课件14张PPT。22．1 一元二次方程2 整式 2 0 a b c 知识点1：一元二次方程的概念C C 知识点2：一元二次方程的一般形式x2－3x－＝0 2 2x －5 C 6．下列一元二次方程中，不含一次项的是( )
A．x(3x－4)＝0 B．5x2＝x(1－2x)
C．(2x＋1)(1－x)＝0 D．x(1－x)＝xD知识点3：一元二次方程的根7．已知x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值是( )
A．－3 B．3 C．0 D．0或3
8．(1)(2014·哈尔滨)若x＝－1是关于x的一元二次方程x2＋3x＋m＋1＝0的一个解，则m的值为____；
(2)若－1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则a－b＋c＝____．A10知识点4：根据实际问题列一元二次方程9．(2014·海南)某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是( )
A．100(1＋x)2＝81 B．100(1－x)2＝81
C．100(1－x%)2＝81 D．100x2＝81
10．某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为( )
A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200
C．2x＋2(x＋10)＝200 D．x(x＋10)＝200BD11．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．
(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x；
(2)两个相邻偶数的积为328，求其中较小的偶数x.解：(1)6x2＝36，一般形式为：6x2－36＝0(2)x(x＋2)＝328，一般形式为x2＋2x－328＝0C 13．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是( )
A．438(1＋x)2＝389 B．389(1＋x)2＝438
C．389(1＋2x)＝438 D．438(1＋2x)＝389B14．(2014·菏泽)已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为( )
A．1 B．－1 C．0 D．－2A15．在一幅长为80 cm，宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是( )BA．x2＋130x－1 400＝0
B．x2＋65x－350＝0
C．x2－130x－1 400＝0
D．x2－65x－350＝016．已知关于x的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：_______________________________．
17．已知关于x的方程(m－3)x|m|－1＋(m－2)x＝5是一元二次方程，则m＝____．
18．直角三角形的三边是三个连续整数，求三边的长．若设较长的直角边为x，则根据题意可列方程为_______________________．答案不唯一，如x(x－1)＝0－3(x－1)2＋x2＝(x＋1)219．把下列关于x的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)2x2＝5x－3；
解：一般形式是2x2－5x＋3＝0，二次项系数是2，一次项系数是－5，常数项是3
(2)－7x2＋2x＝x＋1；
解：一般形式是7x2－x＋1＝0，二次项系数是7，一次项系数是－1，常数项是1
(3)(x＋3)(x－3)＋2x＝9.
解：一般形式是x2＋2x－18＝0，二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是－1820．根据问题，列出关于x的方程：在圣诞节到来之际，九(3)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 640张，求九(3)班有多少同学？
解：设九(3)班有x名同学，根据题意，得x(x－1)＝164021．k为何值时，关于x的方程(k＋3)(k－1)x2＋(k－1)x＋5＝0.
(1)是一元一次方程？
解：∵(k＋3)(k－1)＝0且k－1≠0，∴k＝－3.即当k＝－3时，原方程是一元一次方程
(2)是一元二次方程？
解：∵(k＋3)(k－1)≠0，∴k≠－3且k≠1.即当k≠－3且k≠1时，原方程是一元二次方程课件10张PPT。
一元二次方程教学目标: 2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题
转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方
程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程
的感性认识。 3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。 1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次
方程整理成一般形式ax2+bx+c=o（a≠0） 动手动脑:问题1 绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,
开辟面积为900㎡的一块长方形绿地,并且长
比宽多10m,则绿地的长和宽名为多少? 设长方形绿地的宽为xm,则长方形绿地的长为(x+10)m.
根据题意得X(x+10)=900整理可得x2+10x-900=0动手动脑:问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底
增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 设这两年的年平均增长率为x,由已知知道,去年年底的
图书数是5万册,则今年年底的图书数应是5(1+x)万册;明年
年底的图书数则为5(1+x)(1+x)万册,即5(1+x)2万册.由题意,
得5(1+x)2=7.2整理,得5x2+10x-2.2=0动手动脑:思考: 1、上述两个方程: x2+10x-900=0和5x2+10x-2.2=0
是一元一次方程吗?2、试比较下面两个方程的异同：整式方程整式方程xx12一元一次方程概括： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的
整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0二次项一次项常数项二次项系数一次项系数a≠0相信你能行1．下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
（1） （2）
（3） （4）
（５）相信你能行分析：如果方程 是关于χ的一元
一次方程，则满足下列条件：解①得:m=1,∴m=1时,该方程为一元一次方程. 如果该方程为关于χ的一元二次方程,则应满足
m－1≠0． ∴当m≠1时,该方程为一元二次方程=1≠1把m=1代入②可得2m－1=2－1=1≠0解之得m≠1实践与操作 １．m何值时，方程
是关于χ的一元二次方程? 2. 若 是关于χ的一元二次方
程,求ab的值. 课堂小结 1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式
方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式为 （ａ≠0），
一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式
中的项、次数及其系数的定义是一致的。 3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过程
中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。课件19张PPT。22.1一元二次方程
（说课）
说 课 内 容说说目标 本节课介绍了一元二次方程的概念及一般形式。
一元二次方程的学习是一次方程、方程组及不等式知识的延续和深化，也是函数等重要数学思想方法的基础。本节课是研究一元二次方程的导入课，它为进一步学习一元二次方程的解法及简单应用起到铺垫作用。 说教学方法说教学程序说评价说教材教材 分析说目标说教学方法说教学程序说评价说教材 经历用试验的方法探索方程的解，并会解释解的合理性。教学 重点一元二次方程的概念及一般形式。教学 难点说教学方法说教学程序说评价说教材1.知识目标：使学生充分了解一元二次方程
的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式。
2.能力目标：经历抽象一元二次方程的过程,
使学生体会出方程是刻画现实世界中数量关
系的一个有效数学模型; 经历探索满足方程
解的过程，发展估算的意识和能力。
3.情感目标：培养学生主动探索、敢于实践、
勇于发现、合作交流的精神。说目标教学 目标说教学程序说评价说教材说目标 本节课主要采用以类比发现法为主，以讨论法、练习法为辅的教学方法。 本节课的教学中，教会学生善于观察、分析讨论、类比归纳，最后抽象出有价值
的理论和知识。 采用电脑多媒体辅助教学，利用实物
投影进行集体交流，及时反馈相关信息。 说教学方法教法 分析学法 指导教学 手段说评价说教材说目标说教学方法说教学程序教学 流程情景一：自主探索
归纳新知巩固练习
