18.2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
知识点1 矩形的定义和性质
定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.
性质:（1）矩形的对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线互相平分且相等.
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是 (D)
A.∠ABC=90° B.AC=BD
C.OA=OB D.OA=AD
第1题图 第2题图
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的度数为 (B)
A.30° B.60° C.90° D.120°
3.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，∠BED的平分线交BC于点F，若AB=6，BC=16，则BF的长为 (D)
A.4 B.6 C.8 D.10
第3题图 第4题图
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E,F分别是AO,AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则EF=2.5cm.
5.如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF.
求证：BF=CD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90 °.
∴∠EFB+∠BEF=90 °.
∵EF⊥DF，
∴∠EFB+∠DFC=90 °.
∴∠DFC=∠FEB.
在△BEF和△CFD中，
∠FEB=∠DFC，
BE=CF，
∠B=∠C，
∴△BEF≌△CFD(ASA).
∴BF=CD.
知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质
性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
6.(曲靖富源七中期中)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M，C两点间的距离为 (B)
A．1.2 km B．2.4 km
C．3.6 km D．4.8 km
第6题图 第7题图
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P是BD的中点，若AD=6，则CP的长为3.
8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE.若OE=3，AD=8，则对角线AC的长为 (D)
A.5 B.6 C.8 D.10
第8题图 第9题图
9．(保山隆阳区期中)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB＝8，AC=6，D是BC上的一动点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则EF的最小值为 (B)
A．5 B．4.8 C．3 D．2.4
10.(玉溪红塔区期末)如图，E是矩形ABCD内任意一点，若AB＝4，BC＝7．则图中阴影部分的面积为14．
11.(曲靖民族中学期中)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，求∠E的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，CA=BD，
且∠ADB=∠CAD=30 °．
∴∠E=∠DAE．
又∵BD=CE，
∴CE=CA．
∴∠E=∠CAE．
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE=2∠E=30 °，
∴∠E=15 °．
12.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC,且BE交DC的延长线于点E.
(1)求证：BD=BE；
(2)若∠DBC=30°，AB=4，求△BED的周长.
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AC=BD.
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形.
∴AC=BE.
∴BD=BE；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90 °，DC=AB.
在Rt△BDC中，
∵∠DBC=30 °，AB=DC=4，
∴∠BDC=60 °且BD=8.
∵BD=BE,∴△BDE为等边三角形.
∴△BED的周长为3BD=3×8=24.
【教材P53例1变式】
变式1 矩形与线段的垂直平分线相结合
13.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，
则DE的长是 (A)
A． B． C．1 D．
第13题图 第14题图
变式2 矩形与平面直角坐标系相结合
14.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC=6，则点A的坐标是()．18.2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
知识点1 矩形的定义和性质
定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.
性质:（1）矩形的对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线互相平分且相等.
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是 ()
A.∠ABC=90° B.AC=BD
C.OA=OB D.OA=AD
第1题图 第2题图
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的度数为 ()
A.30° B.60° C.90° D.120°
3.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，∠BED的平分线交BC于点F，若AB=6，BC=16，则BF的长为 ()
A.4 B.6 C.8 D.10
第3题图 第4题图
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E,F分别是AO,AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则EF= cm.
5.如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF.
求证：BF=CD.
知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质
性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
6.(曲靖富源七中期中)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M，C两点间的距离为 ()
A．1.2 km B．2.4 km
C．3.6 km D．4.8 km
第6题图 第7题图
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P是BD的中点，若AD=6，则CP的长为 .
8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE.若OE=3，AD=8，则对角线AC的长为 ()
A.5 B.6 C.8 D.10
第8题图 第9题图
9．(保山隆阳区期中)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB＝8，AC=6，D是BC上的一动点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则EF的最小值为 ()
A．5 B．4.8 C．3 D．2.4
10.(玉溪红塔区期末)如图，E是矩形ABCD内任意一点，若AB＝4，BC＝7．则图中阴影部分的面积为 ．
11.(曲靖民族中学期中)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，求∠E的度数．
12.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC,且BE交DC的延长线于点E.
(1)求证：BD=BE；
(2)若∠DBC=30°，AB=4，求△BED的周长.
【教材P53例1变式】
变式1 矩形与线段的垂直平分线相结合
13.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，
则DE的长是 ()
A． B． C．1 D．
第13题图 第14题图
变式2 矩形与平面直角坐标系相结合
14.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC=6，则点A的坐标是( )．18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.如图，要使?ABCD成为矩形，需添加的条件是 (C)
A.AB=BC
B.AC⊥BD
C.∠ABC=∠BAD
D.∠1=∠2
2.如图，P是?ABCD的边AD的中点，且PB=PC.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC.
∵P是AD的中点，
∴AP=PD.
在△ABP和△DCP中，
AP=PD,
AB=DC,
BP=PC,
∴△ABP≌△DCP(SSS).
