八年级数学下册试题 6.3 三角形的中位线 同步练习--北师大版（含答案）

6.3 三角形的中位线
一、单选题
1．如图，点D，E分别是，的中点，的平分线交于点F，，，则的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在平行四边形中，对角线和交于O点，点E是的中点，若，，，则的周长是( )
A．12 B．13 C．14 D．15
3．中，E是的中点，平分，于点D，若，，则( )

A．1 B．2 C．4 D．8
4．如图，、是的中线，P、Q分别是、的中点，则等于(　　)
A． B． C． D．
5．如图，称为第1个三角形，它的周长是1，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，以此类推，则第2024个三角形的周长为( )
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，在中，点D、E分别是的中点，若，则 ．

7．如图，在中，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的周长是 ．
8．如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为 ．

9.如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为 ．
10.如图，在中，，，点H，G分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 ．
11.如图，在△ABC中，，，．在平面内将平移得到，其中点A和点B的对应点分别为点D和点E．若点P，Q分别是AC，DE的中点，则的最大值是 ．
三、解答题
12.如图，中，，，平分，，延长交于点，是的中点，求的长．
13.如图1，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，分别取，的中点D、E．
(1)测得的长为，则A、B两地的距离为_______．
(2)如图2，在四边形中，，点E、F分别是和的中点， 求的长
14.如图，，，，分别是，，，的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求四边形的周长．
15.如图，在中，，于点D，点E在边上，且，分别交于点E、F．

