3.3垂径定理培优练习（无答案）北师大版2024—2025学年九年级下册

3.3垂径定理培优练习北师大版2024—2025学年九年级下册
一、知识梳理:
垂径定理及其推论是指:一条直线①过圆心;②垂直于一条弦;③平分这条弦(平分弦时，直径除外);④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧。“知二推三”
数学符号：
①过点；
②；
③;
④;
⑤;
二、作弦心距+用勾股定理
思考1：如图，的弦长为，圆心到的弦心距为，的半径为，试探究之间的数量关系．
①单勾股
例1 如图，在中，已知，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，则的长为　 　．
【变式1】 如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为　　 ．
②双勾股
例2 如图，已知半径为2的有两条互相垂直的弦和，其交点到圆心的距离为1，则　 　．
【变式2】如图，，，，是半径为1的上按逆时针方向排列的四个动点，，当时，求的取值范围；
三、弧中点→连半径，得垂径
思考2： 如图，是的弦，是的中点，你能得到那些结论
例3 如图，为直径，为弧的中点，于，
（1）求证：为的切线；
（2）已知：，，求的半径．
【变式3】如图，已知是的直径，与的两直角边分别交于点、，点是弧的中点，，连接．
（1）求证：直线是的切线．
（2）若，，求的值．
四、课后练习：
（一）、选择题
1．下列命题中错误的有( )．
(1)弦的垂直平分线经过圆心；(2)平分弦的直径垂直于弦；
(3)所夹弧相等的两条弦平行；(4)圆的对称轴是直径.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是（　　）
　 A．CE=DE B．AE=OE C．= D． △OCE≌△ODE
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=，BD=，则AB的长为（ ）
A．2 B.3 C.4 D.5
4．如图所示，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知⊙O的直径AB=12cm，P为OB中点，过P作弦CD与AB相交成30°角，则弦CD的长为（ ）．
A．cm B．cm C．cm D．cm
二、填空题
6．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．
第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______°．
8．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于E，CD=4，AE=1，则⊙O的半径为　　 ．
9．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，则圆心O到CD的距离是______．
第9题图 第10题图
10．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．
11．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合）连结AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF= .
第11题图 第12题图
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AC．若∠CAB=22.5°，
CD=8cm，则⊙O的半径为 cm．
三、解答题
13．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB=8，求CD的长．
14.如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
15．如图所示，已知O是∠MPN的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.
⑴求证：PB=PD.
⑵若角的顶点P在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.
16.如图，点为 弧的中点，点为上一点，，，求的半径长．
17.如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求弦DB的长度．