八年级数学下册试题 6.1平行四边形的性质 同步练习--北师大版（含解析）

6.1平行四边形的性质
一、单选题
1．下面关于平行四边形的性质描述正确的是(　　)
A．平行四边形的对称中心是对角线的交点
B．平行四边形的对称轴是对角线所在直线
C．平行四边形不是中心对称图形
D．平行四边形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形
2．平行四边形具有而一般四边形不具有的性质是( )
A．外角和等于 B．对角线互相平分
C．内角和等于 D．有两条对角线
3.如图，在平行四边形ABCD中，的平分线交于点，若，，则的长( )
A．1 B．1.5 C．2 D．3
4.如图，在平行四边形ABCD中，，，于点，则的度数为( )
A． B． C． D．
5.如图，在平行四边形中，，，，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为( )
A． B．4 C． D．3
6.在平行四边形ABCD中，，平分交边于点E，平分交边于点F，若点E与点F的距离为2，则的长为(　　)
A．2 B．5 C．2或5 D．3或5
7．如图，P是平行四边形ABCD内的任意一点，连接、、、，得到、、、，设它们的面积分别是、、、，给出如下结论：①，②若，则，③若，则的面积为10；④．其中正确的(　　)
A．①③ B．②③ C．①② D．②④
二、填空题
8.在平行四边形中，，则 ．
9.在平行四边形ABCD中，对角线，相交于点，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，，则点的坐标是 ．
10.如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，，，则的长为 ．
11.如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，且，那么图中阴影部分的面积为 ．
12.在平行四边形中，，已知，，将沿翻折至 AB/C，使点落在平行四边形所在的平面内，连接．若 AB/D是直角三角形，则的长为 ．
13.如图，在平面直角坐标系中，E是的中点，已知，，，，点P是线段上的一个动点，当的长为 时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题
14.如图，在平行四边形中，对角线和交于O点，点E，F在对角线上，，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的长．
15.已知平行四边形ABCD是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点关于平行四边形ABCD对称中心的对称点．
(1)如图1，点E在平行四边形ABCD的边上；
(2)如图2，点E在平行四边形ABCD外．
16.如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，，求．
17.如图，在平行四边形ABCD中，BE、DG分别平分，交于点．
(1)求证：；
(2)连接，证明；
(3)过点作，垂足为．若平行四边形ABCD的周长为，求的面积．
18.如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为．
(1)求证：；
(2)过点作于点，若，求的面积.
19.如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．
(1)用含t的代数式表示 ；
(2)当时， 求t的值；
(3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
20.如图1，在平行四边形ABCD中，于E，E恰为BC的中点．