∴∠A=∠D.
∵AB∥DC,
∴∠A+∠D=180 °.
∴∠A=∠D=90 °.
∴四边形ABCD是矩形.
知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
3.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=3，若要使?ABCD为矩形，则OB的长度为(B)
A.4
B.3
C.2
D.1
4.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么可添加的条件是 (D)
A.AB=CD B.AD=BC
C.AB=BC D.AC=BD
第4题图
5.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠CAB=∠DBA.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长.
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=AC，BO=BD.
∵∠CAB=∠DBA，
∴AO=BO.
∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形；
(2)解：∵∠AOD=60 °，AO=BO，
∴∠DBA=∠CAB
=∠AOD=30 °.
∴在Rt△ABD中，BD=2AD=8.
∴AB==4.
知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形
6.检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是 (C)
A.测量两条对角线，是否相等
B.测量两条对角线，是否互相平分
C.测量门框的三个角，是否都是直角
D.测量两条对角线，是否互相垂直
7.如图，?ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，则四边形EFGH是矩形.
8.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DF∥EG．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是∠DFG=90 °(答案不唯一)．（写出一个即可）
第8题图 第9题图
9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F，G，H分别是对应边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是12.
10.（2017曲靖宣威市期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，DA=DB，E，G分别是AB，AD的中点，连接EG并延长交CD的延长线于点F，连接AF.求证：四边形AEDF是矩形.
证明：∵E，G分别是AB，AD的中点，
∴EG是△ABD的中位线.
∴EG∥BD.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB∥CD.
∴四边形EFDB是平行四边形.
∴FD=EB.
又∵E是AB的中点，AD=BD.
∴AE=BE，DE⊥AB.
∴FD=AE，∠AED=90 °.
又∵AB∥CD，
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵∠AED=90 °，
∴四边形AEDF是矩形.
11.(昆明五华区期末)如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F使CF＝BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．
(1)证明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
即 EF=BC．
在?ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90 °．
∴四边形AEFD是矩形；
(2)解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8.
∵AB=6,BF=10,
∴AB2+AF2=62+82=100=BF2.
∴∠BAF=90 °.
∵AE⊥BF,
∴S△ABF=AB·AF=BF·AE.
∴AE===.
12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AC的中点，DE⊥AC,AE∥BD.
(1)求证：△ADE≌△DCB;
(2)连接BE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由;
(3)若BC=4，AE=5，求四边形ACBE的周长.
(1)证明：∵AE∥BD,
∴∠CDB=∠DAE.
∵∠ACB=90 °,
DE⊥AC,
∴∠C=∠ADE=90 °.
∵D为AC中点，∴AD=CD.
在△ADE和△DCB中,
∠ADE=∠C,
AD=CD,
∠DAE=∠CDB,
∴△ADE≌△DCB(ASA);
(2)解：四边形BCDE是矩形，理由如下：
由(1)，得△ADE≌△DCB,DE∥BC，
∴DE=BC.
∴四边形BCDE是平行四边形.
又∵∠C=90 °,
∴四边形BCDE是矩形;
(3)解：∵△ADE≌△DCB，
∴AE=BD.
在Rt△DCB中，BC=4,BD=AE=5,
由勾股定理,得
CD===3.
∴AD=CD=3.
∵四边形BCDE是矩形，∴BE=CD=3.
∴四边形ACBE的周长是AC+BC+BE+AE=6+4+3+5=18.18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.如图，要使?ABCD成为矩形，需添加的条件是 ()
A.AB=BC
B.AC⊥BD
C.∠ABC=∠BAD
D.∠1=∠2
2.如图，P是?ABCD的边AD的中点，且PB=PC.
求证：四边形ABCD是矩形.
知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
3.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=3，若要使?ABCD为矩形，则OB的长度为()
A.4
B.3
C.2
D.1
4.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么可添加的条件是 ()
A.AB=CD B.AD=BC
C.AB=BC D.AC=BD
第4题图
5.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠CAB=∠DBA.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长.
知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形
6.检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是 ()
A.测量两条对角线，是否相等
B.测量两条对角线，是否互相平分
C.测量门框的三个角，是否都是直角
D.测量两条对角线，是否互相垂直
7.如图，?ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，则四边形EFGH是 .
8.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DF∥EG．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
第8题图 第9题图
9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F，G，H分别是对应边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是 .
10.（2017曲靖宣威市期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，DA=DB，E，G分别是AB，AD的中点，连接EG并延长交CD的延长线于点F，连接AF.求证：四边形AEDF是矩形.
11.(昆明五华区期末)如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F使CF＝BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．
12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AC的中点，DE⊥AC,AE∥BD.
(1)求证：△ADE≌△DCB;
(2)连接BE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由;
(3)若BC=4，AE=5，求四边形ACBE的周长.
