2.1 平方根和算术平方根（共19张PPT）2024～2025学年湘教版初中数学七年级下册

(共19张PPT)
2.1 平方根
课时1 平方根和算术平方根
1.了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示
一个数的算术平方根.（重点）
2.会求非负数的平方根与算术平方根.（难点）
如果一个数的平方等于 9，那么这个数是多少？
想一想：3 和 -3 有什么特征？
由于 ，
所以这个数是 3 或 -3.
3 和 -3 互为相反数，会不会是巧合呢？
根据上面的研究过程填表：
如果我们把±2，±4 ，±6，±7，± 分别叫4,16,36,49， 的平方根，用自己的话说说什么是平方根.
4
±2
如果有一个数 r，使得 r2 = a，那么 r叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根.
知识要点
4 的平方根除了 2 和 －2 以外，还有其他的数吗？
32=9，因为大于 2 的数，它的平方一定大于 4，
所以比 2 大的数都不是 4 的平方根.
类似地，12=1，小于 2 的数，它的平方一定小于4，
从而比 2 小的正数都不是 4 的平方根.
想一想
又由于 (－b)2 = b2，因此，大于 －2 或小于－2 的负数都不是 4 的平方根.
0 显然不是 4 的平方根，
所以 4 的平方根有且只有两个：2 与 －2.
互为相反数
一般地，如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与－r.
正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方根，记作 ，读作“根号 a”；
正数 a 的负平方根记作 ，读作“负根号 a”.
这样，正数 a 的两个平方根可以用“ ”来表示，读作“正、负根号 a”.
知识要点
0 的平方根是多少？负数有平方根吗？
由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此，0的平方根就是0本身.
由于同号两数相乘得正数，且02=0，
因此，不存在一个数的平方是负数，从而负数没有平方根.
想一想
正数平方根有两个，它们互为相反数；
零的平方根是 0；
负数没有平方根.
归纳总结
求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.这个非负数叫作被开方数.
+1
-1
+
-
+3
-3
1
5
9
开平方
平方
知识要点
根号“ ”可理解为一种运算符号，表示对被开方数进行开平方运算.
例1 分别求下列各数的平方根：
（1）36；（2） ；（3）1.21.
解：（1）由于 (±6)2 = 36，因此 36 的平方根是 6 与－6，
即 .
（2）由于 (± )2 = ，因此 的平方根是 与－ ，
即 .
（3）由于 (±1.1)2 = 1.21，因此 1.21 的平方根是 1.1 与－1.1，
即 .
例2 分别求下列各数的算术平方根：
（1）100；（2）1.96；（3） .
解：（1）因为 102 = 100，
所以 .
（2）因为 1.42 = 1.96，所以 .
（3）因为 ( )2 = ，所以 .
通过观察算术平方根的大小变化，说说你发现了什么？
正数越大，它的算术平方根也越大.
平方根与算术平方根的区别与联系
类别 名称 平方根 算术平方根
区别 个数不同
表示方法不同
结果不同
联系 具有包含关系 存在条件相同 两个，且互为相反数
一个
一正一负
正数
平方根包含了算术平方根
被开放数为非负数，0 的平方根与算术平方根都是 0
填一填
下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？
（1）|－81|； （2）(－5)2.
解：|－81| = 81，
由于 (±9)2 = 81，
因此 81 的平方根是 9 与－9，
即 .
解：(－5)2 = 25，
由于 (±5)2 = 25，
因此 25 的平方根是 5 与－5，
即 .
议一议
1. 分别求 64，6.25 的平方根.
2. 分别求 81，0.16 的算术平方根.
解：由于92=81，所以 .
由于0.42=0.16，所以
由于8 与 -8的平方是64 ，所以
由于2.5 与 -2.5的平方是6.25 ，所以
解：
3. 判断下列说法是否正确.
正确.
（4）(-4)2 的平方根是 -4.
（1） 是 的一个平方根；
（2） 是 6 的算术平方根；
（3） 的值是 ±4；
正确.
不正确， 的值是 4.
不正确，(-4)2 的平方根是 ±4.
4. 已知一个自然数的算术平方根是 a，则按从小到大排该自然数的后一个自然数的算术平方根是 （ ）
A. a + 1 B.
C. a2 + 1 D.
D
解析：一个自然数的算术平方根是 a，那么这个自然
数就是 a2，按从小到大排该自然数的后一个自然数就是a2 + 1，它的算术平方根是
5.已知 3(x - 1)2 = 363 ，求 x 的值．
解：因为 3(x - 1)2 = 363，
所以 (x - 1)2 = 121，
所以 x = 12 或 x =－10.
若 r2 = a，则 r 是 a 的一个平方根.
1. 平方根的定义：
2. 平方根的性质：
（1）正数有且只有两个平方根，它们互为相反数；
（2）0 有一个平方根，就是 0；
（3）负数没有平方根.
3. 平方根的表示方法：
平方根： （a ≥ 0）
算术平方根： （a ≥ 0）