深化知识归纳小结
反思提高布置作业
分层落实创设情境
导入新课自主探索
归纳新知巩固练习
深化知识归纳小结
反思提高布置作业
分层落实创设情境
导入新课 小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米
的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地
的长和宽各为多少？自主探索
归纳新知巩固练习
深化知识归纳小结
反思提高布置作业
分层落实创设情境
导入新课情景二：自主探索
归纳新知巩固练习
深化知识归纳小结
反思提高布置作业
分层落实创设情境
导入新课x2+10x-900=0，
x2-18x+45=0，
5x2+10x-2.2=0。整理得： 方程模型的建立为下一环节的教学做好铺垫。巩固练习
深化知识归纳小结
反思提高布置作业
分层落实创设情境
导入新课x2+10x-900=0，
x2-18x+45=0，
5x2+10x-2.2=0。自主探索
归纳新知巩固练习
深化知识归纳小结
反思提高布置作业
分层落实创设情境
导入新课自主探索
归纳新知 ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0），其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项。一元二次方程的一般形式：x2+10x-900=0，
x2-18x+45=0，
5x2+10x-2.2=0。巩固练习
深化知识归纳小结
反思提高布置作业
分层落实创设情境
导入新课（2）关于x的方程3x2+6=mx2是一元二次方程的
条件是什么？ （1）关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程吗？ 注意a≠0的条件！自主探索
归纳新知想一想归纳小结
反思提高布置作业
分层落实创设情境
导入新课自主探索
归纳新知1.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们
的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2-x=2；
（2）7x-3=2x2；
（3）x(2x-1)-3x(x-2)=0；
（4）2x(x-1)=3(x+5)-4。巩固练习
深化知识 及时巩固新知，为公式法的学习打下基础！做一做归纳小结
反思提高布置作业
分层落实创设情境
导入新课自主探索
归纳新知巩固练习
深化知识2.用试验的方法探索情景一中所列方程x(x+10)=900
的解，方程有几个解？都是情景一的解吗？组1： 900=2×2×3×3×5×5
900=36×25 或 900=(-36)×(-25) ··· ···组2：突破难点……布置作业
分层落实创设情境
导入新课自主探索
归纳新知巩固练习
深化知识 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？请谈一谈体会和收获。归纳小结
反思提高小 结：创设情境
导入新课自主探索
归纳新知巩固练习
深化知识归纳小结
反思提高基本题：教材P27习题1、2、3；
拓展题：用试验的方法探索情景二中竹竿的长度！ 布置作业
分层落实作 业：说教材说目标说教学方法说教学程序 课堂教学是一个动态过程，学生的思维又常常受到课堂气氛或突发事件的影响，为了达到最佳的教学效果，我将“教学反应”型评价和“教学反馈”型评价相结合，一方面根据课堂实施状况和学生反馈的信息而作出一种即时性评价，并顺势从教学内部进行调节；另一方面根据课堂练习的反馈，了解学生掌握知识的程度，灵活安排教学细节，从而达到教学的预期效果。说评价教学 评价课件15张PPT。22.1 一元二次方程一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面积为１８m2 ，则花边多宽?你怎么解决这个问题？新知探索 解：如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程： （8－2x）（5－2x） (8 － 2x) (5 － 2x) = 18.5xxxx （8－2x）（5－2x）818m2新知探索 x8m110m7m6m解：由勾股定理可知，滑动前梯 子底端距墙 m如果设梯子底端滑动X m，那么滑
动后梯子底端距墙 m根据题意，可得方程： 72＋(X＋6)2＝1026X＋6如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？10m新知探索 由上面二个问题，我们可以得到二个方程：(8-2x)(5-2x)=18;即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .(x＋６)2＋７2＝102即 x2 ＋12 x －15 ＝0.上述二个方程有什么共同特点？与我们以前学过的一元一次方程和分式方程有什么区别？新知探索 特点:①都是整式方程;②只含一个未知数;③未知数的最高次数是2.我们把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．新知探索 一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？(2)2x2－5xy＋6y＝0(5)x2＋2x－3＝1＋x2(1)7x2－6x＝0解: (1)、 (4) 练习巩固 1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,
当k 时，是一元二次方程．2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 时，是一元二次方程．
当k 时，是一元一次方程．≠3≠±1＝－1例题精讲 3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：3x2－5x＋1＝0x2 ＋ x－8＝0或－7x2 ＋0 x＋4＝03－5＋11＋1－8－70 43－5 111－8－70 4或7x2 － 4＝070 － 4－7x2 ＋4＝0例题精讲 解：设竹竿的长为x尺,则门的宽 度为 尺,长为 尺,依题意得方程：4．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．(x－4)2＋ (x－2)2＝ x2即x2－12 x ＋20 ＝ 04尺2尺xx－4x－2(x－4)(x－2)例题精讲 拓展提高 1.已知方程x2+mx－12=0的一个根是x=－2，求m的值。3.方程(x2－1)(2x+5)=0的解为 。2.方程(x－1)(x+3)(x －2)=0的解为 。4.已知m是方程x2+x－2009=0的一个根，
求m2+m的值为 。拓展提高 5.方程x2－2007x－2008=0的解为
1；2 B. 2；2008
C. －1；2008 D. 1；－20086. 已知6和－7是某一个方程的两个根，则该方程可以是
(x－7)(x+6)=0 B. (x+7)(x+6)=0
C. x2－x+42=0 D. x2+x－42=0本节课你又学会了哪些新知识呢？
１．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数．
２．会用一元二次方程表示实际生活中数量关系3．根据题意，列出方程：（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m,宽为(x＋2) m，依题意得方程： (x＋5) (x＋2) ＝54即x2 ＋ 7x－44 ＝025xxX＋5X＋254m2（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242. x2 ＋2x－8 0＝0.即解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋１, x＋2，依题意得方程：课件13张PPT。22.2.4 一元二次方程根的判别式用公式法求下列方程的根: 用公式法解一元二次方程的一般步骤:1)把方程化为一般形式确定a , b , c 的值3)带入求根公式 计算方程的根2)计算 的值温故而知新配方法思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况我们把 叫做一元二次方程
的根的判别式，用符号“ ”来表示.反之，同样成立！当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当 =0 时，方程有两个相等的实数根； 当 ＜0 时，方程没有实数根。练习：按要求完成下列表格：练一练有两个相等的实数根没有实数根有两个不相等的实数根方程判别式 与根 让我们一起学习例题一
般
步
骤：3、判别根的情况，得出结论.2、计算 的值，确定 的符号.例: 不解方程，判别下列方程根的情况.1、化为一般式，确定 的值.你会了吗？来练一下吧！
我相信你肯定行！ 练习练习：不解方程，判别关于 的方程
的根的情况.分析：系数含有字母的方程试一试 不解方程，判别关于 的方程
的根的情况.解：今天的收获：
我学会了……我掌握了……我体会到了……课件14张PPT。22.2 一元二次方程的解法22.2.4 一元二次方程根的判别式1．_____________叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，常用符号“Δ”来表示．
2．用“Δ”可以直接判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根的情况：
(1)当Δ>0时，方程有________________实数根；
(2)当Δ＝0时，方程有_________________实数根；
(3)当Δ<0时，方程______________实数根．
