第七章 相交线与平行线
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列图中∠1与∠2是对顶角的是 (D)
2.如图,直线a,b被直线c所截,下列说法中不正确的是 (C)
A.∠1与∠2是对顶角 B.∠1与∠4是同位角
C.∠2与∠5是同旁内角 D.∠2与∠4是内错角
3.(2024·钦州一模)中华人民共和国第一届学生(青年)运动会在广西南宁举行,如图是本届青运会的会徽,下列的四个图中能由如图所示的图形平移得到的是 (D)
4.下列命题是真命题的是 (B)
A.内错角相等 B.若两个角的和为180°,则这两个角互补
C.相等的角是对顶角 D.两个锐角的和是锐角
5.对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2.”能说明它是假命题的反例是 (A)
A.∠1=∠2=45° B.∠1=40°,∠2=50°
C.∠1=50°,∠2=50° D.∠1=40°,∠2=40°
6.(2024·玉林期末)如图,梯子的各条横档互相平行,∠1=128°,则∠2的度数为 (B)
A.104° B.128° C.138° D.156°
7.运动会上,跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示,选择其中③号线的长度作为跳远成绩,这样测量的依据是 (B)
A.两点之间,线段最短 B.垂线段最短
C.两点确定一条直线 D.平行线之间的距离处处相等
8.将一副直角三角板按如图所示摆放,∠GEF=60°,∠MNP=45°,AB∥CD,则下列结论不正确的是 (C)
A.GE∥MP B.∠EFN=150°
C.∠BEF=60° D.∠AEG=∠PMN
9.如图,已知∠F+∠FGD=80°(其中∠F>∠FGD),添加一个以下条件:①∠FEB+2∠FGD=80°;②∠F+∠FGC=180°;③∠F+∠FEA=180°;④∠FGC-∠F=100°.能证明AB∥CD的个数是 (B)
A.0 B.1 C.2 D.3
10.如图,一束光线与水平面成60°的角度照射地面,现在地面AB上支放一个平面镜CD,使这束光线经过平面镜反射后成水平光线射出(∠1=∠2),则平面镜CD与地面AB所成角∠DCA的度数等于 (A)
A.30° B.45° C.50° D.60°
11.如图,直线a,b被直线c所截,且a∥b,∠ABD的平分线交直线a于点C,CE⊥c于点E,∠ACE=α,则∠BCF的大小为 (A)
A.135°-α B.90°+α C.90°+α D.135°+α
12.折纸是我国的传统文化,折纸不仅和自然科学结合在一起,还发展出了折纸几何学,成为现代几何学的一个分支,折纸过程中既要动脑又要动手.如图,将一长方形纸条首先沿着EF进行第一次折叠,使得C,D两点分别落在C1,D1的位置,再将纸条沿着GF折叠(GF与BC在同一直线上),使得C1,D1分别落在C2,D2的位置.若3∠EFB=∠EFC2,则∠GEF的度数为 (A)
A.30° B.36° C.45° D.60°
二、填空题(每小题3分,共12分)
13.若∠A的对顶角是46°,那么∠A的邻补角的度数是 134° .
14.光线从空气射入水中时,光线的传播方向会发生改变,这就是折射现象.如图,水面MN与底面EF平行,光线AB从空气射入水里时发生了折射,变成光线BC射到水底C处.射线BD是光线AB的延长线,∠1=60°,∠2=43°,则∠DBC的度数为 17° .
15.(2024·河池期中)如图是两把完全相同的长方形直尺,一把直尺压住射线OB,且与射线OA交于点C,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,连接OP,已知∠POB=40°,则∠ACP的度数是 80° .
16.如图,AF∥CD,BD平分∠EBF,且BC⊥BD,下列结论:①BC平分∠ABE;②AC∥BE;③∠CBE+∠D=90°;④∠DEB=2∠BCD.其中正确结论为 ①③④ (只填写序号).
三、解答题(共52分)
17.(6分)如图所示,E是AB上一点.
