阶段微测题组（三）（18.2）
一、选择题
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 (C)
A．对角线相等 B．四个角都是直角
C．对角线互相垂直 D．两组对边分别平行
2.（曲靖富源七中期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是 (D)
A.当∠ABC＝90°时，它是矩形
B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当AB＝BC时，它是菱形
D.当AC＝BD时，它是正方形
3.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC的长为 (B)
A.5 B.4 C.3.5 D.3
第3题图 第4题图
4.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若∠BAC=60°，则∠ADB的度数是 (A)
A．30° B．40°
C．50° D．60°
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，F是BC的中点，若AB=1，BC=，则EF的长是(C)
A．2 B．1 C． D．
第5题图 第6题图
6.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,DE⊥AB,DF⊥BC，则△DEF的周长为 (D)
A.3 B. C.6 D.3
7.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O，E是AD上除端点外的任意一点，过点O作OF⊥OE交CD于点F，若AB=6，则四边形EOFD的面积为 (B)
A．18 B．9
C．6 D．不能确定
第7题图 第8题图
8.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF，DF，则下列结论错误的是 (D)
A．四边形ACDF是平行四边形
B．若AB=AC，则DF=AB
C．若AC＝BC，则四边形ACDF为菱形
D．若∠BAC=90°，则CF=AD
二、填空题
9．（保山隆阳区期中）已知菱形ABCD的面积为10，对角线AC的长为4，则BD的长为5．
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=5，AC=8，则BC=6．
11.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是22.5 °.
第11题图 第12题图
12.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，若AC=4，则EF的长是2．
三、解答题
13.如图，已知E,F为?ABCD的对角线上的两点，且BE=DF，∠AEC=90°.
求证：四边形AECF为矩形.
证明：连接AC交BD于点O，如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵BE=DF,
OE=OB-BE,
OF=OD-DF,
∴OE=OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵∠AEC=90 °,
∴四边形AECF为矩形. 答图
14.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于点E，交AC于点F，交AD于点O.求证：四边形AEDF是菱形.
证明：∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
又∵EF⊥AD，∴EO=FO.
∴AE=AF.
∵EF垂直平分AD,
∴AE=ED,AF=DF.
∴AE=AF=DF=ED.
∴四边形AEDF是菱形.
15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D，E分别是边BC，AC的中点，F在DE的延长线上，AF=BD．求证：CF=CD．
证明：∵D,E分别是边BC,AC的中点，
∴DE∥AB，AE=CE,BD=CD.
∴∠DEC=∠BAC=90 °.
又∵AF=BD,∴AF=CD.
在Rt△AEF和Rt△CED中，
AF=CD,
AE=CE,
∴Rt△AEF≌Rt△CED(HL).
∴∠FAE=∠DCE，AF=CD.
∴AF∥CD.
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵∠BAC=90 °，D是边BC的中点，
∴AD=CD.
∴平行四边形ADCF是菱形.
∴CF=CD．
16.（玉溪期末）如图，P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ.
（1）如图甲，求证：∠CBP＝∠CDQ；
（2）如图乙，延长BP交直线DQ于点E，交CD于点F，求证：BE⊥DQ；
（3）如图丙，若△BCP为等边三角形，试探索线段PD，PE之间的数量关系，并说明理由.
甲 乙 丙
(1)证明：∵将线段CP绕点C顺时针旋转90 °，得到线段CQ，
∴CP=CQ，∠PCQ=90 °.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90 °.
∴∠BCP=∠DCQ.
∴△BCP≌△DCQ(SAS).
∴∠CBP=∠CDQ；
(2)证明：∵∠CBF+∠BFC=90 °，∠BFC=∠DFE，
∴∠CBF+∠DFE=90 °.
又∵∠CBP=∠CDQ，
∴∠CDQ+∠DFE=90 °.
∴∠DEF=90 °.∴BE⊥DQ；
(3)解：PD=PE.理由如下：
∵△BCP≌△DCQ，∴CP=CQ.
∵△BCP为等边三角形，
∴∠BPC=∠BCP=60 °，BC=CP.
∴PC=CD=DQ，∠CDQ=60 °.
∴∠CPD=∠CDP.
∵∠EPD=180 °-60 °-∠CPD，∠EDP=180 °-60 °-∠CDP，
∴∠EPD=∠EDP.∴PE=DE.
由(2)知BE⊥DQ，
∴△PED为等腰直角三角形.
∴PD=PE.阶段微测题组（三）（18.2）
一、选择题
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ()
A．对角线相等 B．四个角都是直角
C．对角线互相垂直 D．两组对边分别平行
2.（曲靖富源七中期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是 ()
A.当∠ABC＝90°时，它是矩形
B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当AB＝BC时，它是菱形
D.当AC＝BD时，它是正方形
3.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC的长为 ()
A.5 B.4 C.3.5 D.3
第3题图 第4题图
4.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若∠BAC=60°，则∠ADB的度数是 ()
A．30° B．40°
C．50° D．60°
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，F是BC的中点，若AB=1，BC=，则EF的长是()
A．2 B．1 C． D．
第5题图 第6题图
6.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,DE⊥AB,DF⊥BC，则△DEF的周长为 ()
A.3 B. C.6 D.3
7.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O，E是AD上除端点外的任意一点，过点O作OF⊥OE交CD于点F，若AB=6，则四边形EOFD的面积为 ()
A．18 B．9
C．6 D．不能确定
第7题图 第8题图
8.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF，DF，则下列结论错误的是 ()
A．四边形ACDF是平行四边形
B．若AB=AC，则DF=AB
C．若AC＝BC，则四边形ACDF为菱形
D．若∠BAC=90°，则CF=AD
二、填空题
9．（保山隆阳区期中）已知菱形ABCD的面积为10，对角线AC的长为4，则BD的长为 ．
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=5，AC=8，则BC= ．
11.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是 .
第11题图 第12题图
12.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，若AC=4，则EF的长是2．
三、解答题
13.如图，已知E,F为?ABCD的对角线上的两点，且BE=DF，∠AEC=90°.
求证：四边形AECF为矩形.
答图
14.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于点E，交AC于点F，交AD于点O.求证：四边形AEDF是菱形.
15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D，E分别是边BC，AC的中点，F在DE的延长线上，AF=BD．求证：CF=CD．
16.（玉溪期末）如图，P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ.
（1）如图甲，求证：∠CBP＝∠CDQ；
（2）如图乙，延长BP交直线DQ于点E，交CD于点F，求证：BE⊥DQ；
（3）如图丙，若△BCP为等边三角形，试探索线段PD，PE之间的数量关系，并说明理由.
甲 乙 丙