上述结论反过来也成立．
3．计算判别式并用判别式判断方程根的情况时，方程必须先化为一元二次方程的________________．b2－4ac两个不相等的两个相等的没有一般形式知识点1：一元二次方程的判别式1．若有方程x(x＋10)＝－25，则b2－4ac＝____．
2．若方程x2－4x＋m＝0的根的判别式的值为4，则m＝____，方程的根为_______________．03x1＝1，x2＝3知识点2：一元二次方程根的情况3．(2014·自贡)一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是( )
A．x2＋6＝0 B．4x2－4x＋1＝0
C．x2－x＋2＝0 D．x2－2x－3＝0
5．一元二次方程x2－3x－5＝0的根的情况为________________________________________．DB有两个不相等的实数根6．不解方程，判定下列一元二次方程根的情况．
(1)9x2＋6x＋1＝0；
解：∵a＝9，b＝6，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝36－36＝0.∴此方程有两个相等的实数根
(2)16x2＋8x＝－3；
解：化为一般形式为：16x2＋8x＋3＝0.∵a＝16，b＝8，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝64－4×16×3＝－128<0.∴此方程没有实数根
(3)3(x2－1)－5x＝0.
解：化为一般形式为：3x2－5x－3＝0.∵a＝3，b＝－5，c＝－3，∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61>0.∴此方程有两个不相等的实数根知识点3：由一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值B 8．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是( )
A．4 B．－4 C．1 D．－1D9．(2014·益阳)一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应满足的条件是( )
A．m>1 B．m＝1
C．m<1 D．m≤1
10．对于方程x2＋5x＋m＝0，其判别式Δ＝___________，当m_____时，方程有两个不相等的实数根；当m_____时，方程有两个相等的实数根；当m______时，方程没有实数根．
11．如果关于x的方程x2－x＋k＝0(k为常数)有两个实数根，那么k的取值范围是__________．D25－4m 12．(2014·宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b<0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( )
A．b＝－1 B．b＝2
C．b＝－2 D．b＝0
13．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A．k>－1 B．k<1且k≠0
C．k≥－1且k≠0 D．k>－1且k≠0AD14．关于x的一元二次方程x2－mx＋(m－2)＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
15．若关于x的一元二次方程nx2－2x－1＝0无实数根，则一次函数y＝(n＋1)x－n的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限AC0 17．关于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是__________．
18．已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(b－c)x2＋2(a－b)x＋b－a＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形一定是______三角形．a≥1等腰21．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．22．已知一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值．解：(1)∵Δ＝b2－4ac＝(2k＋1)2－4(k2＋k)＝1>0，∴方程有两个不相等的实数根 (2)∵方程有两个不相等的实数根，∴AB＝AC不成立．∴要使△ABC是等腰三角形，则AB与AC其中一条边与BC相等，即方程必有一根为5，∴52－5(2k＋1)＋k2＋k＝0，解得k＝4或k＝5.经检验k＝4或k＝5均符合题意．即k的值为4或5课件15张PPT。22.2 一元二次方程的解法22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系－p q 一般 ≥ 知识点1：一元二次方程根与系数的关系1．(2014·昆明)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个根，则x1·x2等于( )
A．－4 B．－1 C．1 D．4
2．下列一元二次方程两实数根的和为－4的是( )
A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0
C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝0
3．已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1·x2的值为( )
A．－7 B．－3 C．7 D．3CDD4．方程x2＝1－2x的两根的和等于________．－25．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(2)3x2－2x－1＝0；(3)2x2＋3＝7x2＋x；(4)5x－5＝6x2－4.知识点2：一元二次方程根与系数的运用6．已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2＋x1x22的值为( )
A．－3 B．3 C．－6 D．6AD 8．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则这个方程的另一个根是_________．
9．已知关于x的方程x2－mx＋n＝0的两个实根是0和－3，则m＝_______，n＝____．
10．(2014·莱芜)若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝______．
11．若一元二次方程x2－(a＋2)x＋2a＝0的两个实数根分别是3，b，则a＋b＝____． －3－30－1512．已知x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，不解方程，求下列代数式的值；解：由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1x2＝－2.(2)x12＋x22；解：原式＝(x1＋x2)2－2x1x2＝9＋4＝13(4)x12－3x1x2＋x22；解：原式＝(x12＋x22)－3x1x2＝13－3×(－2)＝19(5)(x1－2)(x2－2)．解：原式＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝－2－6＋4＝－4D 14．(2014·来宾)已知一元二次方程的两根分别是2和－3，则这个一元二次方程是( )
A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋2x－3＝0
C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－6＝0D15．如果关于x的一元二次方程x2＋4x＋a＝0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2－2x1－2x2－5＝0，那么a的值为( )
A．3 B．－3 C．13 D．－13B16．(2014·呼和浩特)已知m，n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n＝____．
点拨：∵m，n是方程的两个实数根，∴mn＝－5，m＋n＝－2，∵m2＋2m－5＝0，∴m2＝5－2m，原式＝(5－2m)－mn＋3m＋n＝10＋m＋n＝10－2＝8817．在解某个二次项系数为1的方程时，甲看错了一次项系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2.则这个方程为_____________________．x2－10x＋9＝018．若关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．19．关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数根是x1和x2.
(1)求k的取值范围；
(2)如果x1＋x2－x1x2<－1，且k为整数，求k的值．解：(1)∵b2－4ac＝4－4(k＋1)≥0，∴k≤0(2)∵x1＋x2＝－2，x1x2＝k＋1，由已知得－2－(k＋1)<－1，解得k>－2，又k≤0，且k为整数，∴k＝－1或020．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1和x2.
