第十八章 章末复习
考点1 平行四边形的性质与判定
1.如图，在?ABCD中，AB=8，E是AB上一点，AE=3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为 (C)
A．5 B．4 C．3 D．2
第1题图 第2题图
2.如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，AC+BD的长为 (C)
A.10 B.16 C.20 D.22
3.在?ABCD中，若∠B=3∠A，则∠D的度数是135 °．
4.如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B=30°，∠CAB=45°，AC＝2，求AB的长．
(1)证明：∵AB∥CE，
∴∠CAD=∠ACE，∠ADE=∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF=CF．
在△AFD与△CFE中，
∠FAD=∠FCE,
∠ADF=∠CEF,
AF=CF,
∴△AFD≌△CFE(AAS).
∴DF=EF.
∴四边形ADCE是平行四边形；
答图
(2)解：如图，过点C作CG⊥AB于点G．
在△ACG中，∠AGC=90 °，AC=，∠CAG=45 °，
∴由勾股定理，得CG=AG=1．
在△BCG中，∠BGC=90 °，∠B=30 °，CG=1，
∴BC=2.
∴BG==.
∴AB=AG+BG=+1．
考点2 三角形的中位线,直角三角形斜边上的中线
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD的长为 (C)
A．2 B．3 C．4 D．2
第5题图 第6题图
6.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1．若∠AFC=90°，则BC的长度为14.
考点3 矩形的性质与判定
7.（云南中考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB∶∠ODC=4∶3，求∠ADO的度数．
(1)证明：∵AO=OC，BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD，
∴∠DAO=∠ADO.
∴AO=DO.
∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.
∴∠ABO=∠CDO.
∵∠AOB∶∠ODC=4∶3，
∴∠AOB∶∠ABO=4∶3.
∴∠BAO∶∠AOB∶∠ABO=3∶4∶3.
∵∠BAO+∠AOB+∠ABO=180 °,
∴∠ABO=54 °.
∵∠BAD=90 °，
∴∠ADO=90 °-54 °=36 °．
考点4 菱形的性质与判定
8.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF，若EF=2，BD=，则菱形ABCD的面积为 (A)
A.2 B. C.6 D.8
第8题图 第9题图
9.如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD=6，则菱形的高为 (B)
A. B. C.12 D.24
10.（昭通绥江县期中）如图，在?ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG.求证：四边形ABGE是菱形．
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC且AD=BC.
∴∠CBE=∠AEB.
∴∠ABE=∠AEB.
∴AB=AE.
∵AF⊥BE，
∴∠AFB=∠GFB=90 °.
在△ABF和△GBF中，
∠ABF=∠GBF,
BF=BF,
∠AFB=∠GFB,
∴△ABF≌△GBF(ASA).
∴AB=GB.
∴AE=GB.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABGE是平行四边形.
又∵AB=GB，
∴四边形ABGE是菱形.
考点5 正方形的性质与判定
11.（临沧期末）如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP,EF，则下列结论中，不正确的是 (C)
A．AP＝EF
B．AP⊥EF
C．PD＝2EC
D．BP2+DP2＝2AP2
12.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，有以下条件：①△AOB是等腰三角形；②△ABO≌△ADO；③AC=BD；④AC⊥BD；⑤∠ABD=45°.添加一个条件，使矩形ABCD成为正方形．正确的条件是②④⑤．
13.如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=3，BE=2，求四边形AECF的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=AB，∠ABE=∠CDF=45 °.
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS);
(2)解：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO=CO，
DO=BO.
又∵DF=BE，
∴OE=OF. 答图
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形.
∵AB=3，
∴AC=BD=6.
∵BE=DF=2，
∴EF=2.
∴四边形AECF的面积为AC·EF=×6×2=6．
14.（昆明安宁期末）如图，在?ABCD中，已知AD=6 cm，AB=4 cm，AE平分∠BAD交BC于点E，则EC的长为 (B)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
第14题图 第15题图
15.（泸州龙马潭区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接EO．若EO=2，则CD的长为 (C)
A．2 B．3 C．4 D．5
16.（曲靖富源七中期中）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是 (D)
A.12 B. 24 C. 12 D. 16
第16题图 第17题图
17.（贵阳期末）如图，正方形ABCD的边长为3，P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE+PQ的值是 (B)
A．3 B．3 C． D．
18.（云南中考）已知四边形ABCD是矩形，E是矩形ABCD的边上的点，且EA=EC．若AB=6，AC=2，则DE的长是.
19.（云南中考）如图，在?ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线相交于点F，连接AF，∠BDF=90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD．
∴∠BAE=∠FDE．
∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
在△BEA和△FED中，
∠BAE=∠FDE,
AE=DE,
∠BEA=∠FED,
∴△BEA≌△FED(ASA)．
∴EF=EB．
又∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形．
∵∠BDF=90 °,
∴四边形ABDF是矩形；
(2)解：由(1)得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD=90 °，AB=DF=3，AF=BD．
∴AF===4．
∴S矩形ABDF=DF·AF=3×4=12，BD=AF=4．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3．
∴S△BCD=BD·CD=×4×3=6．
∴四边形ABCF的面积S=S矩形ABDF+S△BCD=12+6=18．
20.(遵义期末)如图1，在正方形ABCD中，E是对角线AC上任意一点，连接DE，BE．
（1）求证：DE=BE；
（2）当AE=AB=2时，求四边形ABED的面积；
（3）如图2，过点E作EF⊥DE交AB于点F，当BE=BF时，若AB=3+1，求AF的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠DCE=∠BCE.
