1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 课件（共17张PPT）2024～2025学年湘教版初中数学七年级下册

(共17张PPT)
1.2.3 运用乘法公式进行
计算和推理
能综合运用乘法公式灵活进行计算和推理.（重、难点）
我们已经学了哪些乘法公式？
（1）平方差公式：
(a + b)2 =
(a + b)(a - b) =
（2）完全平方公式：
a - 2ab + b
a + 2ab + b
(a - b) =
a - b
公式中的 a 与 b 既可以是数，也可以是单项式或多项式.
注意
计算：(x + 1)(x2 + 1)(x - 1).
(x + 1)与(x - 1)
如果直接按从左，计算过程很繁琐，而且容易出错.
1.直接按从左至右的运算顺序进行计算好吗？为什么？
2.有哪两个因式可以凑成平方差公式吗？
=x4 -1.
解：(x +1)(x2 +1)(x -1)
= (x +1)(x -1)(x2 +1)
= (x2 -1)( x2 +1)
计算：(x + 1)(x2 + 1)(x - 1).
总结
计算时，能用平方差公式的计算的，要用平方差公式，以简化计算过程.
例1
运用乘法公式计算：
(1)(a + b + c)2；
(2)(a – b + c)(a + b – c).
解：(a – b + c)(a + b – c)
= [ a – (b – c)][a + (b – c)]
= a2 – (b – c)2
= a2 – (b2 – 2bc + c2)
= a2 – b2 + 2bc – c2.
= [(a + b) + c]2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
解：(a + b + c)2
可以先将式子变形，使其满足乘法公式的特征哟！
1.选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.
2. 式子变形添括号时注意符号的变化.
方法总结
例2
运用乘法公式计算：
(1)(a + b)2 + (a – b)2；
(2)(a + b)2 – (a – b)2.
(2)(a + b)2 – (a – b)2 = [(a + b) + (a – b)][(a + b) – (a – b)]
= 2a · 2b
= 4ab.
= a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2
= 2a2 +2b2.
解：(1)(a + b)2 + (a – b)2
还有其他方法吗？
例3 运用乘法公式计算: (x + y)3.
解：(x + y) = (x + y)( x + y)
= (x + y)(x + 2xy + y2)
= x + 2x y + xy2 + yx + 2xy + y3
= x + 3x y + 3xy + y .
(2)(a + b)2 – (a – b)2.
= a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2
= 4ab.
解：(a + b)2 – (a – b)2
练一练
运用乘法公式计算: (x - y)3.
解：(x - y) = (x - y)( x - y)
= (x - y)(x - 2xy + y2)
= x - 2x y + xy2 - yx + 2xy - y3
= x -3x y + 3xy - y .
先填空：(1) 152 = 100×1×___ ＋ 25；
(2) 252 = 100×2× ＋ 25；
(3) 352 = 100× × ＋ .
由此猜测：十位数字是 a、个位数字是 5 的两位数可以表示为 ，它的平方可表示为100×___× ＋ .
请证明你的猜测.
2
3
3
4
25
a
(a＋1)
25
10a + 5
想一想
证明：十位数字是 a、个位数字是 5 的两位数是10a + 5.
由完全平方公式 1 得
(10a + 5) = (10a) + 2·10a·5 + 5 =100a + 100a + 25.
又100a(a + 1) + 25 = 100a + 100a + 25，
于是(10a + 5) = 100a(a + 1) + 25.
因此，十位数字是 a、个位数字是 5 的两位数的平方，等于其十位数字 a 与 a + 1 的积的 100 倍，再加上 25.
1.计算(2x-3y+1)(2x+3y-1)的结果是 （ ）
A. 4x2 -12xy+9y2-1 B. 4x2 -9y2-6y-1
C. 4x2 +9y2-1 D. 4x2 -9y2+6y-1
解析： (2x-3y+1)(2x+3y-1)
=[2x-(3y-1)](2x+3y-1)
=(2x )2 -(3y-1)2
=4x2 -(9y2-6y+1)
=4x2 -9y2+6y-1.
D
2.计算：
（1）(2x+3)2(2x-3)2; （2）(x+y-4)(x+y+4).
解：(1)(2x+3)2(2x-3)2=[(2x+3)(2x-3)]2
=(4x2-9)2=16x4-72x2+81.
(2)(x+y-4)(x+y+4)=(x+y)2-42
=x2+2xy+y2-16.
3.先化简，再求值：
2b2 + (a + b)(a - b) - (a - b)2，其中 a =-3，b = .
解：原式 = 2b2 + a2 - b2 - a2 + 2ab - b2 = 2ab.
当 a = - 3，b = 时，
原式 = 2×(-3)× = -3.
4.一个正方形花圃的边长增加到原来的2倍还多
1 m，它的面积就增加到原来的4倍还多21 m2，
求这个正方形花圃原来的边长．
解: 设正方形花圃原来的边长为x m.
由数量关系，得 (2x+1)2=4x2+21，
化简， 得4x2+4x+1=4x2+21,解得x=5.
答：这个正方形花圃原来的边长为5 m.
1.运用乘法公式进行计算的一般步骤：
(3)灵活运用公式进行求值计算.
(2) 有时会结合其它运算法则；
(1)先观察式子的特点，选取适当的乘法公式；
2.常见公式：(a + b + c)2= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(x + y) = x + 3x y + 3xy + y
(x - y) = x -3x y + 3xy - y