(1)求实数m的取值范围；
(2)当x12－x22＝0时，求m的值．21．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k使得x1·x2－x12－x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．课件17张PPT。欢迎进入多媒体课堂22.2.3 公式法数学小语 数学就是这样一种学问；她要求我们扎扎实实地学习，勤勤恳恳地探索。她提醒你有无形的灵魂，她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄清智能；她给我们的内心思想添辉，她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。
谨以此语献给广大的数学爱好者！1、用配方法解一元二次方程
2、用配方法解一元二次方程的步骤：知识回顾配方法的步骤：
1、化 1
2、移项
3、配方
4、求解
配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方，将方程转化为（x+m)2=n的形式。
问题1 能否用配方法把一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)转化为（x+m)2=n呢？解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0即 ( x + )2 = 配方，得 x2 + x+( )2 =- +( )2移项，得 x2 + x= -该方程一定有解吗？如果不是，它有解的条件是什么？问题2即 ( x + )2 = 问题3∴当b2-4ac≥0时, x + =± 解得 x= - ±即 x=
∵4a2＞0经过研究你能得出什么结论？
（口答）填空：用公式法解方程
3x2+5x-2=0 解：a= ，b= ，c = .
b2-4ac= = .
x= = = .
.
35-252-4×3×(-2)49-2此公式为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法叫做 公式法。对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)X=(a≠0, b2-4ac≥0)
即 x1 = , x2=例.用公式法解方程2x2+5x=3
解:将方程化为一般式，得2x2+5x-3=0
a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49①、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
②、求出b2-4ac的值。
∴ x = =
=即 x1= - 3 x2=1、一元二次方程实数根的情况与b2-4ac 有什么关系?
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么?④、写出方程的解： x1=?, x2=?③、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)小游戏一组同学写方程,另一组判断方程根的情况,或者其中一个同学写方程,其他几个判断方程根的情况.
用公式法解方程：
x2 – x - =0解：方程两边同乘以 3
得 2 x2 -3x-2=0
a=2，b= -3，c= -2.
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25. ∴x= 即 x1=2, x2= - 用公式法解方程：
x2 +3 = 2 x 解：移项，得
x2 -2 x+3 = 0a=1，b=-2 ，c=3b2-4ac=(-2 )2-4×1×3=0∴x=x1 = x2 =====例 解方程：（x-2)(1-3x)=6这里 a=3, b= -7, c= 8.∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,∴原方程没有实数根.解：去括号：x-2-3x2+6x=6化简为一般式：-3x2+7x-8=03x2-7x+8=0 我最棒 ,用公式法解下列方程1). 2x2＋x－6＝0；
2). x2＋4x＝2；
3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ;
4). 4x2+4x+10 =1-8x ；
5). x2－6x＋1＝0 ；
6). 2x2－x＝6 ； 参考答案：
(1)(2)（3）(4)解下列方程-----直接开平方法-----配方法-------公式法----------因式分解法巩固提升拓展提高：
1、用适当的方法解下列方程： （1）（2）(3)（4）
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解？
求根公式 : X=由配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 得1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 :用公式法解一元二次方程的一般步骤：精彩回顾4、写出方程的解： x1=?, x2=?(a≠0, b2-4ac≥0)X=课件15张PPT。22.2 一元二次方程的解法22.2.3 公式法b2－4ac≥0 一般形式 a，b，c b2－4ac ≥ < 符号 3．(1)在确定a，b，c的值时，一定要注意____________；
(2)当一元二次方程有两个相等的实数根时，方程的解应写成x1＝x2＝________，而不能写成x＝_______．知识点1：一元二次方程的求根公式1．将方程5x＝2x2－3化成一般形式是___________________，其中a＝____，b＝_____，c＝________，b2－4ac＝____．
2．如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)能用公式法求解，那么必须满足的条件是( )
A．b2－4ac≥0 B．b2－4ac≤0
C．b2－4ac>0 D．b2－4ac<02x2－5x－3＝02－5－349AD 知识点2：用公式法解一元二次方程D 5．一元二次方程2a2－4a－5＝0的解为_____________________．6．用公式法解方程：
(1)x2－3x＋1＝0；(2)1－x＝3x2.知识点3：用适当的方法解一元二次方程7．在下列各题的空格中填写适当的解法．
(1)解方程3x2－4x－2＝0，用_______法较适宜；
(2)解方程(5x－3)2＝7，用____________法较适宜；
(3)解方程x2＋2x＝1，用____________法较适宜；
(4)解方程3(4x－1)2＝7(1－4x)，用_____________法较适宜．公式开平方配方因式分解8．用适当的方法解一元二次方程：
(1)(x－5)(x＋7)＝1；(2)x2－4x＋3＝0；
解：x1＝1，x2＝3(3)2x2－3x－1＝0；(4)4x2－4x－1＝0.D 10．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，则m的值等于( )
A．1 B．2 C．1或2 D．0
11．用求根公式法解得某方程ax2＋bx＋c＝0的两根互为相反数，则( )
A．b＝0 B．c＝0
C．b2－4ac＝0 D．b＋c＝0BA0 13．已知三角形两边长是方程x2－2＋1＝0的两根，则三角形的第三边c的取值范围是_______________．2解：x1＝11，x2＝－9(2)x2＋5x＋2＝0；(3)x2＋3＝3(x＋1)．
解：x1＝0，x2＝318．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝3 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C以2 cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，几秒钟后P，Q两点的距离等于4 cm?课件13张PPT。22.2.5 一元二次方程的
根与系数的关系 练习题
１、口答
不解方程，求下列方程的两根和与两根积。
⑴.X2－3X+1=0 ⑵.X2－2X=2
（3).X2+5X-10=0
411412则：＝＝ 2、 求值另外几种常见的求值小结：
求与方程的根有关的代数式的值时,
一般先将所求的代数式化成含两根之和,
两根之积的形式,再整体代入.3、解答已知关于x的方程当m= 时,此方程的两根互为相反数.当m= 时,此方程的两根互为倒数.－11分析:1.2.如果2是方程
的一个根，则另一个根是___ｍ=____。
（还有其他解法吗？)
84、求方程中的待定系数 4 5、已知方程 的两个实数根