(1)已知∠DEC=∠ADE,可以判定哪两条直线平行 为什么
(2)已知∠AEC+∠DCE=180°,可以判定哪两条直线平行 为什么
(3)已知∠AED=∠B,可以判定哪两条直线平行 为什么
【解析】(1)AD∥EC,理由是:内错角相等,两直线平行;
(2)AB∥DC,理由是:同旁内角互补,两直线平行;
(3)BC∥DE,理由是:同位角相等,两直线平行.
18.(8分)如图,在正方形网格中有一个三角形ABC,按要求进行下列作图(只借助网格,需写出结论).
(1)画出将三角形ABC向右平移6格,向下平移2格后得到的三角形A'B'C';
(2)过点B画出AC的平行线BD,使点D在格点上(网格线的交点即为格点);
(3)若每个小正方形的边长为1,求三角形ABC的面积.
【解析】(1)如图,△A'B'C'为所求.
(2)如图,将AC向右平移3格,得到BD,则BD为所求.
(3)过点C作CN⊥AB的延长线于点N,
∵AB=3,CN=2,
∴S△ABC=AB·CN=×3×2=3.
19.(8分)完成下面的证明,括号内填根据.
如图,直线a,b,c被直线l所截,量得∠1=115°,∠2=65°,∠3=115°,求证:a∥b.
证明:∵∠1=115°,∠3=115°,
∴ ∠1=∠3 (等式性质),
∴ a∥c ( 同位角相等,两直线平行 ).
∵∠2=65°,∠3=115°,
∴ ∠2+∠3=180° ,
∴ b∥c ( 同旁内角互补,两直线平行 ).
∴ a∥b ( 平行于同一条直线的两直线平行 ).
20.(8分)(2024·南宁横州市期中)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,点E,F分别在AB,CD的延长线上,且∠1+∠2=180°.
(1)求证:AE∥FC;
(2)求证:AD∥BC;
(3)如果DA平分∠BDF,且∠BDC=40°,求∠C的度数.
【解析】(1)∵∠1+∠2=180°,∠CDB+∠2=180°,∴∠1=∠CDB,
∵∠1=∠ABD,∴∠ABD=∠CDB,∴AE∥FC;
(2)∵AE∥FC,∴∠ADF=∠A,∵∠A=∠C,∴∠ADF=∠C,∴AD∥BC;
(3)∵∠BDC=40°,∴∠BDF=180°-∠BDC=180°-40°=140°,
∵DA平分∠BDF,∴∠ADF=∠BDF=70°,∴∠C=∠ADF=70°.
21.(10分)【阅读思考】如图①,已知AB∥ED,探究∠B、∠E、∠BCE之间的关系,小明添加了一条辅助线.解决了这道题.得到的结果是∠B+∠E=∠BCE.
证明过程如下:
如图①,过点C作CF∥AB,∴∠B=∠1.
∵AB∥ED,AB∥CF,∴DE∥CF,∴∠E=∠2,
∴∠B+∠E=∠1+∠2,即∠B+∠E=∠BCE.
【理解应用】(1)如图②,已知AB∥ED,求∠B+∠BCD+∠D的度数;
【拓展探索】(2)如图③,已知AB∥CD,点C在点D的右侧,∠ADC=50°,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE,DE所在的直线交于点E,点E在直线AB与CD之间,点B在点A的右侧,且AB【解析】(1)如图,过点C作CF∥AB,
∵AB∥DE,∴AB∥CF∥DE,
∴∠B+∠BCF=180°,∠FCD+∠D=180°,
∴∠B+∠BCD+∠D=∠B+∠BCF+∠FCD+∠D=360°;
(2)如图,过点E作EF∥AB,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=n°,∠ADC=50°,
∴∠ABE=∠ABC=n°,∠CDE=∠ADC=25°,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°,∠CDE=∠DEF=25°,
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-n°+25°=205°-n°.
22.(12分)如图1,摆放在直线MN上一副三角板(直角三角板ABC和直角三角板EDC,∠EDC=90°,∠DEC=60°,∠ABC=90°,∠BAC=45°),保持三角板EDC不动,将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转,旋转时间为t秒,当AC与射线CN重合时停止旋转.
