分别是边AB，BC的中点，连接DE，EF，DF．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）若AD=10，EF=8，求菱形ABCD的面积．18.2.2 菱形
第2课时 菱形的判定
知识点1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.如图，要使?ABCD成为菱形，则可添加的条件是 (C)
A.AB=CD
B.BC=AD
C.AB=BC
D.AC＝BD
2.如图，用完全相同的两个矩形纸片交叉叠合得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是菱形.
第2题图 第3题图
3.如图，在?ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3，则?ABCD的周长为12.
4.如图，已知点E，F分别在?ABCD的边BC，CD上，BE=DF，∠BAF=∠DAE．求证：?ABCD是菱形．
证明：∵∠BAF=∠DAE,
∴∠BAE=∠DAF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF.
在△ABE和△ADF中，
∠BAE=∠DAF.
∠ABE=∠ADF,
BE=DF,
∴△ABE≌△ADF(AAS).
∴AB=AD.
∴?ABCD是菱形.
知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD垂直平分对角线AC，垂足为O．求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO.
∵对角线BD垂直平分对角线AC，
∴OA=OC.
在△ADO与△CBO中，
∠ADO=∠CBO,
∠DOA=∠BOC,
OA=OC,
∴△ADO≌△CBO(AAS).
∴AD=BC.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
知识点3 四边都相等的四边形是菱形
6.(2017曲靖沾益区期末)顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是 (C)
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.平行四边形
7.（郴州中考）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BF，FD，DE，EB．求证：四边形DEBF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠DCB，AC平分∠DAB，AC平分∠DCB.
∴∠DAC=∠BAC=∠DAB，
∠DCA=∠BCA=∠DCB.
∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA.
∵AE=CF，
∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS).
∴DE=BE=BF=DF.
∴四边形DEBF是菱形．
8．（昆明官渡区期末）张师傅应客户要求加工4个菱形零件．在交付客户之前，张师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是 (C)
A B
C D
9.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE⊥AB于点E，点F，G分别是AD，BC的中点，连接CF，EF，FG，下列四种说法：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③BC=2EG；④∠DFC=∠EFG．其中正确的是①②③④．（填序号）
10.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使EF=BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE=6，∠BEF=120°，求菱形BCFE的面积.
(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC.
∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=2DE=BC.
∴四边形BCFE是平行四边形.
又∵BE=EF，
∴四边形BCFE是菱形；
(2)解：如图，连接BF交EC于点O，
∵∠BEF=120 °，
∴∠EBC=60 °.
∴∠EBO=30 °.
∵CE=6，∴EO=3.
在Rt△BOE中，BE=2EO=6， 答图
BO==3，
∴BF=2BO=6.
∴菱形BCFE的面积为BF·EC=18.
11.（凉山州中考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB=8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．
(1)证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC=∠ECD，∠FAE=∠CDE.
∵E是AD的中点，
∴AE=DE.
∴△FAE≌△CDE(AAS).
∴AF=CD.
∵D是BC的中点，
∴BD=CD.
∴AF=BD.
∴四边形AFBD是平行四边形.
∵∠BAC=90 °，D是BC的中点，
∴AD=BD=BC，
∴四边形ADBF是菱形；
(2)解：∵四边形ADBF是菱形，
∴S菱形ADBF=2S△ABD.
∵D是BC的中点，
∴S△ABC=2S△ABD
∴S菱形ADBF=S△ABC=40.
∴AB·AC=40.
∵AB=8,
∴AC=10.
12.如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB=BC，对角线AC，BD相交于点O，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作 DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE，若OE=3，AC=4，求菱形ABCD的边长．
(1)证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∴∠ADB=∠ABD．
∴AD=AB．
∵AB=BC，
∴AD=BC．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=AC=2．
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90 °．
∵OB=OD，
∴O是Rt△BDE斜边BD的中点.
∴OE=OD=OB=3．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD===，
∴菱形ABCD的边长为．