是 且 求k的值。 解：由根与系数的关系得
X1+X2=-k， X1×X2=k+2
又 X12+ X2 2 = 4
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4
K2- 2(k+2）=4
K2-2k-8=0
∵ △= K2-4k-8
当k=4时， △＜0
当k=-2时，△＞0
∴ k=-2解得：k=4 或k=－2
思考11、对于一元二次方程
两根的和、两根的积分别是多少？
思考一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)
变形，得 X2+b/ax+c/a=0(a≠0)
根据根与系数的关系，得
X1+X2=- b/a，X1?x2=c/a
1、以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是（ ）
A、y2＋3y-5=0 B、 y2－3y-5=0
C、y2＋3y＋5=0 D、 y2－3y＋5=0B分析:设原方程两根为 则:新方程的两根之和为新方程的两根之积为故所求方程为y2－3y-5=0 2、点p(m,n)既在反比例函数 的
图象上, 又在一次函数 的图象上,
则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1):
解:由已知得,{即m·n=－2
m+n=－2{∴所求一元二次方程为小结 1.一元二次方程的标准形式
ax2+bx+c=0(a≠0)
2.两根和
x1+x2= － b/a
3.两根积
x1·x2=c/a课件13张PPT。22.2 一元二次方程的解法22.2.2 配方法1．通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的_________________，若右边是一个_______常数，则可以运用________________求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
2．用配方法解方程的一般步骤：(1)将常数项移至方程的_______；(2)把二次项系数化为1；(3)将方程左边配成一个含有未知数的______________；(4)运用______________求解．完全平方式非负直接开平方右边完全平方式直接开平方知识点1：配方1．已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k＝____；若x2－2kx＋9是完全平方式，则k＝___________．64±34 2 7 3．将代数式x2＋8x＋7化成(x＋p)2＋q的形式为( )
A．(x－4)2＋26 B．(x－4)2－26
C．(x＋4)2－9 D．(x＋4)2＋9C知识点2：用配方法解二次项系数是1的一元二次方程A 5．已知x2－8x＋15＝0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是( )
A．x2－8x＋42＝31 B．x2－8x＋42＝1
C．x2＋8x＋42＝1 D．x2－4x＋4＝－11B6．用配方法解一元二次方程x2－6x＝7时，此方程可变形为( )
A．(x＋3)2＝－2 B．(x－3)2＝－2
C．(x＋3)2＝16 D．(x－3)2＝16D7．若一元二次方程x2－6x－5＝0化成(x＋a)2＝b的形式，则b等于( )
A．－4 B．4 C．－14 D．14D8．用配方法解下列方程：
(1)x2＋4x＝0；解：x1＝0，x2＝－4(2)x2－10x－11＝0.
解：x1＝11，x2＝－1知识点3：用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程B D 11．用配方法解方程：
(1)2x2－3x－6＝0；B B 14．方程x2－6x＋q＝0可配方成(x－p)2＝7的形式，则x2－6x＋q＝2可以配方成下列的( )
A．(x－p)2＝5 B．(x－p)2＝9
C．(x－p＋2)2＝9 D．(x－p＋2)2＝5
15．若三角形两边的长分别为3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为( )
A．14 B．12
C．12或14 D．以上都不对
16．若a的值使得x2＋4x＋a＝(x＋2)2－1成立，则a的值为____．BB317．已知点P(x，y)满足x2－4x＋y2＋6y＋13＝0，且点P在函数y＝的图象上，则k的值为____．－618．用配方法解下列方程：
(1)2x2＋7x－4＝0；(2)x2－2x－6＝x－11；解：原方程无实数根 (3)x(x＋4)＝6x＋12；(4)3(x－1)(x＋2)＝x－7.解：原方程无实数根(1)上述步骤，发生第一次错误是在( )
A．第二步 B．第三步
C．第四步 D．第一步
(2)写出上述步骤中发生第一次错误的原因，并重新写出解方程6x2－x－1＝0的步骤．20．小明同学解方程6x2－x－1＝0的简要步骤如下：B21．用配方法把代数式3x－2x2－2化为a(x＋m)2＋n的形式，并说明不论x取何值时，这个代数式的值总是负数．并求出当x取何值时，这个代数式的值最大．课件11张PPT。22.2.2 配方法22.2 一元二次方程的解法复习引入:1、已学过的一元二次方程解法有什么？直接开平方法和因式分解法2、用直接开平方法来解的方程有什么特征? 3、请说出完全平方公式 4、根据完全平方公式填空(格式如题(1))(1)
(2)
(3)
42４５２５25 X+5参照第一题，推想一下第二题及第三题的解法(1)
(2)
(3)下面我们把方程
变形为
它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1、解下列方程： (1)
(2)(1)
(2)拓展1例2、解下列方程： 2、把常数项移到方程右边；3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；请归纳配方法解一元二次方程的步骤拓展2用配方法证明：代数式
的值是正数小结：配方法也是一元二次方程常见的解法2、配方法的运用课件12张PPT。22.2.2 配方法
22.2 一元二次方程的解法1.解下列方程:2.请说出完全平方公式:复习旧知3.填空:34916你能解以下方程吗?想一想 这种把形如 的方程变
形为 ,它的左边是一个含
有未知数的完全平方式,右边是一
个非负常数,这样,就能应用直接开
平方的方法求解.这种解一元二次
方程的方法叫做配方法.例1.用配方法解下列方程:记住:配上一次项系数一半的平方练一练用配方法解方程：试一试用配方法解方程解：移项，得方程左边配方，得即∵∴∴原方程的解是讨论：如何用配方法解下列方程：用配方法解方程的方法步骤：1.把常数项移到方程右边,将二次项系数化为1;2.在方程的两边各加上一次项系数一半的平方,
使方程左边成为完全平方式;3.如果方程的右边整理后是非负数,用直接开平
方法解之,如果右边是个负数,则指原方程无实根.谈谈我的收获再见课件12张PPT。22.2 一元二次方程的解法22.2.1 直接开平方法和因式分解法第2课时 用直接开平方法和因式分解法解较复杂的一元二次方程 1．当p≥0时，(mx＋n)2＝p的解为_____________(m≠0)．
2．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①通过移项让方程的右边为____；②将方程的左边因式分解，写成含有一次式的两个因式的_____的形式；③让两个因式分别为0，通过解得到的一元一次方程即可求出一元二次方程的解．0积知识点1：用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程C x1＝4，x2＝0 3 4．解方程：(3)4(2x－1)2＝9.知识点2：用因式分解法解较复杂的一元二次方程D 6．方程x(x－2)＋x－2＝0的解是( )
A．2 B．－2，1
C．－1 D．2，－1DB 8．方程(x＋1)2＝x＋1的正确解法是( )
A．化为x＋1＝1
B．化为(x＋1)(x＋1－1)＝0
C．化为x2＋3x＋2＝0
D．化为x＋1＝0B9．解方程：(1)5(x－1)2＝1－x；(2)2(x－3)＝3x(x－3)；(3)(x－8)2＋2x(x－8)＝0.C C 12．下列方程不适合用因式分解法求解的是( )
A．3x2＝5x B．2x(3－x)＝x－3
C．x(x－2)＝－2 D．y2－(2y＋1)2＝0CA D 16．定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝ab＋b，当a(1)3(x－2)2－24＝0；(2)9(1－3x)2＝1；(3)6x(x＋1)＝6x＋6； 解：x1＝1，x2＝－1(4)2x2－3x＝2x－3；(5)3(x－5)2＝25－x2.18．观察下面方程的解法．
例：解方程x2－3x－4＝0.
