18.2.3 正方形
知识点1 正方形的性质
性质:（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角.
1.平行四边形、矩形、菱形和正方形都具有的性质是 ()
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线互相垂直平分且相等
2.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为 ()
A.3 B.12 C.18 D.36
第2题图 第3题图
3.（曲靖期末）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为 ()
A．20° B．15° C．12.5° D．10°
4.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，若点A（3，1），则点C的坐标为 ()
A．（-1，2） B．（-1，3）
C．（-2，3） D．（1，-3）
第4题图 第5题图
5.如图，四边形ABCD，AEFG均为正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC 交BC于点H，若AB=4，AE=1，则BH= .
6.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，延长CD到点F，使DF=BE，连接AF，EF，若AE=3，求EF的长．
知识点2 正方形的判定
判定方法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形;一组邻边相等的矩形是正方形;对角线互相垂直 的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形;对角线相等的菱形是正方形.
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，只需添加一个条件，即可证明菱形ABCD是正方形，这个条件可以是 ()
A．∠ABC=90°
B．AB=BC
C．AC⊥BD
D．AB=CD
8.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，且AD∥BC，AD=BC．下列条件：①AB=CD；②AB=AD；③AC=BD；④AC⊥BD．其中能使四边形ABCD为正方形的一组是 ()
A．①② B．①③
C．①④ D．②③或③④
9.（昆明第三中学期中）如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC=8，CE=4，H是AF的中点，那么CH的长为 ()
A．4
B．2
C．4
D．2
10.（祥云县期末）在周长为8的正方形ABCD中，E是AB边的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为 ()
A．2 B． C． D．2
第10题图 第11题图
11.（云南师范大学附属中学期中）如图，正方形ABCD的面积为100，菱形PQCB的面积为60，则重合部分四边形BPMC的面积为 ．
12.如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F.判断四边形EBFM的形状，并证明你的结论.
13.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE⊥AF于点G．
（1）求证：DE=AF；
（2）若E是AB的中点，AB=4，求GF的长．
14.如图，在正方形ABCD中，动点E在对角线AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC的中点时（其他条件都保持不变），四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．18.2.3 正方形
知识点1 正方形的性质
性质:（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角.
1.平行四边形、矩形、菱形和正方形都具有的性质是 (A)
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线互相垂直平分且相等
2.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为 (C)
A.3 B.12 C.18 D.36
第2题图 第3题图
3.（曲靖期末）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为 (B)
A．20° B．15° C．12.5° D．10°
4.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，若点A（3，1），则点C的坐标为 (B)
A．（-1，2） B．（-1，3）
C．（-2，3） D．（1，-3）
第4题图 第5题图
5.如图，四边形ABCD，AEFG均为正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC 交BC于点H，若AB=4，AE=1，则BH=3.
6.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，延长CD到点F，使DF=BE，连接AF，EF，若AE=3，求EF的长．
解：∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=∠ADF=90 °
又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).
∴∠BAE=∠DAF,AF=AE=3.
∴∠EAF=∠DAF+∠DAE
=∠BAE+∠DAE=∠BAD=90 °.
∴EF===3.
知识点2 正方形的判定
判定方法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形;一组邻边相等的矩形是正方形;对角线互相垂直 的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形;对角线相等的菱形是正方形.
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，只需添加一个条件，即可证明菱形ABCD是正方形，这个条件可以是 (A)
A．∠ABC=90°
B．AB=BC
C．AC⊥BD
D．AB=CD
8.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，且AD∥BC，AD=BC．下列条件：①AB=CD；②AB=AD；③AC=BD；④AC⊥BD．其中能使四边形ABCD为正方形的一组是 (D)
A．①② B．①③
C．①④ D．②③或③④
9.（昆明第三中学期中）如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC=8，CE=4，H是AF的中点，那么CH的长为 (B)
A．4
B．2
C．4
D．2
10.（祥云县期末）在周长为8的正方形ABCD中，E是AB边的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为 (C)
A．2 B． C． D．2
第10题图 第11题图
11.（云南师范大学附属中学期中）如图，正方形ABCD的面积为100，菱形PQCB的面积为60，则重合部分四边形BPMC的面积为36．
12.如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F.判断四边形EBFM的形状，并证明你的结论.
解：四边形EBFM是正方形.
证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90 °.
∵MF⊥BC，ME⊥AB，
∴∠BFM=∠MEB=90 °.
∵∠ABC=∠BFM=∠MEB=90 °，
∴四边形EBFM为矩形.
∵BM平分∠ABC，
∴ME=MF.
∴四边形EBFM为正方形.
13.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE⊥AF于点G．
（1）求证：DE=AF；
（2）若E是AB的中点，AB=4，求GF的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABF=
90 °.∵DE⊥AF，
∴∠AGD=∠DAB=90 °.
∴∠DAG+∠ADG=90 °=
∠DAG+∠BAF.
∴∠ADG=∠BAF.
在△ADE和△BAF中，
∠ADG=∠BAF,
AD=AB,
∠DAB=∠ABF=90 °，
∴△ADE≌△BAF(ASA).
∴DE=AF；
(2)解：∵E是AB的中点，AB=4，
∴AE=BE=2.
在Rt△ADE中，
∴DE===2.
∴S△ADE=×AD×AE=×DE×AG.
∴AG==.
∵DE=AF=2.
∴GF=AF-AG=2-=．
14.如图，在正方形ABCD中，动点E在对角线AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC的中点时（其他条件都保持不变），四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90 °.
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90 °.
∴∠BAF=∠EAD.
在△ADE和△ABF中,
AD=AB,
∠DAE=∠BAF,
AE=AF,
∴△ADE≌△ABF(SAS).
∴BF=DE；
(2)解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由如下：
∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE=AC.
∵AF=AE，∴BE=AF=AE.
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90 °，
∴BE∥AF.
∵BE=AF，
∴四边形AFBE是平行四边形.
∵∠FAE=90 °，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