又∵CE=CE，
∴△DCE≌△BCE(SAS).
∴DE=BE；
(2)解：如图1，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AB=AD=2，∠BAD=90 °.
∴BD===2.
∴S四边形ABED=BD·AE=×2×2=2；
图1 图2
(3)解：如图2，过点E作EM⊥BF于点M，
由(1)知，△DCE≌△BCE，
∴∠CDE=∠CBE.
∵∠ADC=∠ABC=90 °，
∴∠ADE=∠ABE.
∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90 °.
在四边形ADEF中，∠DAF=90 °，
∴∠ADE+∠AFE=180 °.
∵∠AFE+∠BFE=180 °，
∴∠BFE=∠ADE.
∴∠BFE=∠ABE.
∴BE=EF.
∵BE=BF，
∴△BEF是等边三角形.
∴∠EBF=60 °.
设BM=x，则MF=BM=x，EM=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠BAD=45 °.
∴AM=EM=x.
∵AM+BM=AB=+1，
∴x+x=+1.
解得x=1.
∴AF=AB-BF=+1-1-1=-1．
易错点1 未对平行四边形中的线段进行分类讨论而漏解
21.四边形ABCD是平行四边形，AB=8，∠BAD的平分线交直线BC于点E．若CE=2，则BC的长为6或10．
易错点2 混淆特殊平行四边形的判定方法
22.下列说法正确的是 (C)
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有一个角为直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形第十八章 章末复习
考点1 平行四边形的性质与判定
1.如图，在?ABCD中，AB=8，E是AB上一点，AE=3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为 ()
A．5 B．4 C．3 D．2
第1题图 第2题图
2.如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，AC+BD的长为 ()
A.10 B.16 C.20 D.22
3.在?ABCD中，若∠B=3∠A，则∠D的度数是135 °．
4.如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B=30°，∠CAB=45°，AC＝2，求AB的长．
考点2 三角形的中位线,直角三角形斜边上的中线
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD的长为 ()
A．2 B．3 C．4 D．2
第5题图 第6题图
6.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1．若∠AFC=90°，则BC的长度为 .
考点3 矩形的性质与判定
7.（云南中考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB∶∠ODC=4∶3，求∠ADO的度数．
考点4 菱形的性质与判定
8.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF，若EF=2，BD=，则菱形ABCD的面积为 ()
A.2 B. C.6 D.8
第8题图 第9题图
9.如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD=6，则菱形的高为 ()
A. B. C.12 D.24
10.（昭通绥江县期中）如图，在?ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG.求证：四边形ABGE是菱形．
考点5 正方形的性质与判定
11.（临沧期末）如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP,EF，则下列结论中，不正确的是 ()
A．AP＝EF
B．AP⊥EF
C．PD＝2EC
D．BP2+DP2＝2AP2
12.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，有以下条件：①△AOB是等腰三角形；②△ABO≌△ADO；③AC=BD；④AC⊥BD；⑤∠ABD=45°.添加一个条件，使矩形ABCD成为正方形．正确的条件是 ．
13.如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=3，BE=2，求四边形AECF的面积．
14.（昆明安宁期末）如图，在?ABCD中，已知AD=6 cm，AB=4 cm，AE平分∠BAD交BC于点E，则EC的长为 ()
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
第14题图 第15题图
15.（泸州龙马潭区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接EO．若EO=2，则CD的长为 ()
A．2 B．3 C．4 D．5
16.（曲靖富源七中期中）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是 ()
A.12 B. 24 C. 12 D. 16
第16题图 第17题图
17.（贵阳期末）如图，正方形ABCD的边长为3，P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE+PQ的值是 ()
A．3 B．3 C． D．
18.（云南中考）已知四边形ABCD是矩形，E是矩形ABCD的边上的点，且EA=EC．若AB=6，AC=2，则DE的长是 .
19.（云南中考）如图，在?ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线相交于点F，连接AF，∠BDF=90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．
20.(遵义期末)如图1，在正方形ABCD中，E是对角线AC上任意一点，连接DE，BE．
（1）求证：DE=BE；
（2）当AE=AB=2时，求四边形ABED的面积；
（3）如图2，过点E作EF⊥DE交AB于点F，当BE=BF时，若AB=3+1，求AF的长．
易错点1 未对平行四边形中的线段进行分类讨论而漏解
21.四边形ABCD是平行四边形，AB=8，∠BAD的平分线交直线BC于点E．若CE=2，则BC的长为
易错点2 混淆特殊平行四边形的判定方法
22.下列说法正确的是 ()
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有一个角为直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