分析：∵常数项－4＝－4×1，一次项系数－3＝－4＋1，∴x2－3x－4＝x2＋(－4＋1)x＋(－4)×1＝(x－4)(x＋1)．
解：原方程可化为(x－4)(x＋1)＝0，
∴x－4＝0或x＋1＝0.
∴x1＝4，x2＝－1.
请用上面的方法解答下列各题．
(1)一元二次方程x2＋7x＋12＝0的根是_________________；
(2)解方程：x2－2x－8＝0；
解：x1＝4，x2＝－2x1＝－3，x2＝－4(3)如图，已知△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝8，且a是方程x2－9x＋20＝0的根，求△ABC的面积．(提示：过点A作AD⊥BC于点D)课件12张PPT。22.2 一元二次方程的解法22.2.1 直接开平方法和因式分解法第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程1．利用________的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直接开平方法．
2．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“______”，转化为两个___________方程．
3．当p≥0时，x2＝p的解为_____________．
4．当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个_____________________，从而实现降次求解的目的，这种解法叫做因式分解法．平方根降次一元一次一元一次方程知识点1：用直接开平方法解方程的条件1．一元二次方程x2＝c有解的条件是( )
A．c>0 B．c<0
C．c≤0 D．c≥0DD 3．已知一元二次方程mx2＋n＝0(n≠0)，若方程有解，则必须( )
A．n＝0 B．m，n同号 C．n是m的整数倍 D．m，n异号D知识点2：用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程
4．方程x2＝9的解是( )
A．x＝±3 B．x＝3
C．x＝－3 D．x＝9A7．用直接开平方法解下列方程：
(1)x2－49＝0；
解：x1＝7，x2＝－7(2)4x2＝1；(3)3x2－36＝0；(4)6x2－3＝1.知识点3：用因式分解法解简单的一元二次方程8．一元二次方程x2＝4x的根是( )
A．x＝4 B．x＝0
C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝－4
9．(2014·舟山)方程x2－3x＝0的根为_________________．
10．一元二次方程x(x－6)＝0的两个实数根中，较大的根是_________．Cx1＝0，x2＝3x＝611．用因式分解法解方程：(1)x2＋7x＝0；
解：x1＝0，x2＝－7(2)4x2－2x＝0；(3)15x2＝3x.B A 14．下列说法错误的是( )
A．关于x的方程x2＝k必有两个互为相反数的实数根
B．关于x的方程(x＋k)2＝0必有两个相等的实数根
C．关于x的方程(x－m)2＝k2必有两个实数根
D．关于x的方程x2＝1－m2可能没有实数根A15．若x2＋3与x2－4互为相反数，则x的值为____________．
16．已知x＝1是关于x的方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根，则常数k的值为___________．0或117．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b＝a2－b2，则方程(4☆3)☆x＝13的解为x＝_________．±618．用直接开平方法解方程：(1)2x2－9＝0；(2)25－8y2＝0；(3)(t－7)(t＋2)＝0；解：t1＝7，t2＝－2(4)x(x－3)＋8x＝0.解：x1＝0，x2＝－519．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个根．20．关于x的一元二次方程(2m－4)x2＋3mx＋m2－4＝0有一根为0，求m的值．
解：将x＝0代入原方程，得m2－4＝0，解得m＝±2，∵2m－4≠0，m≠2，∴m＝－221．如图，在长和宽分别是m，n的矩形纸片和四个角上都剪去一个边长为x的正方形．(1)用m，n，x表示纸片剩余部分的面积；
解：mn－4x2(2)当m＝12，n＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．课件36张PPT。22.2 一元二次方程的解法22.2.1 直接开平方法和
因式分解法问题1 一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？10×6x2=1 500由此可得x2=25即x1=5，x2=－5可以验证，5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5 dm．设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程①方程x2+6x+9=2的左边是完全平方形式，这个方程可以化成
（x+3）2=2，进行降次，得______________，所以方程的根为x1=___________，x2＝__________．如果方程能化成 的形式，那么可得解下列方程：方程的两根为练 习解：方程的两根为解：移项解：方程的两根为解：方程的两根为解：方程的两根为解法一(直接开平方法):问题2、请解方程 9x2－25=0解法二：原方程可变形为(3x+5)(3x－5)=03X+5=0 或 3x－5=09X2－25= (3x+5)(3x－5)教学目标1、熟练掌握用因式分解法解一元二次方程 2、通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化的思想 重点 难点重点：用因式分解法解一元二次方程
难点：正确理解AB=0?A=0或B=0（ A、B表示两个因式）3、x2－3x－10=0
4、(x+3)(x－1)=5例1、解下列方程
1、3x2+2x=0 2、x2=3x 例2、解下列方程 x+2=0或3x－5=0 ∴ x1=-2 , x2= （2）(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为 (3x+1+)(3x+1－)=0 3x+1+=0或3x+1－=0 ∴ x1= , x2= 用因式分解法解一元二次方程的步骤1o方程右边不为零的化为 。
2o将方程左边分解成两个 的乘积。
3o至少 一次因式为零，得到两个一元一次方程。
4o两个 就是原方程的解。 零一次因式有一个一元一次方程的解例 (x+3)(x－1)=5解：原方程可变形为(x－2)(x+4)=0x－2=0或x+4=0∴ x1=2 ,x2=-4解题步骤演示方程右边化为零x2+2x－8 =0左边分解成两个一次因式 的乘积至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程 两个一元一次方程的解就是原方程的解 快速回答：下列各方程的根分别是多少？AB=0?A=0或Ｂ＝０这样解是否正确呢？ 方程的两边同时除以同一个不等于零的数，所得的方程与原方程 同解。注：如果一元二次方程有实数根，那么一定有两个实数根.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？( )当一元二次方程的一边为0 ，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法来解.0用因式分解法解下列方程：y2=3y(2) (2a－3)2=(a－2)(3a－4)(3)(4) x2+7x+12=0(1) (x－5)(x+2)=18x2－３x－28=0(x－7)(x+4)=0X－7=0,或x+4=0x1=7,x2= -4右化零 左分解
两因式 各求解简记歌诀：因式分解法解题框架图解：原方程可变形为：
=0
( )( )=0
=0或 =0
∴ x1= , x2= 一次因式A 一次因式A一次因式B 一次因式B B解 A解 (1) (4x－3)2=(x+3)2解方程：(拓展)练习:用因式分解法解关于 的方程解：原方程可变形为：(x－a+b)(x－a－b)=0X－a+b=0 或 x－a－b=0∴x1=a－b x2=a+b(x－a)2－b2=0课件15张PPT。22.3 实践与探索第2课时 用一元二次方程解决复杂的应用问题1．对于较复杂的实际问题，要先理清题目中的___________，求出直接列方程可得到的结果，再解决题目中拓展的问题．
2．利润＝(____________－____________)×______________．等量关系销售单价成本单价销售量知识点1：用一元二次方程解决复杂的几何问题1．(2014·牡丹江)现有一块长80 cm，宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1 500 cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得________________________________．x2－70x＋825＝02．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出的方程是_______________________________．答案不唯一，如(x＋1)2＝253．王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边为a米，由于受地势限制，第二条边只能比第一条边长的2倍多2米．
(1)请用a表示第三条边长；
(2)问第一条边长可以为7米吗？为什么？请说明理由，并求出a的取值范围；