(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图1，若，试判断与的数量关系，并说明理由．
(3)如图2，若，求证：．
16.如图，在中，平分，于点E，点F是的中点．
(1)如图1，的延长线与边相交于点D，求证：；
(2)如图 2，探究线段之间的数量关系，直接写出你的结论： ．
17.已知：在中，，，是边上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．
(1)如图1，当点在线段上时，求证：是的中点；
(2)如图2，连接，取线段的中点，连接，直接写出的大小并证明；
(3)若是的中点，，直接写出的最小值为______．
18.如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，．
(1)若，，求的度数；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)连接，交于点O，若，，直接写出的长度．
19.如图1，在中，点，分别在边，上，，连接，点分别为的中点．
(1)观察猜想
图1中，线段与的数量关系是 ，的度数为 ；
(2)探究证明
把 ADE绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理；
(3)拓展延伸
把 ADE绕点在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值．
20.【问题初探】
(1)李老师给出如下问题：平行四边形ABCD中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长．
小鹏同学考虑到点是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接与交于点．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题．
【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答．
(2)如图3，中，平分于．求证：；
【学以致用】
(3)如图4，在，点在上，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，求的长．
答案
一、单选题
1．B
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，平行线的性质，等角对等边，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边是解题关键．
首先利用中点定义和中位线定理得到，,利用平行线的性质和角平分线的定义得到，推出，根据可得的长．
【详解】点、分别是边、的中点，，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理．由平行四边形的性质求得，利用三角形中位线定理求得，据此求解即可．
【详解】解：∵平行四边形中，对角线和交于O点，
∴，
∵点E是的中点，
∴，，
∴的周长是，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于F，证明，得到，结合中位线定理，得到，代入计算即可．．
【详解】解：如图，延长交于F，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴
∴，
∵E是的中点，，
∴是的中位线，
∴．
∵，，
∴．
故选：B．
4．A
【分析】此题主要考查了全等三角形，三角形中位线．熟练掌握掌握三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，是解答此题的关键．
连接，连接并延长交于点F，利用是中位线，推出，再用是中位线，，即可求得答案．
【详解】连接，连接并延长交于点F，
∵、是的中线，
∴，，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵Q是的中点，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
5．B
【分析】此题考查了中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的是解决问题的关键．
【详解】解：周长为1，
∵每条中位线均为其对边的长度的，
∴第2个三角形对应周长为；
第3个三角形对应的周长为；
第4个三角形对应的周长为；
…
以此类推，第n个三角形对应的周长为；
∴第2024个三角形对应的周长为，即，
故选：B．
二、填空题
6．6
【分析】由点D、E分别是的中点，得到是的中位线，进而得到，即可求解，
本题考查了三角形中位线的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握三角形的中位线．
【详解】解：∵点D、E分别是的中点，
∴，
∴，
故答案为：6．
7．24
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，根据线段垂直平分线的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：点、分别是、的中点，，
，
是的中点，，
，
在中，，
的周长，
故答案为：24．
8．9
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理．首先由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得．
【详解】解：如图，在平行四边形中，．
，分别为，的中点，
是的中位线，
∴．
故答案为：9．
9.
【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵点D，E是，的中点，，
∴，
故答案为：．
10.
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理．连接利用三角形中位线定理是关键．连接，过A作于M；由题意得，则可求得的长，从而由勾股定理求得；由三角形中位线定理得，当G与C重合时，最长；当G与M重合时，最短，从而可求得的最大值与最小值的差．
【详解】解：如图，连接，过A作于M；
则；
∵四边形是平行四边形，且，
∴，
∴；
∴；
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
由勾股定理得；
∵点为的中点，点为的中点，
∴；
当G与C重合时，最长且为，此时；
当G与M重合时，最短且为，此时；
∴的最大值与最小值的差为．
故答案为：．
11.
【分析】本题考查平移的性质，三角形三边的关系，等腰直角三角形，三角形中位线定理．作于，取中点，连接，，由等腰直角三角形的性质得到，求出，由勾股定理求出，由三角形中位线定理求出，由平移的性质得到，由三角形的三边关系得到，即可求出的最大值是．
【详解】解：作于，取中点，连接，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
、分别是、中点，
是的中位线，
，
由平移的性质得到，
，
的最大值是．
故答案为：．
三、解答题
12.解：，
，
又平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
又是的中点，
，
是的中位线，
．
13.(1)解：∵，的中点为D、E．
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴；
(2)如图，取的中点，连接，连接，并延长交于，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵点H、F分别是和的中点，，
∴，，
∴三点共线，
∵点H、E分别是和的中点，，
∴，
∴．
14.(1)证明：∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得，
∴，
∴四边形是平行四边形；
(2)解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴；
同理可得，
∵，
∴四边形的周长．
15.(1)解：，，
，
，
，
中，，
，
中，，
是等腰直角三角形，
，
；
(2)，理由如下：
证明：取的中点G，连接，
，，
，
点为中点，
点G是的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
(3)证明：在上取点，使得，连接、，
，，
，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
∵，，
，
中，由勾股定理得：，
．
16.(1)
证明：如图1中，
平分，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即是等腰三角形，
∵，
，
，
．
(2)
解：结论：，
理由：如图2中，延长交的延长线于．
，
，
，，
，
，
，
，
为的中点，
，
点为的中点，
，
；
故答案为：．
17.(1)证明：由旋转的性质可得，
∴ ADE是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是的中点；
(2)解：，证明如下：
如图所示，延长到G，使得，连接，
同(1)可证明 ADE是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点M为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴；
(3)解：如图所示，连接，
∵点F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴点E在直线上运动，
设直线交于T，过点F作垂直于直线于H，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由垂线段最短可知，当点E运动到点H，即时，有最小值，最小值为，
故答案为：．
18.(1)解：四边形为平行四边形，
，，
，
，
；
(2)证明：四边形为平行四边形，
，，，
，，
是的中位线，
，，
为的中点，
，
，，
，，
四边形为平行四边形；
(3)如图，连接，，，
，，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
．
19.(1)解：点F，H分别是，的中点，
∴，，
点H、G是，的中点，
∴，，
∵，，
，
∴，
∵，
，
∵，
，
，
，
，
故答案为：，；
(2)解：是等边三角形．理由如下：
由旋转知，，
∵，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，，，
，，，
∴是等腰三角形，
，
，
，
，
，
∴是等边三角形；
(3)由(2)知，是等边三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上时，最大，
，
，
．
20.(1)连接，交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∴；
(2)如图1， 延长交的延长线于点，
平分
∴，
又，
∴，
，
取的中点，连接，则有，且，
∴，
，在和中，，
，
，
；
(3)连接，取中点，连接，
分别为和中点，
和分别为和的中位线，
且且，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
∴ AGF是等边三角形，
，
，
设，则，在中，由勾股定理得，，解得，
即．
，
．