(1)求证：；
(2)如图2，点在上，作于点，连结．求证：；
(3)请你在图3中画图探究：当为射线上任意一点(不与点重合)时，作于点，连结，线段与之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．
答案
一、单选题
1．A
【分析】本题考查了中心对称图形、轴对称图形、轴对称的性质，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
根据平行四边形的性质，结合中心对称图形以及轴对称图形的定义解答即可．
【详解】解：A．平行四边形的对称中心是对角线的交点，说法正确，故本选项符合题意；
B．平行四边形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．平行四边形是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．B
【分析】此题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的性质求解，即可求得答案．
【详解】解：平行四边形具有的性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分；
一般四边形具有：外角和等于，内角和为，有两条对角线．
平行四边形具有而一般四边形不具有的性质是：对角线互相平分．
故选：B．
3.C
【分析】本题考查平行四边形的性质，由平行和角平分线可得，即可得到，最后根据计算即可．
【详解】∵平行四边形ABCD，，，
∴，，，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4.A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，由等腰三角形的性质可得，由平行四边形可得，进而得到，再根据直角三角形两锐角互余可得，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
5.C
【分析】如图，作于K，过E点作于P．可得，可得点E到的距离是，证明；可得，设，则，，由勾股定理得，再求解即可．
【详解】解：如图，作于K，过E点作于P．
∵，，
∴，，
∵C到的距离和E到的距离都是平行线、间的距离，
∴点E到的距离是，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
由折叠可知，，，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得，
解得，
∴，
∴．
故选C．
6.D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，根据平行线的性质得到，由平分，得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，同理，根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，即可得到结论．
【详解】解：①如图1，在平行四边形ABCD中，
∵，
∴，
∵平分交边于点E，平分交边于点F，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
②如图2：在平行四边形ABCD中，
∵，
∴，
∵平分交边于点E，平分交边于点F，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴；
综上所述：的长为3或5，
故选：D．
7.A
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积根据平行四边形的性质可以得到，，设点到、、、的距离分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理判断即可得到答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
设点到、、、的距离分别为分别为平行四边形的边和边的高
则
，
又，
，故①正确；
根据只能判断，不能判断，即不能得出，故②错误；
根据，能得出的面积为，故③正确；
由题意只能得到无法得到，故④错误；
故选：A．
二、填空题
8.
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质和题意，可以计算出和的度数，然后即可计算出的度数．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，，
，，
，
故答案为：．
9.
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，关于原点对称的点的坐标特点，根据平行四边形对角线互相平分可知点A与点C，点B与点D分别关于原点O对称，再根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出a、b的值，进而求出点B的坐标，即可求出点D的坐标．
【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，对角线，相交于点，
∴点A与点C，点B与点D分别关于原点O对称，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10.
【分析】
本题考查了角平分线的性质，平行四边形的性质和勾股定理的逆定理．利用基本作图得到平分，则，再根据平行四边形的性质得到，，，接着证明得到，所以，然后利用勾股定理的逆证明证明为直角三角形，，则，最后利用勾股定理可计算出的长．
【详解】
解：由作法得平分，
，
四边形为平行四边形，
∴，，，
，
，
，
，
在中，
，，，
，
为直角三角形，，
∵，
，
在中，．
故答案为：．
11.
【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质．过点作于点，勾股定理求得，证明，进而可得阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵平行四边形的对角线和相交于点，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴
同理：
∴阴影部分面积面积,
故答案为：．
12.或
【分析】根据平行四边形中，，要使 AB/C是直角三角形，则，，画出图形，分类讨论，即可．
【详解】当，，延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵沿翻折至 AB/C，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，
设，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
当时，设交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵沿翻折至 AB/C，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
∴，
∴，
∴
解得：，
∴．
综上所述，当的长为或时， AB/D是直角三角形．
13.1或9
【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的判定，根据四个点的坐标求出，，，，根据平行四边形的判定得出当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况进行讨论即可得出答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，，，，
∴，
∵E是的中点，
∴，
当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况：
①当点P在点E的左侧时，；
②当点P在点E的右侧时，；
综上所述，当的长为1或9时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：1或9．
三、解答题
14.(1)解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
(2)∵，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
15.(1)解：如图1，点即为所求；
(2)解：如图2，点即为所求．
16.(1)证明： ∵四边形是平行四边形，
∴；
∵，，
∴；
(2)证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
由(1)知：，
∵，
∴；
(3)解：∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
如图，过E作于G，
则，
∴，；
在中，，由勾股定理得，
在中，，由勾股定理得．
17.(1)证明：四边形是平行四边形，
，
分别平分，
，
，
，
，
在和中，
，
(2)解：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
(3)解：作，
，
的周长为56
平分，
，
．
18.(1)∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
(2)过点作于点，
∵是的角平分线，，
∴，
∵平行四边形的周长为，
∴，
∵，
∴．
19.(1)解：∵，，
∴
点从点出发，以速度沿射线运动，
当在线段上时，
∴
∵动点从点出发沿以速度向终点运动，，
∴，
当在的延长线上时，；
(2)解：过点作于，
∵四边形是平行四边形，，，
，，，
，，
，，
，，
∵PQ⊥BC，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
；
(3)解：存在，
当为边时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
当为对角线时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
综上所述：的值为或4.
20.(1)证明： ∵，
∴；
∵是中点，
∴，
即；
又∵四边形是平行四边形，则；
故．
(2)证明：作，交于；(如图2)

∵，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，且，
∴，且，
故；
(3)解：如图3，

①当在线段上时，有，
证明方法类似(2)．
②如图中，点在上，．

理由：将绕点逆时针旋转得到
∴，
同(1)可得∶
，
则．
③如图，点在的延长线上，，

证明方法类似(2)．
综上所述，与之间的数量关系为：、