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由．解：(1)第一条边为a，第二条边为2a＋2，第三条边为30－a－(2a＋2)＝28－3a (3)能围成直角三角形形状．当28－3a是最长边时，a2＋(2a＋2)2＝(28－3a)2，解得a1＝5，a2＝39(不合题意，舍去)，所以三边分别是5，12，13.当2a＋2是最长边时，a2＋(28－3a)2＝(2a＋2)2，由于解不是整数，舍去．所以能围成直角三角形形状，且各边长均为整数的三角形，三边分别是5米，12米，13米知识点2：用一元二次方程解决复杂的增长率问题4．(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为__________万元；
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年的增长百分率x.解：由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%2.6(1＋x)25．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2012年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2014年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
(1)求每年市政府投资的增长率；
(2)若这两年内的建设成本不变，求到2014年底共建设了多少万平方米廉租房．知识点3：用一元二次方程解决销售利润问题6．(2014·泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株？则可以列出的方程是( )
A．(3＋x)(4－0.5x)＝15
B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15
C．(x＋4)(3－0.5x)＝15
D．(x＋1)(4－0.5x)＝15A7．某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利1 080元，每件应降价___________元．2或148．某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，则这个降价率为________，经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．若该商品原来每月销售500件，那么两次调价后，每月可销售商品________件．
9．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出(350－10a)件，但物价局限定每次商品加价不能超过进价的25%，商品计划要赚400元，需要卖出________件商品，每件商品的售价为______元．10%8801002510．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利__________元；(用含x的代数式表示)
(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？解：由题意得：(50－x)(30＋2x)＝2 100，化简得：x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20.∵该商场为了尽快减少库存，则x＝15不合题意，舍去．∴x＝20.答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元2x(50－x)11．某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？12．小亮家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙，围成一个矩形猪圈，如图所示，现在已备足可以砌12 m长的墙的材料．
(1)如果小亮家想围成面积为16 m2的矩形猪圈，你能够教他们怎么围吗？
(2)如果小亮家想围成面积为20 m2的矩形猪圈，你认为可能吗？说明理由．解：(1)设垂直于墙的边长为x m，则x(12－2x)＝16，解得x1＝2，x2＝4，所以垂直于墙的边长为2 m或4 m(2)不可能，理由如下：设垂直于墙的边长为y m，则y(12－2y)＝20，整理得，－2y2＋12y－20＝0，b2－4ac＝144－4×(－2)×(－20)＝－16<0，∴此方程无解，∴不能够围成13．(2014·随州)楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．
(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)(2)当02．构建一元二次方程来解决实际问题时，必须验证方程的解是否符合____________．
3．几何图形问题常根据_________________公式列出一元二次方程．
4．若设每次的平均增长(或降低)率为x，原来的基数为a，则第一次增长(或降低)后的数量为____________，第二次增长(或降低)后的数量为_______________．未知数方程方程实际意义面积(或体积)a(1±x)a(1±x)2知识点1：用一元二次方程解决几何问题1．一个面积为35 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，则这个苗圃的长为( )
A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m
2．等腰梯形面积为160 cm2，上底比高多4 cm，下底比高多20 cm，这个梯形的高为( )
A．20 cm B．8 cm
C．8 cm或20 cm D．非以上答案
3．一个正方形的边长增加了3 cm，面积相应增加了39 cm2，则原来这个正方形的边长为____cm.CB54．如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为_______________________．(22－x)(17－x)＝3005．如图是一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分(图内阴影部分)种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600平方米，那么花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？解：设正方形观光休息亭的边长为x米．依题意，有(100－2x)(50－2x)＝3 600.整理，得x2－75x＋350＝0.解得x1＝5，x2＝70.∵x2＝70>50，不合题意，舍去，∴x＝5.答：矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米知识点2：用一元二次方程解决增长率问题6．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得( )
A．168(1＋x)2＝128 B．168(1－x)2＝128
C．168(1－2x)＝128 D．168(1－x2)＝128B7．某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是___________________．
8．(2014·随州)某小区2013年绿化面积为2 000平方米，计划2015年绿化面积要达到2 880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是___________.25(1＋x)2＝3620%知识点3：用一元二次方程解决其他问题9．若两个连续整数的积是42，那么这两个整数的和是( )
A．13 B．－13
C．13或－13 D．12或－14
10．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数是( )
A．25 B．36
C．25或36 D．－25或－36CC11．一球以15 m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)近似满足关系式：h＝15t－5t2，则小球在什么时刻的高度为10 m?解：由题意知，10＝15t－5t2，解得t＝1或t＝2，所以小球在1秒或2秒时的高度为10 m12．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )
A．50(1＋x2)＝196
B．50＋50(1＋x2)＝196
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196CC13．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．如果设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( )A．(20－x)(32－x)＝540
B．(20－x)(32－x)＝100
C．(20＋x)(32－x)＝540
