3.7切线长定理知识梳理与培优练习（无答案）北师大2024—2025学年九年级下册

3.7切线长定理知识梳理与培优练习北师大2024—2025学年九年级下册
【知识梳理】
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________．
1.证明切线长定理
如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．
证明：
2.若PO与圆相分别交于C、D,连接AB于PO交于点E,图中相等的线段有 ，相等的角有 ，相等的弧有 ，互相垂直的线段有 ，全等的三角形有 。
3.__________________叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的__________三角形，内切圆的圆心是__________的交点，内切圆的圆心叫做三角形的__________。其性质是 .
【知识运用】
例题1.已知AB∥CD,⊙O切AB、BC、CD分别于E、F、G。且BE=4，CG=9.
求BC的长。
求⊙O半径的长。
例题2.正方形ABCD,以BC为直径作⊙O，E在CD上，AE切⊙O于点F.AB=4.
求DE的长。
求BF的长。
例题3.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm,CA=13cm,求AF、BD、CE的长。
内切圆半径的求法与内心的性质运用
例题4.已知，如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；

例题5.如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r．
例题6.△ABC中，I为内心，O为外心，AI的延长线交⊙O于E.证明;EI=EC.
例题7.AB为⊙O的直径，PB、PD为⊙O的切线，B、D为切点，PO交⊙O于E，交BD于F.证明：E为△PBD的内心。
巩固练习
1.如图，PA，PB分别为⊙O的切线，AC为直径，切点分别为A、B，∠P=70°，则∠C=
2.已知：如图5，⊙O是△ABC的内切圆，切点
分别为D、E、F，（1）图中共有 对相等线段？
（2）若AD=4，BC=5，CF=6，则△ABC的周长是＿＿；
（3）若AB=4，BC=5，AC=6，则AD=＿＿，BE=＿＿，CF=＿＿.
3.在⊿ABC中，∠A=50°
（1）若点O是⊿ABC的外心，则∠BOC= .
(2) 若点O是⊿ABC的内心，则∠BOC= .
4.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=30°．
（1）求∠APB的度数； （2）当OA=3时，求AP的长．
5.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切
线，切点为Q，交PA、PB为E、F点，已知，求△PEF的周长.
6.如图，边长为6的正三角形的内切圆半径是_________．
7.如图，圆O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，AC=5，BC=12，则内切圆的半径长为
8.如图所示，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点， 如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A的度数．