(1)如图2,当AC为∠DCE的平分线时,求此时t的值;
(2)当AC旋转至∠DCE的内部时,求∠DCA与∠ECB的数量关系;
(3)在旋转过程中,当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时,求此时t等于_____________________________.(直接写出答案即可).
【解析】(1)∵∠EDC=90°,∠DEC=60°,∴∠DCE=30°,
∵AC平分∠DCE,∴∠ACE=∠DCE=15°,∴t==3.
答:此时t的值是3;
(2)当AC旋转至∠DCE的内部时,如图;
由旋转得:∠ACE=5t,
∴∠DCA=30°-5t,∠ECB=45°-5t,
∴∠ECB-∠DCA=(45°-5t)-(30°-5t)=15°;
(3)分四种情况:
①当AB∥DE时,如图①,
此时BC与CD重合,t=(30+45)÷5=15;
②当AB∥CE时,如图②,
∵AB∥CE,∴∠BCE=∠B=90°,∴∠ACE=90°+45°=135°,
t=135÷5=27;
③当AB∥CD时,如图③,
∵AB∥CD,∴∠BCD=∠D=90°,∴∠ACE=30°+90°+45°=165°,
t=165÷5=33;
④当AC∥DE时,如图④,
∵AC∥DE,∴∠ACD=∠D=90°,∴∠ACE=90°+30°=120°,t=120÷5=24,
综上t的值是15或24或27或33.
答案:15或24或27或33第七章 相交线与平行线
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列图中∠1与∠2是对顶角的是 ( )
2.如图,直线a,b被直线c所截,下列说法中不正确的是 ( )
A.∠1与∠2是对顶角 B.∠1与∠4是同位角
C.∠2与∠5是同旁内角 D.∠2与∠4是内错角
3.(2024·钦州一模)中华人民共和国第一届学生(青年)运动会在广西南宁举行,如图是本届青运会的会徽,下列的四个图中能由如图所示的图形平移得到的是 ( )
4.下列命题是真命题的是 ( )
A.内错角相等 B.若两个角的和为180°,则这两个角互补
C.相等的角是对顶角 D.两个锐角的和是锐角
5.对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2.”能说明它是假命题的反例是 ( )
A.∠1=∠2=45° B.∠1=40°,∠2=50°
C.∠1=50°,∠2=50° D.∠1=40°,∠2=40°
6.(2024·玉林期末)如图,梯子的各条横档互相平行,∠1=128°,则∠2的度数为 ( )
A.104° B.128° C.138° D.156°
7.运动会上,跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示,选择其中③号线的长度作为跳远成绩,这样测量的依据是 ( )
A.两点之间,线段最短 B.垂线段最短
C.两点确定一条直线 D.平行线之间的距离处处相等
8.将一副直角三角板按如图所示摆放,∠GEF=60°,∠MNP=45°,AB∥CD,则下列结论不正确的是 ( )
A.GE∥MP B.∠EFN=150°
C.∠BEF=60° D.∠AEG=∠PMN
9.如图,已知∠F+∠FGD=80°(其中∠F>∠FGD),添加一个以下条件:①∠FEB+2∠FGD=80°;②∠F+∠FGC=180°;③∠F+∠FEA=180°;④∠FGC-∠F=100°.能证明AB∥CD的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
10.如图,一束光线与水平面成60°的角度照射地面,现在地面AB上支放一个平面镜CD,使这束光线经过平面镜反射后成水平光线射出(∠1=∠2),则平面镜CD与地面AB所成角∠DCA的度数等于 ( )
A.30° B.45° C.50° D.60°
11.如图,直线a,b被直线c所截,且a∥b,∠ABD的平分线交直线a于点C,CE⊥c于点E,∠ACE=α,则∠BCF的大小为 ( )
A.135°-α B.90°+α C.90°+α D.135°+α
12.折纸是我国的传统文化,折纸不仅和自然科学结合在一起,还发展出了折纸几何学,成为现代几何学的一个分支,折纸过程中既要动脑又要动手.如图,将一长方形纸条首先沿着EF进行第一次折叠,使得C,D两点分别落在C1,D1的位置,再将纸条沿着GF折叠(GF与BC在同一直线上),使得C1,D1分别落在C2,D2的位置.若3∠EFB=∠EFC2,则∠GEF的度数为 ( )
A.30° B.36° C.45° D.60°
二、填空题(每小题3分,共12分)
13.若∠A的对顶角是46°,那么∠A的邻补角的度数是 .