D．(20－x)(32＋x)＝540A14．有一间长20 m，宽15 m的会议室，在它的中间辅一块地毯，地毯子的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空宽度为________．2.5m15．(2014·丽水)如图，某小区规划在一个长30 m，宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少？设通道的宽为x m，由题意列方程________________________________．(30－2x)(20－x)＝6×7816．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6，解得x＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不舍题意，舍去)．答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%解：设我省每年产出的农作物秸秆总量为1，合理利用量的增长率是x，由题意，得1×30%·(1＋x)2＝1×60%，解得x1≈0.41，x2≈－2.41(不合题意，舍去)．答：我省每年秸秆合理利用量的增长率约是41%18．(2014·新疆)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？解：设AB的长度为x，则BC的长度为(100－4x)米．根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5，则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80>25，∴x2＝5舍去，即AB＝20，BC＝20.答：羊圈的边长AB，BC分别是20米，20米19．如图，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的矩形图案，其中两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？课件22张PPT。22.3 实践与探索学习目标经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决问题的一般步骤。
体验数学建模的数学思想。面积问题：问题1、小明把一张长为10厘米的正方形纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子。如图。(1).如果要求长方体的底面积为81cm2,那么剪去的正方形的边长为多少?问题1：长方体的底面正方形的边长、剪去的小正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？（长方体的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍）分析:如果设剪去的正方形的边长为xcm.则长方体盒子的底面边长为______ cm .解:设剪去的正方形的边长为xcm,根据题意,得(10-2x)2=81解得, x1=9.5, x2=0.5因为x1=9.5不合题意应舍去,所以x=0.5答:剪去的正方形的边长为0.5cm.（10-2x）问题２：如果要求长方体的底面积为81cm2,那么剪去的正方形边长为多少?问题３：请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。（长方体的高与正方形硬纸板中剪去的小正方形的边长一样；体积为________________.)问题４：如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求,那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化?折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化?0.511.522.533.5440.56473.54862.57231.516探索1:在你观察到的变化中,你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况?探索2:如果以剪去的正方形的边长为自变量,折合而成的长方体的体积为函数,并在直角坐标系中画出相应的点,看看与你的感觉是否一至.
自主探究1、现有长方体塑料片一块，19cm,宽15cm,给你锋利小刀一把，粘胶、直尺、你能做一个底面积为77cm2的无盖的长方体水槽吗？说说你是怎样做的？2、如图，一个院子长10m，宽8m，要在它的里面沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这花圃的宽度。（花圃的宽度为1m）解:设这花圃的宽度为x，依题意，得问题2：阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？1、翻一番，你是如何理解的？（翻一番，即为原净收入的2倍，若设原值为1，那么两年后的值就是2） 2、“平均年增长率”你是如何理解的。（“平均年增长率”指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值。即每年按同样的百分数增加）增长率问题问题1因为增长率不能为负数
所以增长率应为， 问题2：阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？，答：这两年中财政净收入的平均年增长率约为41.4%2、若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？3、又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？达标检测 1、某钢铁厂去年1月某种钢产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？ 2、某种药品，原来每盒售价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元。平均每次降价百分之几？1、某钢铁厂去年1月某种钢产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？ 解：设平均每月增长的百分率为
，依题意，得因为不合题意所以只能取答：平均每月增长的百分率是 20％ 2、某种药品，原来每盒售价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元。平均每次降价百分之几？解：设平均每次降价的百分率为 ，依题意，得， 因为不合题意，所以只能取答：平均每次降价的百分率是 25％小结 谈谈你对本节所探讨的知识有何体会，你能否结合你的体会编制一道应用题，在小组内交流 。课件9张PPT。22.3 实践与探索一.面积问题例1、如图，在一块长为92m，宽为60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？ 练习(1) 如图,在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂画.如果要求风景画的面积是整个面积的72%,那么金边的宽应是多少? （2） 在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽。
（3）如图,一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长. 学校准备在图书馆后面的场地上建一个面积为12m2 的矩形自行车棚,一边利用图书馆的后墙,并利用已有总长为10m的铁围栏(通道门也用铁围栏制作),请你来设计,如何搭建较合适(即自行车棚的长、宽各是多少) ？ 如果图书馆后墙可利用长度为5m那么应如何搭建才合适?1、如图，有长为12米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。
（1）如果要围成面积为9平方米的花圃，AB的长是多少米？
（2）能围成面积比9平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。（3）学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚.一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏.请你设计，如何搭建较合适？三、小结：1、列一元二次方程解应用题的步骤。
2、关键之处：分析题意，找出等量关系，列出方程。
3、如何验方程的解。课件6张PPT。22.3 实践与探索（1） 商店1月份的利润是2500元， 3月份的利润达到3000元，这两个月的利润平均增长的百分数是多少？（2）某药品经两次降价,每瓶零售价由56元降为31.5元.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（3）某省十分重视治理水土流失问题，2009年治理水土流失的面积为400km2,为了逐年加大治理的力度，计划今、明两年治理水土流失的面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2011年年底，使这三年治理水土流失的面积达1324km2,求该省今、明两年治理水土流失面积平均每年增长的百分数。（4）某商店二月份营业额为50万元，春节过后三月份下降了30%，四月份有回升，五月份又比四月份增加了5个百分点（即增加了5%），营业额达到48.3万元.求四、五两个月增长的百分率.二.百分率问题：（１）95年的数量为A，97年的数量为B，经过两个时间单位，求增长率x。（２）95年的数量A，经过两个时间单位后数量增加m%，求增长率x.（３）某季度数量为B，头一个月数量为A，求后两个月的增长率x.
三、小结：1、列一元二次方程解应用题的步骤。
2、关键之处：分析题意，找出等量关系，列出方程。
3、如何验方程的解。课件5张PPT。22.3 实践与探索（1）某农场去年种了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg,根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产新品种南瓜。已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg,求南瓜亩产量的增长率。（2）某超市在销售中发现，某品牌牛奶平均每天可售出20箱，每箱获利20元，为尽快减少库存，超市决定采取降价措施，经调查发现，每箱牛奶每降价2元，
那么平均每天可多售出8箱，要想平均每天在销售这种牛奶上获利600元，那么每箱牛奶应降价多少元？（3）中百超市电器专柜某品牌 电视进价2500元，售价定为3500元，每天售出8台，且每降价100元，每天平均多售出2台，为多售出电视机，使利润增加12.5%，则每台应定价多少元？三、小结：1、列一元二次方程解应用题的步骤。
2、关键之处：分析题意，找出等量关系，列出方程。
3、如何验方程的解。