14.光线从空气射入水中时,光线的传播方向会发生改变,这就是折射现象.如图,水面MN与底面EF平行,光线AB从空气射入水里时发生了折射,变成光线BC射到水底C处.射线BD是光线AB的延长线,∠1=60°,∠2=43°,则∠DBC的度数为 .
15.(2024·河池期中)如图是两把完全相同的长方形直尺,一把直尺压住射线OB,且与射线OA交于点C,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,连接OP,已知∠POB=40°,则∠ACP的度数是 .
16.如图,AF∥CD,BD平分∠EBF,且BC⊥BD,下列结论:①BC平分∠ABE;②AC∥BE;③∠CBE+∠D=90°;④∠DEB=2∠BCD.其中正确结论为 (只填写序号).
三、解答题(共52分)
17.(6分)如图所示,E是AB上一点.
(1)已知∠DEC=∠ADE,可以判定哪两条直线平行 为什么
(2)已知∠AEC+∠DCE=180°,可以判定哪两条直线平行 为什么
(3)已知∠AED=∠B,可以判定哪两条直线平行 为什么
18.(8分)如图,在正方形网格中有一个三角形ABC,按要求进行下列作图(只借助网格,需写出结论).
(1)画出将三角形ABC向右平移6格,向下平移2格后得到的三角形A'B'C';
(2)过点B画出AC的平行线BD,使点D在格点上(网格线的交点即为格点);
(3)若每个小正方形的边长为1,求三角形ABC的面积.
19.(8分)完成下面的证明,括号内填根据.
如图,直线a,b,c被直线l所截,量得∠1=115°,∠2=65°,∠3=115°,求证:a∥b.
证明:∵∠1=115°,∠3=115°,
∴ (等式性质),
∴ ( ).
∵∠2=65°,∠3=115°,
∴ ,
∴ ( ).
∴ ( ).
20.(8分)(2024·南宁横州市期中)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,点E,F分别在AB,CD的延长线上,且∠1+∠2=180°.
(1)求证:AE∥FC;
(2)求证:AD∥BC;
(3)如果DA平分∠BDF,且∠BDC=40°,求∠C的度数.
21.(10分)【阅读思考】如图①,已知AB∥ED,探究∠B、∠E、∠BCE之间的关系,小明添加了一条辅助线.解决了这道题.得到的结果是∠B+∠E=∠BCE.
证明过程如下:
如图①,过点C作CF∥AB,∴∠B=∠1.
∵AB∥ED,AB∥CF,∴DE∥CF,∴∠E=∠2,
∴∠B+∠E=∠1+∠2,即∠B+∠E=∠BCE.
【理解应用】(1)如图②,已知AB∥ED,求∠B+∠BCD+∠D的度数;
【拓展探索】(2)如图③,已知AB∥CD,点C在点D的右侧,∠ADC=50°,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE,DE所在的直线交于点E,点E在直线AB与CD之间,点B在点A的右侧,且AB22.(12分)如图1,摆放在直线MN上一副三角板(直角三角板ABC和直角三角板EDC,∠EDC=90°,∠DEC=60°,∠ABC=90°,∠BAC=45°),保持三角板EDC不动,将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转,旋转时间为t秒,当AC与射线CN重合时停止旋转.
(1)如图2,当AC为∠DCE的平分线时,求此时t的值;
(2)当AC旋转至∠DCE的内部时,求∠DCA与∠ECB的数量关系;
(3)在旋转过程中,当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时,求此时t等于_____________________________.(直接写出答案即可).
